五個(gè)海盜如何分100個(gè)金幣呢.doc

兩篇，原故事與改編版原故事：五個(gè)海盜搶到了100個(gè)金幣，每一顆都一樣的大小和價(jià)值連城。 他們決定這么分： 1抽簽決定自己的號(hào)碼 - 1、2、3、4、5 2首先，由1號(hào)提出分配方案，然后大家5人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，按照他的提案進(jìn)行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。 3如果1號(hào)死后，再由2號(hào)提出分配方案，然后大家4人進(jìn)行表決，當(dāng)且僅當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，按照他的提案進(jìn)行分配，否則將被扔入大海喂鯊魚。 4以次類推條件：每個(gè)海盜都是很聰明的人，都能很理智的判斷得失，從而做出選擇。 問題：第一個(gè)海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己免于下海以及自己獲得最多的金幣呢？ -此題公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)答案是： 1號(hào)海盜分給3號(hào)1枚金幣，4號(hào)或5號(hào)2枚金幣，自己則獨(dú)得97枚金幣，即分配方案為（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。現(xiàn)來看如下各人的理性分析： 首先從5號(hào)海盜開始，因?yàn)樗亲畎踩?，沒有被扔下大海的風(fēng)險(xiǎn)，因此他的策略也最為簡(jiǎn)單，即最好前面的人全都死光光，那么他就可以獨(dú)得這100枚金幣了。 接下來看4號(hào)，他的生存機(jī)會(huì)完全取決于前面還有人存活著，因?yàn)槿绻?號(hào)到3號(hào)的海盜全都喂了鯊魚，那么在只剩4號(hào)與5號(hào)的情況下，不管4號(hào)提出怎樣的分配方案，5號(hào)一定都會(huì)投反對(duì)票來讓4號(hào)去喂鯊魚，以獨(dú)吞全部的金幣。哪怕4號(hào)為了保命而討好5號(hào)，提出（0，100）這樣的方案讓5號(hào)獨(dú)占金幣，但是5號(hào)還有可能覺得留著4號(hào)有危險(xiǎn)，而投票反對(duì)以讓其喂鯊魚。因此理性的4號(hào)是不應(yīng)該冒這樣的風(fēng)險(xiǎn)，把存活的希望寄托在5號(hào)的隨機(jī)選擇上的，他惟有支持3號(hào)才能絕對(duì)保證自身的性命。 再來看3號(hào)，他經(jīng)過上述的邏輯推理之后，就會(huì)提出（100，0，0）這樣的分配方案，因?yàn)樗?號(hào)哪怕一無所獲，也還是會(huì)無條件的支持他而投贊成票的，那么再加上自己的1票就可以使他穩(wěn)獲這100金幣了。 但是，2號(hào)也經(jīng)過推理得知了3號(hào)的分配方案，那么他就會(huì)提出（98，0，1，1）的方案。因?yàn)檫@個(gè)方案相對(duì)于3號(hào)的分配方案，4號(hào)和5號(hào)至少可以獲得1枚金幣，理性的4號(hào)和5號(hào)自然會(huì)覺得此方案對(duì)他們來說更有利而支持2號(hào)，不希望2號(hào)出局而由3號(hào)來進(jìn)行分配。這樣，2號(hào)就可以屁顛屁顛的拿走98枚金幣了。 不幸的是，1號(hào)海盜更不是省油的燈，經(jīng)過一番推理之后也洞悉了2號(hào)的分配方案。他將采取的策略是放棄2號(hào)，而給3號(hào)1枚金幣，同時(shí)給4號(hào)或5號(hào)2枚金幣，即提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的分配方案。由于1號(hào)的分配方案對(duì)于3號(hào)與4號(hào)或5號(hào)來說，相比2號(hào)的方案可以獲得更多的利益，那么他們將會(huì)投票支持1號(hào)，再加上1號(hào)自身的1票，97枚金幣就可輕松落入1號(hào)的腰包了。 看到這里，讀者一定會(huì)問，這個(gè)海盜分金幣的題目與中國說“不”有何關(guān)聯(lián)呢？好，下面就切入正題。 海盜分金幣模型的最終答案可能會(huì)出乎很多人的意料，因?yàn)閺闹庇X來看，此模型中如此嚴(yán)酷的規(guī)定，若誰抽到1號(hào)真是天底下最不幸的人了。因?yàn)樽鳛榈谝粋€(gè)提出方案的人，其存活的機(jī)會(huì)真是微乎其微，即使他一個(gè)金幣也不要，都無私的分給其他4個(gè)人，那4個(gè)人也很可能因?yàn)橛X得他的分配不公而反對(duì)他的方案，那他也就只有死路一條了?？墒强雌饋硖幘匙顑措U(xiǎn)的1號(hào)，卻憑借著其超強(qiáng)的智慧和先發(fā)的優(yōu)勢(shì)，不但消除了喂鯊魚的危險(xiǎn)，而且最終還使自己的收益最大化，這不正像是當(dāng)今國際社會(huì)國與國之間在政治、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域相互博弈過程中，先發(fā)制人的智慧和優(yōu)勢(shì)的凸現(xiàn)嗎？而5號(hào)表面上看起來是最安全的，可以坐山觀虎斗，先讓前面的海盜拼個(gè)你死我活而坐收漁翁之利，可實(shí)際上最后卻不得不看別人的臉色行事，勉強(qiáng)分得一杯小羹，這不正是本想以靜制動(dòng)，后發(fā)制人而反得劣勢(shì)的寫照嗎？改編版：5個(gè)海盜搶得100枚金幣后，討論如何進(jìn)行分配。他們商定的分配原則是：（1）抽簽確定各人的分配順序號(hào)碼（1，2，3，4，5）；（2）由抽到1號(hào)簽的海盜提出分配方案，然后5人進(jìn)行表決，如果方案得到超過半數(shù)（注意，是超過半數(shù)）的人同意，就按照他的方案進(jìn)行分配，否則就將1號(hào)扔進(jìn)大海喂鯊魚；（3）如果1號(hào)被扔進(jìn)大海，則由2號(hào)提出分配方案，然后由剩余的4人進(jìn)行表決，當(dāng)超過半數(shù)的人同意時(shí)，才會(huì)按照他的提案進(jìn)行分配，否則也將被扔入大海；依此類推。 （4）各人同不同意分配方案要寫在紙上提交，等都提交后，再打開公示。不能串通。 （5）這4人都以保命為第一位。 加入非理性人因素： 5個(gè)海盜中有4個(gè)是理性人，這4人知道海盜中有一個(gè)非理性人，但不知道是誰。4個(gè)理性人都知道非理性人的分配原則：當(dāng)理性人的提案中，非理性人得到的金幣數(shù)量大于或等于100人數(shù)（死了的人不算）時(shí)，非理性人才會(huì)同意。由非理性人提出分配方案時(shí)，其會(huì)提出按人數(shù)平均分配金幣；只有當(dāng)其是4號(hào)時(shí)，非理性人會(huì)給5號(hào)100金幣。 （指相對(duì)的平均分配，比如3人分100金幣時(shí)，非理性人會(huì)提出34、33、33的分配方案，自己多得1個(gè)金幣） 問題：如果你1號(hào)，且你是理性人，你會(huì)怎么分配？ 答案： 思路： 1：1號(hào)至少可以拿到20個(gè)金幣，因?yàn)樗梢蕴岢觯?0，20，20，20，20）的分配方案來冒充非理性人。 2：當(dāng)1號(hào)的分配方案所收買的某人的金幣數(shù)，大于1號(hào)死去后，后面的方配方案所給金幣的期望值時(shí)，其就會(huì)同意這提案。因此，1號(hào)的提案要考慮到2號(hào)的提案；而2號(hào)的提案又要考慮到3號(hào)的提案；而3號(hào)的提案又要考慮到4號(hào)的提案。所以先要從只有二人時(shí)開始分析。 3：此題要研究理性人心理的期望值，就需要站在理性人的角度思考。所以在逆推時(shí)，要假定有可能被收買的人是理性人，這樣才能算出理性人心理的期望值。 二人時(shí)： 如果4號(hào)是理性人，分配方案是（50，50） 如果5號(hào)是理性人，分配方案是（0，100） 三人時(shí)，有兩種情況： 3號(hào)是非理性人 3號(hào)的分配方案是（34，33，33） 注意：這里是分析理性人的想法，所以要假定4、5號(hào)是理性人，那么，站在4、5號(hào)的角度想，3號(hào)是非理性人的概率是1/2，而不是1/3。 那么，4號(hào)的期望是33/2；5號(hào)的期望是33/2 3號(hào)有1/2的概率是理性人 如果4號(hào)是理性人，在4號(hào)看來，3號(hào)死后4號(hào)的收益是50 如果5號(hào)是理性人，在5號(hào)看來，3號(hào)死后5號(hào)的收益是100 所以，3號(hào)的分配方案是（49，51，0） 4號(hào)的期望是51/2；5號(hào)的期望是0 以上兩種情況的期望合計(jì)：4號(hào)的期望42；5號(hào)的期望33/2 四人時(shí)，有兩種情況： 2號(hào)有1/3的概率是非理性人 2號(hào)的分配方案是（25，25，25，25） 3、4、5號(hào)的期望都是25/3 （再次說明：比如站在理性人3號(hào)的角度想，1號(hào)死后，2號(hào)是非理性人的概率是1/3，而不是1/4） 2號(hào)有2/3的概率是理性人 分析：3號(hào)50可收買；4號(hào)43可收買；5號(hào)17可收買。應(yīng)該收買4、5號(hào)，考慮到5號(hào)有可能是非理性人，所以應(yīng)給他25個(gè)金幣。 2號(hào)的分配方案是（32，0，43，25） 3號(hào)的期望是0 4號(hào)的期望是43*2/3=86/3 5號(hào)的期望是25*2/3=50/3 以上兩種情況的期望合計(jì)：3號(hào)的期望25/3；4號(hào)的期望37；5號(hào)的期望25 五人時(shí)： 分析：2號(hào)33可收買；3號(hào)9可收買；4號(hào)38可收買；5號(hào)26可收買。1號(hào)應(yīng)該收買3、5號(hào)?？紤]到3號(hào)有可能是非理性人，所以應(yīng)給他20個(gè)金幣。 答案是：（54，0，20，0，26） 思考題：其他條件不變，總?cè)藬?shù)是6、7、8人時(shí)，最優(yōu)策略分別是什么？五人時(shí)，有兩種情況： 1號(hào)有1/4的概率是非理性人 1號(hào)的分配方案是（20，20，20，20，20） 2-5號(hào)期望都是5 1號(hào)有3/4的概率是理性人 1號(hào)的分配方案是（54，0，20，0，26） 2-5號(hào)的期望分別是：0，15，0，19.5 以上兩種情況的期望合計(jì)：2-5號(hào)：5，20，5，24.5 六人時(shí)，有兩種情況： 第1號(hào)有1/5的概率是非理性人 第1號(hào)的分配方案是（20，16，16，16，16，16） 第2-6號(hào)期望都是3.2 第1號(hào)有4/5的概率是理性人 第1號(hào)的分配方案是（45，0，17，21，17，0） 第2-6號(hào)的期望分別是：0，13.6，16.8，13.6，0 以上兩種情況的期望合計(jì)：2-6號(hào)：3.2，16.8，20，16.8，3.2 七人時(shí)，有兩種情況： 第1號(hào)有1/6的概率是非理性人 第1號(hào)的分配方案是（16，14，14，14，14，14，14） 第2-6號(hào)期望都是7/3 第1號(hào)有5/6的概率是理性人 第一種方案：收買3個(gè)人 第1號(hào)的分配方案是（53，0，15，17，0，0，15）或（53，0，15，0，0，17，15） 第二種方案：收買4個(gè)人，其中必有3個(gè)人同意 （58，0，4，17，0，17，4） 第二種方案更優(yōu) 第2-7號(hào)的期望分別是：0，10/3，85/6，0，85/6，10/3 以上兩種情況的期望合計(jì)：2-7號(hào)：7/3，17/3，16.5，7/3，16.5，17/3 收買2-7號(hào)所需金幣數(shù)分別為：3，6，17，3，17，6 八人時(shí)，有兩種情況： 第1號(hào)有1/7的概率是非理性人 第1號(hào)的分配方案是（16，12，12，12，12，12，12，12） 第2-8號(hào)期望都是12/7 第1號(hào)有6/7的概率是理性人 第一種方案：收買4個(gè)人 （48，0，13，0，13，13，13，0） 第二種方案：收買5個(gè)人，其中必有4人同意 （65，0，3，6，17，3，0，6）或（65，0，3，6，0，3，17，6） 第二種方案更優(yōu) 第2號(hào)的期望是：0 第3號(hào)的期望是：3*6/7=18/7 第4號(hào)的期望是：6*6/7=36/7 第5號(hào)的期望是：17*6/7*1/2=51/7 第6號(hào)的期望是：3*6/7=18/7 第7號(hào)的期望是：17*6/7*1/2=51/7 第8號(hào)的期望是：6*6/7=36/7 以上兩種情況的期望合計(jì)：2-8號(hào)：12/7，30/7，48/7，9，30/7，9，48/7 收買2-8號(hào)所需金幣數(shù)分別為：2，5，7，10，5，10，7 九人時(shí)，有兩種情況： 第1號(hào)有1/8的概率是非理性人 第1號(hào)的分配方案是（12，11，11，11，11，11，11，11，11） 第2-9號(hào)期望都是11/8 第1號(hào)有7/8的概率是理性人 第1號(hào)的分配方案是：（74，0，2，5，7，0，5，0，7） （收買5人，其中必有4人同意） 第2-9號(hào)的期望分別是：0，14/8，35/8，49/8，0，35/8，0，49/8 以上兩種情況的期望合計(jì)：2-9號(hào)：1.375，3.125，5.75，7.5，1.375，5.75，1.375，7.5 十人時(shí)： 1號(hào)理性人的分配方案是：收買6個(gè)人，其中必有5個(gè)人同意。 （78，0，2，4，6，0，2，6，2，0） 小計(jì)：二人時(shí)（50，50）三人時(shí)（49，51，0）四人時(shí)（32，0，43，25）五人時(shí)（54，0，20，0，26）六人時(shí)（45，0，17，21，17，0）七人時(shí)（58，0，4，17，0，17，4