“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”(第一課時)教學(xué)設(shè)計與反思.doc

“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”（第一課時）教學(xué)設(shè)計與反思天津市中小學(xué)教育教學(xué)研究室劉金英天津市新華中學(xué)李慶摘要：基于對“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”概念的理解、對“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”內(nèi)容地位和作用的認識，進行教學(xué)設(shè)計，從數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的特點和學(xué)生的認知規(guī)律出發(fā)，通過一系列“問題”的設(shè)置，層層遞進，順次展開，力求“還原”數(shù)學(xué)知識生成的過程。課后反思，主要就“數(shù)形結(jié)合”的處理、本課的實際教學(xué)效果，對教學(xué)設(shè)計提出兩點改進建議。關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；教學(xué)設(shè)計；教學(xué)反思“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”初中第六次課題研討會，于2010年4月89日，在江蘇省南通市第一初級中學(xué)召開。天津市新華中學(xué)的李慶老師在本次活動中，采用“借班上課”的方式，以“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”為課題上了一節(jié)研究課。該課題的教學(xué)設(shè)計，是天津市課題研究小組基于對“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”概念的理解、對“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”內(nèi)容地位和作用的認識，考慮數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的特點，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，根據(jù)人教社課題組提供的教學(xué)設(shè)計框架，在多次集體研討、試教交流、修正設(shè)計方案的基礎(chǔ)上共同完成的。教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課內(nèi)容屬于全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標系和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步研究反比例函數(shù)的圖象，并通過圖象的研究和分析，來確定反比例函數(shù)的性質(zhì)。反比例函數(shù)是最基本的初等函數(shù)之一，是后續(xù)學(xué)習(xí)各類函數(shù)的基礎(chǔ)。反比例函數(shù)的核心內(nèi)容是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的核心，是圖象“特征”、函數(shù)“特性”以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，這也正是反比例函數(shù)的本質(zhì)屬性所在。反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想。首先，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體。通過對圖象的研究和分析，可以確定函數(shù)本身的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。這在學(xué)習(xí)數(shù)軸、平面直角坐標系時，學(xué)生已經(jīng)接觸過，結(jié)合本課內(nèi)容，可以進一步加強對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解，發(fā)揮從“數(shù)”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢。其次，從本節(jié)課知識的形成過程來看，由“解析式（確定自變量取值范圍）”到“作圖（列表、描點、連線）”，再到“性質(zhì)（觀察圖象探究性質(zhì)）”，充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，這種函數(shù)解析式及性質(zhì)與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，突出體現(xiàn)了兩者間的轉(zhuǎn)化對分析解決問題的特殊作用，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用。再次，將函數(shù)中變量、之間的對應(yīng)關(guān)系，通過圖象的形狀、變化趨勢，借助平面直角坐標系和點的坐標，直觀地予以呈現(xiàn)，這又充分體現(xiàn)了變化與對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。對于反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)的研究與學(xué)習(xí)，盡管還處于函數(shù)學(xué)習(xí)的初級階段，但它所體現(xiàn)的函數(shù)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和方法，是繼一次函數(shù)學(xué)習(xí)之后的再一次強化。教材中呈現(xiàn)的“函數(shù)概念函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)的實際應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)，是學(xué)習(xí)初等函數(shù)的有效方法。再次，用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，先由函數(shù)解析式考慮自變量的取值范圍，分析、的對應(yīng)變化關(guān)系，然后構(gòu)思函數(shù)圖象的大致位置、輪廓、趨勢，進而列表、描點、連線作出函數(shù)圖象，反映了作函數(shù)圖象的一般規(guī)律。另外，利用圖象“特征”確定函數(shù)“特性”，也是初中階段研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法。此外，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，是繼一次函數(shù)后，知識與方法上的一次拓展，理解與認識上的一次升華，也是思維上的一次飛躍。圖象由“一條”到“兩支”，形態(tài)由“直”到“曲”，由“連續(xù)”到“間斷”，由與坐標軸“相交”到“漸近”，無不反映出對函數(shù)概念本質(zhì)屬性認識的進一步深化。因此，學(xué)好本節(jié)課內(nèi)容，將為今后的函數(shù)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。教學(xué)重點：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及本課內(nèi)容所蘊含的思想方法。二、目標和目標解析教學(xué)目標（1）會畫反比例函數(shù)圖象，理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。（2）感悟“數(shù)形結(jié)合”、“變化與對應(yīng)”和“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象探究其性質(zhì)。（3）培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、探究、歸納及概括能力。目標解析（1）本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的脈絡(luò)是：先使用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象，然后依據(jù)圖象分析、探究、歸納得到函數(shù)的性質(zhì)。因此，準確畫出反比例函數(shù)的圖象，是探究反比例函數(shù)性質(zhì)的前提。此時，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)過用描點法畫函數(shù)圖象，但是由于反比例函數(shù)圖象的特殊性，會畫反比例函數(shù)的圖象，仍是學(xué)習(xí)中的目標之一。通過列表、描點、畫出反比例函數(shù)的圖象，進而觀察、分析、探究、歸納、概括，得到反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以進一步加深對函數(shù)三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法）的理解。（2）數(shù)學(xué)思想的教學(xué)一般要經(jīng)過滲透孕育期、領(lǐng)悟形成期、應(yīng)用發(fā)展期、鞏固深化期四個階段，而不能復(fù)制與灌輸。在探究反比例函數(shù)性質(zhì)時，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、變化與對應(yīng)思想的存在，并能運用這些數(shù)學(xué)思想觀察、分析反比例函數(shù)的圖象，探究、歸納、概括反比例函數(shù)的性質(zhì)。（3）在探究反比例函數(shù)性質(zhì)的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納、概括的認知過程，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力。三、教學(xué)問題診斷分析對于用描點法畫函數(shù)的圖象，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過，但因當時處于函數(shù)學(xué)習(xí)的初始階段，重點只是讓學(xué)生掌握用描點法畫函數(shù)圖象的“三步曲（列表、描點、連線）”，所以，學(xué)生對每步要求的理解并不深刻。因此，在畫反比例函數(shù)圖象時，常遇到如下的問題：（1）“列表”時確定自變量的取值缺乏代表性及忽略等現(xiàn)象；（2）“連線”時，由于一次函數(shù)圖象是一條直線，容易使學(xué)生產(chǎn)生知識上的負遷移，把雙曲線畫成折線；（3）對雙曲線與軸、軸“越來越靠近”但不相交的趨勢不易理解。教學(xué)時，應(yīng)注意進行有針對性的引導(dǎo)，注意從解析式的分析入手，讓學(xué)生先進行“數(shù)”（，,）、“式”（解析式中、的反比例關(guān)系）的分析，進而過渡到對“形”（圖象）的認識。在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時候，學(xué)生已經(jīng)歷過觀察、分析圖象的特征，抽象、概括函數(shù)性質(zhì)的過程，對研究函數(shù)性質(zhì)所用的探究方法也有一定的了解，因此，通過類比，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象探究性質(zhì)，從使用的方法上不會存在障礙，但由于反比例函數(shù)圖象相對于一次函數(shù)圖象，其形態(tài)豐富、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，具有自身的特殊性，故對性質(zhì)的深入理解和掌握，對性質(zhì)探究中的數(shù)學(xué)思想的體會和運用，還存在一定的困難。教學(xué)中，應(yīng)注重強調(diào)說明由“數(shù)”到“形”、由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化為途徑，展開探究活動。教學(xué)難點：準確畫出反比例函數(shù)的圖象，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用。四、教學(xué)支持條件分析根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術(shù)工具，以幾何畫板為平臺，繪制反比例函數(shù)圖象，同時輔之以“點跟蹤”等手段，通過動態(tài)的演示，觀察相關(guān)數(shù)值的變化，研究圖象的變化趨勢，抽象概括當自變量變化時，對應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律，進而探究反比例函數(shù)的性質(zhì)。五、教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的哪些內(nèi)容？是如何研究的？以正比例函數(shù)為例。師生活動：教師提問，學(xué)生思考、回答，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況加以補充，并將答案填寫在黑板的表格中，強調(diào)是從形狀、位置、變化趨勢三個方面去研究?！驹O(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及研究函數(shù)的一般方法，為學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)做好鋪墊。（二）觀察探究，形成新知問題2反比例函數(shù)的圖象是什么樣的？以畫出反比例函數(shù)的圖象為例，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷列表、描點、連線的過程。（1）列表（如表1）：表1-6-5-4-3-2-1123456列表時，關(guān)注學(xué)生是否注意到自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義（即），同時，所取的點既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)?yīng)的函數(shù)值太大或是太小，以便于描點和全面反映圖象的特征；（2）描點：一般情況下，所選的點越多圖象越精確；（3）連線：引導(dǎo)學(xué)生用平滑的曲線，按照自變量從小到大的順序連接各點，注意圖象末端的延伸和延伸的趨勢，得到反比例函數(shù)的圖象。師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生列表、描點、作圖；展示學(xué)生作品；教師板書示范，并通過課件演示反比例函數(shù)圖象的生成過程，給出雙曲線的名稱，并滲透它的形態(tài)特征.【設(shè)計意圖】圖象是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具，通過經(jīng)歷用描點法畫出反比例函數(shù)圖象的基本步驟，可以使學(xué)生對反比例函數(shù)先有一個初步的感性認識。問題3請觀察反比例函數(shù)的圖象，有哪些特征？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，類比正比例函數(shù)，歸納說出反比例函數(shù)圖象的形狀、位置、變化趨勢及其函數(shù)的增減性?！驹O(shè)計意圖】通過類比正比例函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的形狀、位置、變化趨勢，感受“形”的特征，感受自變量與函數(shù)值之間變化與對應(yīng)的關(guān)系，使學(xué)生對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)形成初步的印象。問題4是不是所有的反比例函數(shù)的圖象都具有這樣的特征呢？以討論反比例函數(shù)為例。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生借鑒畫反比例函數(shù)的圖象的經(jīng)驗，自主畫出反比例函數(shù)的圖象，教師巡視指導(dǎo)。作圖完成后，學(xué)生展示作品，并說出該函數(shù)圖象的特征，教師適時點評?！驹O(shè)計意圖】通過再次畫出反比例函數(shù)的圖象，使學(xué)生鞏固前面已獲得的作圖經(jīng)驗，提高學(xué)生利用描點法畫出函數(shù)圖象的能力。同時，在總結(jié)說出反比例函數(shù)的圖象特征的過程中，使學(xué)生增強對圖象的觀察、感知、分析、概括的能力，以及經(jīng)歷通過畫出函數(shù)圖象，并利用圖形研究函數(shù)性質(zhì)的過程。問題5反比例函數(shù)與的圖象有什么共同特征？有什么不同點？是由什么決定的？師生活動：教師啟發(fā)學(xué)生對比、思考，組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注反比例系數(shù)“”的作用?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生通過觀察比較，總結(jié)這兩個反比例函數(shù)圖象的特征，在活動中，讓學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，實現(xiàn)學(xué)生主動參與，探究新知的目的。問題6當取不同的值，上述結(jié)論是否適用于所有的反比例函數(shù)？教師演示課件，賦予不同的值，觀察所得到的不同的反比例函數(shù)圖象的特征，引導(dǎo)學(xué)生歸納“變化中的規(guī)律性”。然后，從解析式的角度，引導(dǎo)學(xué)生分析上述結(jié)論的合理性。【設(shè)計意圖】通過計算機動態(tài)演示，驗證猜想，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，加強對反比例函數(shù)圖象“特征”和函數(shù)“特性”以及它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的認識。問題7總結(jié)反比例函數(shù)（）圖象的特征和性質(zhì)。教師幫助學(xué)生梳理、歸納，填寫表2：表2函數(shù)圖象形狀圖象位置圖象變化趨勢函數(shù)增減性【設(shè)計意圖】通過歸納，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力。（三）鞏固提高，應(yīng)用新知課堂練習(xí) 1。下列圖象中，可以是反比例函數(shù)的圖象的是（ ）。2。如圖1，已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則 0，且在圖象的每一支上，值隨的增大而 。3. 已知反比例函數(shù)的圖象過點（2，1），則它的圖象在 象限，且 0。4. 若反比例函數(shù)（）的圖象上有兩點(，)，(，)，且，則的值是（ ）。（A）正數(shù)（B）負數(shù)（C）非正數(shù)（D）非負數(shù)【設(shè)計意圖】通過一系列的練習(xí)，可以實現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化。（四）歸納反思，深化新知問題8通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？學(xué)生談本節(jié)課的學(xué)習(xí)感受，教師梳理、概括本節(jié)課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并揭示蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法?！驹O(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納本節(jié)課的知識要點和思想方法，使學(xué)生對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)有一個較為整體、全面認識，同時，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。布置作業(yè)1.基礎(chǔ)達標：教材中練習(xí)的第1、2題，習(xí)題17.1的第3題。2.反思提升：將反比例函數(shù)（為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（為常數(shù)，）進行對比，可以從以3個方面考慮：（1）兩種函數(shù)的解析式有何相同與不同？兩種函數(shù)的圖象的特征有何區(qū)別？（2）在常數(shù)相同的情況下，當自變量變化時，兩種函數(shù)的函數(shù)值的變化趨勢有什么區(qū)別？（3）兩種函數(shù)中的取值范圍有何不同？常數(shù)的符號改變對兩種函數(shù)圖象所處象限的影響如何？六、目標檢測設(shè)計1。反比例函數(shù)的圖象在（ ）。（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限2。在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象大致是（ ）。3。寫出一個反比例函數(shù)，使得該反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，該函數(shù)可以是 ；若點在該函數(shù)的圖象上，則點的坐標可以是 。（分別寫出一個即可）4。若雙曲線，當時，隨的增大而增大，則的取值范圍是 。5。已知反比例函數(shù)，（1）填寫表3中相應(yīng)的的值：表3-6-5-4-3-2-1123456（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，描點畫出函數(shù)的圖象。6。某住宅小區(qū)要種植一個面積是1000 m2的矩形草坪，設(shè)草坪的長為（單位：m），寬為（單位：m）。（1）與之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系；（2）畫出該函數(shù)的圖象；（3）若限定草坪的寬大于10 m且不超過20 m，求草坪的長的范圍。注：天津市課題研究小組：李果民，劉金英，何志平，顧洪敏，劉士勇，李慶，袁爽，張淑媛，張宗玲，王振紅，劉靜波.教學(xué)反思一、關(guān)于數(shù)形結(jié)合的處理在“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”這一課的教學(xué)過程中，“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，是貫穿始終的一條主線。主要反映在以下三個方面。第一，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，由“解析式”到“作圖”，再到“性質(zhì)”，都充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，是數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。本課的教學(xué)設(shè)計與實施中，通過“描點法”作圖、觀察幾個具體的反比例函數(shù)的圖象、課件演示展示“由動點生成函數(shù)圖象”，很好地反映了“數(shù)”、“形”之間的這種內(nèi)在的聯(lián)系。第二，在“列表取值為何不能取零”、“反比例函數(shù)的圖象為何與坐標軸不會相交”、“特殊的反比例函數(shù)性質(zhì)能否推廣到一般”這幾個問題中，如果單純依靠觀察圖象，是無法得出具有“說服力”的結(jié)論的，這就需要“回歸”解析式，再引導(dǎo)學(xué)生進行分析。即我們可以借助直觀圖形，幫助我們思考相關(guān)的問題，但僅有圖形的直觀是不夠的，必須考慮“已經(jīng)”形式化的“數(shù)”的本質(zhì)“特征”，使“數(shù)”、“形”之間達到統(tǒng)一。于是，在教學(xué)中，我們同樣關(guān)注了對“解析式”的分析。第三，在總結(jié)得出反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后，我們?yōu)閷W(xué)生提供了一組題目，目的也是為學(xué)生提供一個體會“數(shù)形結(jié)合”、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”分析問題的平臺，使學(xué)生經(jīng)歷利用“圖形直觀”來認識、解決與函數(shù)有關(guān)問題的過程。二、關(guān)于教學(xué)效果的反思在實際授課過程中，教學(xué)環(huán)節(jié)的展開是自然、順暢的，如“觀察探究，形成新知”環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下，說出一次函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，并通過類比一次函數(shù)的研究方法，完成列表、描點、畫出反比例函數(shù)圖象的過程，也可以通過觀察所畫出的反比例函數(shù)的圖象，得出其圖象的“特征”和函數(shù)的“性質(zhì)”。然而，由于學(xué)生剛剛接觸反比例函數(shù)的圖象，圖象的外在形式（雙曲線）與一次函數(shù)的圖象（直線）之間存在較大的差異，學(xué)生還缺乏對反比例函數(shù)圖象“整體形象”的把握。一方面，當反比例系數(shù)的絕對值較大時，部分學(xué)生畫出的圖形，不能完整地反映其圖象“漸近”的特征；另一方面，在應(yīng)用反比例函數(shù)（增或減）的性質(zhì)，比較反比例函數(shù)的兩個函數(shù)值的大小時，學(xué)生還不能有意識地從“自變量的正負”來考慮問題，這致使學(xué)生在課后“目標檢測”時，對部分問題的解決出現(xiàn)偏差。此外，展開本節(jié)課學(xué)習(xí)的一個重要的方法，就是“類比”。在教學(xué)過程中，教師極力引導(dǎo)學(xué)生要“類比一次函數(shù)學(xué)習(xí)的方法”，最大限度地調(diào)動學(xué)生“合情推理”的因素，以確保學(xué)習(xí)知識的“正遷移”效應(yīng)。事實上，這樣也會帶來另一些負面的影響，學(xué)生往往對屬于一次函數(shù)和反比例函數(shù)“共性”的結(jié)論印象比較深刻，而對于新的反比例函數(shù)“個性”的結(jié)論，在理解上反而會受到一些干擾。三、關(guān)于教學(xué)設(shè)計的改進基于上述思考，以及研究課后課題組成員的研討，我們認為在教學(xué)設(shè)計中，還存在兩處需要改進的地方。（一）應(yīng)強調(diào)“回歸”解析式的必要性在本課題的教學(xué)中，我們通過“畫出”圖形，使反比例函數(shù)解析式表示的函數(shù)關(guān)系直觀化，更易于學(xué)生通過觀察，得出函數(shù)圖象的“特征”及函數(shù)的“性質(zhì)”，但由于這樣得出的結(jié)論，對“圖形”的依賴性過強，甚至形成了“解析式圖象性質(zhì)”的思維定勢，而忽視了數(shù)學(xué)形式化的意義，也有悖于“圖形直觀”在研究函數(shù)問題中的輔助性作用，也就是說，我們不能將對函數(shù)的認識，完全等價于對其圖形的認識，應(yīng)該把“圖形”與“解析式”結(jié)合起來，以利于更好地探究兩個變量之間“變化中的規(guī)律性”。因此，本教學(xué)設(shè)計應(yīng)在注重分析“反比例函數(shù)圖象的位置特征”，及引導(dǎo)學(xué)生觀察“反比例函數(shù)的增減變化趨勢”的同時，更加強調(diào)對反比例函數(shù)解析式的剖析，如對于反比例函數(shù)（），當時，、的正負符號相同，以（，）為坐標的點位于第一或第三象限，且隨的增大而減??；當時，、的正負符號相反，以（，）為坐標的點位于第二或第四象限，且隨的增大而增大。同時，從解析式本身來看，顯然，圖象一定不經(jīng)過坐標原點，也永遠不會與軸、軸有交點。這種從“數(shù)”的方面的再強調(diào)，無疑會使學(xué)生對反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的認識更加科學(xué)精確。（二）應(yīng)關(guān)注“類比”中的“差異性”反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，可以類比一次函數(shù)的研究方法進行，從而體現(xiàn)了函數(shù)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和方法。本教學(xué)設(shè)計尊重人教版課標教材的編寫意圖，其中所呈現(xiàn)的通過“描點”畫圖，到“觀察”圖象，到分析圖象“特征”，再到確定函數(shù)中變量、之間的“變化規(guī)律”，從而得出函數(shù)的“特性”，這一探究的過程和方法，是學(xué)習(xí)初等函數(shù)時不可或缺的。事實上，初中學(xué)段后續(xù)研究的二次函數(shù)，高中學(xué)段研究的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，都可以采用與之類似的研究“模式”。無疑，“類比”是一種重要的方法，對于學(xué)生理解反比例函數(shù)、建立完善的認知結(jié)構(gòu)具有重要的意義。但是，我們在運用“類比”的方法研究反比例函數(shù)的過程中，還應(yīng)注意“趨同求異”，關(guān)注反比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的“差異性”，如圖形的“曲”與“直”、“間斷”與“連續(xù)”等，這樣的認識，在本課教學(xué)時，應(yīng)加以強調(diào)，并傳達給學(xué)生?！?7.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計江蘇省南通市第一初級中學(xué)許磊摘要：“17.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”是在學(xué)生已學(xué)完一次函數(shù)，并初步認識、感知反比例函數(shù)概念之后，對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的進一步掌握基于從函數(shù)的角度使學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的奇妙，從而加深學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)意義和研究方法的認識，在探索過程中不斷體驗數(shù)形結(jié)合的思想，了解數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值的理念本教學(xué)設(shè)計，通過引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)，自主發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并借助多媒體加以驗證，在教學(xué)過程中通過自主探究、小組研討、學(xué)生設(shè)計問題等環(huán)節(jié)充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣關(guān)鍵詞：類比；數(shù)形結(jié)合；自主探究；自主設(shè)計問題一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容人教版課標教材八年級下冊“17.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”。內(nèi)容解析函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)課是學(xué)生已學(xué)完一次函數(shù)，并初步認識、感知反比例函數(shù)概念之后，對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的進一步掌握教學(xué)中，應(yīng)從函數(shù)的角度使學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的奇妙，從而加深學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)意義和研究方法的認識，在探索過程中不斷體驗數(shù)形結(jié)合的思想，了解數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值教學(xué)重點對反比例函數(shù)性質(zhì)的探究和掌握二、目標和目標解析目標能描點畫出反比例函數(shù)的圖象；能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)（為常數(shù)，0）的函數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析并解決一些簡單的實際問題目標解析（1）能描點畫出反比例函數(shù)的圖象。（2）能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)觀察、歸納、概括的能力。（3）能利用反比例函數(shù)性質(zhì)分析并解決一些基本問題，抓住函數(shù)的變化規(guī)律是由決定這一性質(zhì)。（4）使學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)之后，進一步理解常量與變量的辯證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，進一步學(xué)會數(shù)形結(jié)合的思想方法。（5）在探究活動中培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的科學(xué)精神，使學(xué)生在師生、生生的交流活動中，學(xué)會與人合作，學(xué)會傾聽、欣賞和感悟三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，基本熟練掌握了一次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)與應(yīng)用，同時前一課也初步認識、感知了反比例函數(shù)的概念但是反比例函數(shù)自身的特殊性以及學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)所產(chǎn)生的“慣性”，會導(dǎo)致學(xué)生在畫圖、探究反比例函數(shù)的性質(zhì)等方面出現(xiàn)負遷移等問題學(xué)生在描點作反比例函數(shù)的圖象時，可能會出現(xiàn)以下問題：（1）取點時，都取正值，導(dǎo)致只畫出一支曲線；（2）由于所取的點較少，導(dǎo)致圖象失真；（3）連線時習(xí)慣用線段，導(dǎo)致出現(xiàn)“硬轉(zhuǎn)彎”的折線圖；（4）習(xí)慣性的過原點或與兩坐標軸相交；基于以上可能出現(xiàn)的問題，教學(xué)時將采取正面引領(lǐng)（展示學(xué)生所畫的正確圖象，回顧作圖步驟），反面剖析（展示學(xué)生所畫的錯誤圖象，分析錯誤原因），實踐操作（學(xué)生再畫函數(shù)圖象時，不僅能正確作出函數(shù)的圖象，而且能在作圖中體驗、探索函數(shù)的性質(zhì)）3個步驟加以解決在學(xué)生探究反比例函數(shù)性質(zhì)時，對于函數(shù)的增減性會出現(xiàn)不加“在每個象限內(nèi)”這個限定條件的錯誤教學(xué)時將采取舉例說明的方法，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而加深對反比例函數(shù)增減性的體驗和理解四、教學(xué)支持條件分析為了高效實現(xiàn)教學(xué)目標，可以借助計算機進行輔助教學(xué)在學(xué)生觀察圖象、探究反比例函數(shù)的性質(zhì)時，可以借助幾何畫板將較多反比例函數(shù)圖象呈現(xiàn)給學(xué)生，既節(jié)約時間，又有利于學(xué)生進行觀察、總結(jié)在“設(shè)計問題”環(huán)節(jié)的教學(xué)，如有學(xué)生提出與面積有關(guān)的問題，可以通過幾何畫板演示點在不同反比例函數(shù)圖象上的移動，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系和統(tǒng)一，將課堂延伸到課后，并為下一課的教學(xué)做好鋪墊五、教學(xué)過程設(shè)計問題1：上一節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的定義，那么什么叫做反比例函數(shù)？（形如（）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)）（教師板書：反比例函數(shù)（）。）今天我們就來探究反比例函數(shù)的圖象和它的性質(zhì)【設(shè)計意圖】通過類比正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，提出本節(jié)課所要研究的問題及其研究方法，并引導(dǎo)學(xué)生的研究思路問題2：請大家嘗試著畫一畫反比例函數(shù)的圖象（教師展示學(xué)生作品，并讓學(xué)生交流作圖步驟和注意點）【設(shè)計意圖】學(xué)習(xí)正確的作圖過程，在填表過程中感受隨變化的規(guī)律，為基于圖象探究函數(shù)性質(zhì)打下基礎(chǔ)問題3：（教師首先展示學(xué)生所畫正確的函數(shù)圖象）很好！這名同學(xué)畫出來的函數(shù)圖象非常優(yōu)美下面要展示的幾幅圖同樣是來自同學(xué)的作品，能不能反思一下它們的問題在哪里？這樣我們下次就能畫出更美的曲線（展示幾幅學(xué)生所畫有錯誤的函數(shù)圖象）【設(shè)計意圖】重視反例教學(xué)，充分開發(fā)和利用“錯誤”資源，感受反比例函數(shù)的性質(zhì)問題4：很好！下面請大家按照正確的步驟和方法再畫一下函數(shù)的圖象（1）列表（如表1）。表1-6-5-4-3-2-1123456（2）描點。（3）連線(教師展示學(xué)生所畫圖象。)【設(shè)計意圖】加深學(xué)生對作反比例函數(shù)圖象的認識，達到“能描點畫出反比例函數(shù)的圖象”的教學(xué)目標；并在列表、畫圖過程中進一步感知反比例函數(shù)的性質(zhì)，如通過列表發(fā)現(xiàn)決定了圖象所在的象限等問題5：觀察反比例函數(shù)的圖象是兩條曲線（給出函數(shù)圖象名稱：雙曲線）教師借助于計算機，畫出了更多反比例函數(shù)的圖象，仔細觀察，類比正比例函數(shù)的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反比例函數(shù)的性質(zhì)（開展小組協(xié)作、討論。）（教師板書：當k0,在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小; 當k y2 y3 （B） y2 y1 y3（C） y3 y1 y2 （D） y3 y2 y1【設(shè)計意圖】加深學(xué)生對反比例函數(shù)增減性的理解，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合圖象研究函數(shù)的習(xí)慣問題11：如圖1，A、B是雙曲線的一個分支上的兩點，且點在點的右側(cè)，則的取值范圍是 圖1【設(shè)計意圖】加深對反比例函數(shù)增減性和“在每個象限內(nèi)”的理解，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)合圖象研究函數(shù)的習(xí)慣問題12：已知反比例函數(shù)，你能運用今天所學(xué)的知識，設(shè)計一個關(guān)于的問題么？例如，函數(shù)圖象位于第二、四象限，求的取值范圍解：因為雙曲線在第二、四象限，所以。所以?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生基于本節(jié)課所學(xué)的知識設(shè)計問題，對學(xué)生提出了更高的要求，使學(xué)生獲取知識和技能的同時，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并使智力得到發(fā)展，能力得到培養(yǎng) 問題13：學(xué)生總結(jié)作業(yè)：教材P46頁習(xí)題17.1 3第8題、第9題【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過自我總結(jié)，更加系統(tǒng)、全面地認識本節(jié)課的知識，并把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用，也進一步升華了這節(jié)課所要表達的本質(zhì)思想。六、目標檢測設(shè)計1.選擇題（1）反比例函數(shù)的圖象位于（ ）。（A）第一、二象限 （B）第一、三象限 （C）第二、三象限 （D）第二、四象限（2）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，3），下列說法正確的是（ ）。（A）y隨x的增大而增大 （B）函數(shù)的圖象只在第一象限（C）當x0時，必有y0 （D）點（2，3）不在此函數(shù)圖象上（3）若反比例函數(shù)的圖象在其每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,則k的值可以是（）。（A）-1 （B）3 （C）0 （D）-3（4）矩形面積為4，它的長與寬之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為（ ）。（5）已知，則函數(shù)和的圖象大致是（）。（6）函數(shù)的圖象上有兩點，若00時，圖象在第_象限， y隨x 的增大而_。（9）已知2，4，m是三角形的三邊長，那么雙曲線的兩支在第_象限內(nèi)。（10）雙曲線的兩個分支分別位于第 象限3.解答題（11）反比例函數(shù)的圖象如圖2所示，是該圖象上的兩點比較與的大小；求的取值范圍 圖2（12）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點求這兩個函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。在給定的直角坐標系（如圖3）中，畫出這兩個函數(shù)的大致圖象。當為何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？當為何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？答案：（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）D；（6）A；（7） ，；（8）一，減??；（9）一、三；（10）二、四；（11） ，；（12），當時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，當時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.【設(shè)計意圖】檢測題采取多種形式呈現(xiàn)，增加了靈活性，基本題為主，也有少量綜合問題，可使不同層次水平的學(xué)生均有機會獲得成功的體驗對反比例函數(shù)圖象生成的教學(xué)反思北京東城教師研修中心雷曉莉摘要：從具體的課例出發(fā)，再現(xiàn)了課堂中反比例函數(shù)圖象“原生態(tài)”的生成過程，并對其進行深入的分析和反思，基于“反比例函數(shù)的圖象為什么是平滑的曲線”，“反比例函數(shù)的圖象為什么分布在一、三或二、四象限”，“反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)圖象之間遷移關(guān)系”三個問題，提出了相應(yīng)的教學(xué)改進措施.關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)的圖象2010年4月810日，“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”課題組在江蘇南通召開了初中第六次研討會，會上呈現(xiàn)了四節(jié)課，其中有兩節(jié)課是“反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)”. 這兩節(jié)課設(shè)計的框架基本相同，分為以下4個環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)1：類比正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)“研究反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)”。環(huán)節(jié)2：讓學(xué)生從特例的圖象探究反比例函數(shù)的圖象。環(huán)節(jié)3：由圖象直觀歸納、概括反比例函數(shù)的性質(zhì)。環(huán)節(jié)4：反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單應(yīng)用.這兩節(jié)課的不同之處主要在于一些細節(jié)的處理上.具體實施時，一位教師師上了45分鐘，而另一位教師上了1小時.聽完課后，筆者有許多疑惑，于是認真研究了反比例函數(shù)圖象生成的教學(xué)，反復(fù)觀看這兩位教師的教學(xué)錄像，追蹤了學(xué)生的思維過程，同時也調(diào)查了九年級學(xué)生對反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的理解.反思我們的教學(xué)，提出自己淺顯的見解，供各位同行和教師參考. 一、反比例函數(shù)圖象生成的教學(xué)情景 情景A問題1：我們已經(jīng)學(xué)過正比例函數(shù)的哪些內(nèi)容？是如何研究的？以正比例函數(shù)y=6x為例，請同學(xué)們從形狀、位置、變化趨勢三個方面填寫表1。表1函數(shù)圖象形狀圖象位置圖象變化趨勢函數(shù)增減性y=6xy=-6x問題2：反比例函數(shù)的圖象會是什么形狀呢？利用描點法畫出反比例函數(shù)y =的圖象來看一看.（1）列表（如表2）。表2x-6-5-4-3-2-1123456（2）描點。（3）連線（引導(dǎo)學(xué)生用平滑的曲線連接）.教師一邊讓學(xué)生畫，一邊自己在黑板上畫。教師先描點畫出圖1，然后用平滑的曲線分別連接這些點，得到圖2.分析圖2，比較第一象限與第三象限的圖象，指出反比例函數(shù)的圖象在第三象限雖然也是用平滑的曲線連接的，但是不對，沒有陳述具體理由. 圖1 圖2隨后，教師利用計算機，自變量每隔0.01取一個點，畫出反比例函數(shù)y =的圖象.情景B問題1：我們已經(jīng)學(xué)過正比例函數(shù)，掌握了正比例函數(shù)的哪些內(nèi)容？問題2：我們上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)過反比例函數(shù)，它的定義是什么？自變量的取值范圍是什么？問題3：怎么畫反比例函數(shù)的圖象？問題4：請用描點法畫出反比例函數(shù)y =的圖象，同時注意點在什么位置，這些點構(gòu)成什么圖形？展示學(xué)生用描點法畫的作品（如圖36）。 圖3 圖4 圖5 圖6教師和學(xué)生共同分析得出以下結(jié)論：（1）圖3取點不合理，對自變量只取了正值；（2）圖4不應(yīng)用折線段連接，而應(yīng)用平滑的曲線連接；（3）圖5的趨勢不對，因為根據(jù)分式的性質(zhì)，分式值要為0，只能分子為0，而分母不能為0，但該分式的分子是個確定的值6；（4）圖6是比較好的圖象，對這幾個方面考慮得比較全面.然后，教師借助計算機，畫出反比例函數(shù)，的圖象.二、反比例函數(shù)圖象生成的教學(xué)反思1對反比例函數(shù)圖象為什么是平滑的曲線的思考反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它是用平滑的曲線把一些特殊的點連接起來的，這是反比例函數(shù)的圖象教學(xué)中的難點.但從兩節(jié)課的課堂生成來看，兩位教師都解釋說：“反比例函數(shù)的圖象不能用折線段連起來，只能用平滑的曲線連接。”至于為什么不能這樣，并沒有給出解釋.換句話，也就是說，這兩節(jié)課對難點的突破有所欠缺. 對于反比例函數(shù)圖