人教B版 選修12 階段復(fù)習(xí)課 推理與證明 學(xué)案.docx

階段復(fù)習(xí)課 推理與證明核心速填1合情推理(1)歸納推理：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理： 歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理2演繹推理(1)演繹推理是由一般到特殊的推理(2)三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷3直接證明與間接證明(1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法： 綜合法是從條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法；(2)間接證明一種方法是反證法，它是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法題型探究合情推理 (1)觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)(2)類比三角形內(nèi)角平分線定理：設(shè)abc的內(nèi)角a的平分線交bc于點(diǎn)m，則.若在四面體pabc中，二面角bpac的平分面pad交bc于點(diǎn)d，你可得到的結(jié)論是_，并加以證明. 1 (2) (1)等式的左邊的通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為1；右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng)為，共有n項(xiàng)，故為.(2)畫(huà)出相應(yīng)圖形，如圖所示由類比推理得所探索結(jié)論為.證明如下：由于平面pad是二面角bpac的平分面，所以點(diǎn)d到平面bpa與平面cpa的距離相等，所以.又因?yàn)?由知成立規(guī)律方法 1歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟2類比推理的特點(diǎn)及一般步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)觀察下圖21中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個(gè)點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是sn.圖21按此規(guī)律，推出sn與n的關(guān)系式為_(kāi)(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為tn,則t4，_，_，成等比數(shù)列(1)sn4n4(n2，nn*) (2) (1)依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出：s2244，s3344，s4444(正方形四個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算一次，應(yīng)減去)猜想：sn4n4(n2，nn*)(2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為tn，則t4，成等比數(shù)列綜合法與分析法 若a、b、c是abc的三邊長(zhǎng)，m0，求證：. 思路探究：根據(jù)在abc中任意兩邊之和大于第三邊，再利用分析法與綜合法結(jié)合證明不等式成立證明 要證明，只需證明0即可a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，abc中任意兩邊之和大于第三邊，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.母題探究：1.(改變條件)本例刪掉條件“m0”，證明：.證明 要證.只需證ab(ab)c(1ab)c.即證abc.而abc顯然成立所以.2(改變條件)本例增加條件“三個(gè)內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列”，求證：.證明 要證.即證3，即證1.即證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即證c2a2acb2.abc三個(gè)內(nèi)角a，b，c成等差數(shù)列b60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命題得證 規(guī)律方法 分析法，綜合法的應(yīng)用綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過(guò)程. 反證法 已知xr，ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1. 證明 假設(shè)a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，則有abc3，而abc2x22x3233，兩者矛盾，所以假設(shè)不成立，故a，b，c至少有一個(gè)不小于1.規(guī)律方法 反證法的關(guān)注點(diǎn)(1)反證法的思維過(guò)程：否定結(jié)論推理過(guò)程中引出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論，即否定推理否定(經(jīng)過(guò)正確的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的“否定”，即肯定原命題).(2)反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時(shí)，也常用反證法.跟蹤訓(xùn)練2若x，y，z(0,2)，求證：x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.證明 假設(shè)x(2y)1，且y(2z)1，且z(2x)1均成立，則三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)1，由于0x2，所以0x(2x) 1，同理0y(2y)1,0z(2z)1，三式相乘得0xyz(2x)(2y)(2z)1，與矛盾，故假設(shè)不成立所以x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 已知，k，(kz)且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求證：. 證明 要證成立，即證.即證cos2sin2(cos2sin2)，即證12sin2(12sin2)，即證4sin22sin21，因?yàn)閟in cos 2sin ，sin cos sin 2 ，所以(sin cos )212sin cos 4sin2，所以12sin24sin2，即4sin22sin2 1.故原結(jié)論正確規(guī)律方法 轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中的一切問(wèn)題的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸.轉(zhuǎn)化與化歸的原則是將不熟悉的或難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解或已經(jīng)解決的問(wèn)題；將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問(wèn)題；將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題；將一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問(wèn)題；將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.本章中無(wú)論是推理過(guò)程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的過(guò)程中都用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)在r上是增函數(shù)，a，br.(1)求證：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論解 (1)證明：當(dāng)ab0時(shí)，ab且ba.f(x)在r上是增函數(shù)，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命題的逆命題為“如果