數學人教版八年級上冊13.4課題學習 最短路徑.docx

13.4 課題學習 最短路徑問題教學目標：1、能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題. 2、體會圖形的變化在解決最值問題中的作用. 3、感悟轉化思想學習重點：BAll 利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線 段最短”問題教學過程 一、探索新知問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個問題抽象為數學問題嗎？ 追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？ （1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地點，再回到B 地的路程之和； BAl（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線l上的點設C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C 在l 的什么位置時， AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D） 問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB的和最??？ 追問1對于問題2，如何將點B“移”到l 的另一側B處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB的長度相等？ 追問2你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B嗎？ 問題2 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB的和最?。?作法：BlABC（1）作點B 關于直線l 的對稱 點B；（2）連接AB，與直線l 相交 于點C 則點C 即為所求 問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），連接AC，BC，BC.由軸對稱的性質知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC追問1證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ C 不重合）與A，B 兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小 追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 二、練習如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山河岸大橋基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經線路將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉化為“點P，Q 在直線BC的同側，如何在BC上找到一點R，使PR與QR 的和最小” 三