數(shù)學人教版八年級上冊最短路徑問題.doc

13.4.課題學習最短路徑教學設計 一、教材分析1、地位作用：隨著課改的深入，數(shù)學更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時、省財力、省物力而希望尋求最短路徑的數(shù)學問題。這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”，由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別。初中數(shù)學中路徑最短問題，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，并用數(shù)學解決現(xiàn)實生活問題的數(shù)學應用性。2、目標和目標解析：（1）目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想.（2）目標解析：達成目標的標志是：學生能講實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學中的線段和最小問題，能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“連點之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最算路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.3、教學重、難點教學重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“連點之間，線段最短”問題教學難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題突破難點的方法：利用軸對稱性質(zhì)，作任意已知點的對稱點，連接對稱點和已知點，得到一條線段，利用兩點之間線段最短來解決.二、教學準備：多媒體課件、導學案三、教學過程教學內(nèi)容與教師活動學生活動設計意圖一、創(chuàng)設情景 引入課題師：前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題” （板書）課題學生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認識.從生活中問題出發(fā)，喚起學生的學習興趣及探索欲望.二、自主探究 合作交流 建構新知追問1：觀察思考，抽象為數(shù)學問題這是一個實際問題，你打算首先做什么？ 活動1：思考畫圖、得出數(shù)學問題將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線 B。Al追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學問題嗎？ 師生活動：學生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識：（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地點，再回到B 地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點設C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D） lABCB強調(diào)：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”活動2：嘗試解決數(shù)學問題問題2 ： 如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，點C 是直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最?。?追問1你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B嗎？ B。Al問題3 如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，點C 是直線上的BlAC一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB的和最?。繋熒顒樱簩W生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補充如果學生有困難，教師可作如下提示作法：（1）作點B 關于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C，則點C 即為所求 如圖所示：BlCAB問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？ 教師展示：證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BCBlABCC方法提煉：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.問題4練習如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑 ABCPQ山河岸大橋基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q 在直線BC 的同側(cè)，如何在BC上找到一點R，使PR與QR 的和最小” 問題5 造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析：1、如圖假定任選位置造橋，連接和，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？BA思維點撥：改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？（估計有以下方法）1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.教師：上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決：如圖，平移A到A1，使A1等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此時路徑最短. 理由；另任作橋，連接，. 由平移性質(zhì)可知，. AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為，而轉(zhuǎn)化為. 在中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此 AM+MN+BN 如圖所示：BAA1NM方法提煉：將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問題”動手畫直線觀察口答動手連線觀察口答獨立思考合作交流匯報交流成果，書寫理由.思考感悟活動1中的將軍飲馬問題，把剛學過的方法經(jīng)驗遷移過來學生獨立完成，集體訂正學生獨立完成，集體訂正互相交流解題經(jīng)驗獨立完成，交流經(jīng)驗觀察思考，動手畫圖，用軸對稱知識進行解決各抒己見合作與交流交流體會為學生提供參與數(shù)學活動的生活情境，培養(yǎng)學生的把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力.經(jīng)歷觀察-畫圖-說理等活動，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學生的邏輯思考能力.達到軸對稱知識的學以致用注意問題解決方法的小結(jié)：抓對稱性來解決及時進行學法指導，注重方法規(guī)律的提煉總結(jié).學以致用，及時鞏固注意問題解決方法的小結(jié)：抓軸對稱來解決經(jīng)歷觀察-畫圖-說理等活動，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學生的邏輯思考能力.提煉思想方法：軸對稱，線段和最短體會轉(zhuǎn)化思想，體驗軸對稱知識的應用動手體驗動手作圖體驗轉(zhuǎn)化思想教學內(nèi)容與教師活動學生活動設計意圖三、鞏固訓練（一）基礎訓練：1、最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求如圖所示，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CACB最短，這時點C是直線l與AB的交點(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求如圖所示，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CACB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B，則點C是直線l與AB的交點2.如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處，PQ平移到B點處.（二）變式訓練：如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應建在什么地方？（三）綜合訓練：茅坪民族中學八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖a圖b學生獨立思考解決問題獨立思考，合作交流.鞏固所學知識，增強學生應用知識的能力，滲透轉(zhuǎn)化思想.提煉方法，為課本例題奠定基礎.四、反思小結(jié) 布置作業(yè)小結(jié)反思 （1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？解決問題中，我們應用了哪些數(shù)學思想方法？你還有哪些收獲？ 作業(yè)布置、課后延伸必做題：課本P93-15題；選做題：生活