10302命題與條件(答案).doc

第二講：命題與條件命題屬性：能夠判斷出真假。1、 命題有四種形式：原命題： ；逆命題：；否命題：；逆否命題：.若命題甲命題乙，且命題乙命題甲，則命題甲和命題乙稱為等價命題.原命題和逆否命題為等價命題,逆命題和否命題為等價命題.提示：等價交換是解題的一種很好的策略。2、 若,則叫做的充分條件;若,則叫做的必要條件;這就是必要性的由來；若,則是的充要條件.3、 若則是的充分條件；若則是的必要條件；若則是的充要條件。提示：從集合角度來判斷充分必要條件更科學。例：“”是“”的 條件。用集合的角度來解：表示平面上除掉（2，3）這個點，表示平面上除掉這條直線的點，所以后一個是前一個的子集，故“”是“”的必要而非充分條件。提示：解有關(guān)命題的題目應(yīng)該把握住的幾個關(guān)鍵點： 命題的形式； 充分必要條件的推理方向； 怎樣用集合的包含關(guān)系來理解分析集合的推理。例1 寫出命題：“”的逆命題、否命題、逆否命題、并判斷它們的真假。解：逆命題：；否命題：；逆否命題：.因為當x=2時,所以原命題為真命題,從而逆否命題也為真命題.逆命題為假命題.它的一個反例是取x=1,此時2,但.由此知否命題也為假命題.例2 已知一個命題的逆命題是：“若整數(shù)m、n不具有相同的奇偶性，則mn和m+n也不具有相同的奇偶性”，寫出其余命題的形式，并判斷其真?zhèn)?。解：原命題：若mn和m+n不具有相同的奇偶性，則整數(shù)m、n不具有相同的奇偶性；否命題：若mn和m+n具有相同的奇偶性，則整數(shù)m、n具有相同的奇偶性；逆否命題：若m、n具有相同的奇偶性，則mn和m+n具有相同的奇偶性。因為m、n不具有相同的奇偶性，所以，mn為偶數(shù)，m+n為奇數(shù)，mn和m+n不具有相同的奇偶性，所以逆命題正確，否命題和逆命題互為逆否命題，是等價命題，從而否命題也真命題；若m、n均為奇數(shù)，則mn為奇數(shù)，m+n為偶數(shù)，mn和m+n奇偶性不同，所以，逆否命題為假命題，原命題和逆否命題是等價命題，所以原命題也為假命題。例3.有限集合S中元素的個數(shù)記為，設(shè)A，B都為有限集合，給出下列命題：（1）的充要條件是（2）的必要條件是（3）的充分條件（4）的充要條件是以上真命題的序號是 。解：根據(jù)集合的交集、子集等概念，再結(jié)合充分必要條件的定義可得：真命題為（1），（2）；例4 命題甲：數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列；命題乙：數(shù)列的前n項，判斷甲、乙是否為等價命題，并說明理由。 解：若是公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)首項為該數(shù)列的前n項和令若數(shù)列的且n項和則當時，又當n=1時，也滿足上式，所以所以所以是公差不為0的等差數(shù)列。所以，命題甲和命題乙為等價命題。提示：通過這道題，我們可以得出：對于，則數(shù)列為等差數(shù)列。那么，對于呢？其實，當c為0時，就是前面討論的結(jié)論；當時，則第一項為a+b+c，從第二項開始為等差數(shù)列。例5 （1）已知角則的（ ）A、充分但非必要條件 B、必要但非充分條件 C、充分必要條件 D、既非充分又非必要條件解：若若，取所以，應(yīng)選A（2）（09安徽省高考題）下列選項中，是的必要不充分條件的是（A）， （B）， 的圖像不過第二象限（C）， （D）， 在上為增函數(shù)解：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可舉反例。選A(3)設(shè)或或是的充分條件，求m的取值范圍。解：設(shè)是由圖得：解得：或的取值范圍是分析：此題給出了是的充分條件，根據(jù)子集與推出關(guān)系的等價轉(zhuǎn)換，可以用數(shù)軸來表示它們之間的關(guān)系，這更加直觀、明確。例6（2007年上海高考理科試題第15題）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足；“當成立時，總可推出“成立”。那么。下列命題總成立的是（A）若成立，則當時，均有成立。（B）若成立，則當時，均有成立。（C）若成立，則當時，均有成立。（D）若成立，則當時，均有成立。解：分析命題之間的關(guān)系，要用到原命題等價于逆否命題，也就有當成立時，總可推出成立”。等價于：成立總可推出成立。對比上述（A）選擇支，若成立，只能推出：當時，均有成立。所以（A）不對；（B）選擇支：若成立，能推出當，；（B）不成立；（C）選擇支，若成立，只能推出：當時，均有成立，所以正確的答案是（D）。（ ）A、充分但非必要條件 B、必要但非充分條件C、充分必要條件 D、既非充分又非必要條件解:若取，則充分性不成立；若取且，這兩個不等式的解集都為，必要性也不成立。答案選D例8 寫出為偶函數(shù)的一個充分不必要條件。（答案不唯一，只需寫出一個即可），你能否寫出必要不充分條件，充要條件嗎？解：取或者取如果要找出充要條件，則由定義得：；例9已知三個一元二次方程：中至少有一個方程有實根，求實數(shù)的取值范圍。解：考慮三個方程都沒有實根的情形：故所求的范圍是例10給出如下兩個命題：命題是的反函數(shù)，且命題：集合求實數(shù)a的取值范圍，使命題中有且只有一個為真命題。解：化簡命題，得若p真q假,則有若p假q真,則有故當時，命題中有且只有一個為真命題例11 設(shè)，若“對于一切實數(shù)x，f（x）0”是”對一切實數(shù)x,g(x)0”的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.解:對于一切實數(shù)x,(這里A=(-1,3)當m=0,g(x)=2ax,因為g(0)=0,所以不可能對一切實數(shù)x,g(x)0,因此,對一切實數(shù)x,g(x)0“對一切實數(shù)x,f(x)0”是”對一切實數(shù)x,g(x)0”的充分條件,必須且只須提示：這里的關(guān)鍵點是將（“對于一切實數(shù)x，f（x）0”是”對一切實數(shù)x,g(x)0”的充分條件）這個條件轉(zhuǎn)化為第一個條件a的取值范圍是第二個條件a的取值范圍的子集。記住這個觀點：命題條件問題轉(zhuǎn)化為集合問題來解決。例12 已知拋物線點A（3，0）B（0，3），求拋物線與線段AB有兩個不同交點的充要條件是什么？AB方程為x+y-3=0， 4 3 o y x 如果不考慮對稱軸，就會出現(xiàn)虛線圖像這種情況，顯然不滿足條件自測練習題：（1）為奇函數(shù)是的（ D ）條件。A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要提示：顯然 推不出為奇函數(shù)；那為奇函數(shù)能否推出呢，反例，故為奇函數(shù)是的.既非充分也非必要條件。（2）是在第三或第四象限的（ C ）A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分也非必要（3）空間四邊形的四邊相等是的（ B ）條件。A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非