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19.2 一次函數(shù)19.2.1 正比例函數(shù)【知識與技能】1.初步理解正比例函數(shù)的概念及其圖象的特征.2.能夠畫出正比例函數(shù)的圖象.3.能夠判斷兩個變量是否能夠構成正比例函數(shù)關系.4.能夠利用正比例函數(shù)解決簡單的數(shù)學問題.【過程與方法】1.通過實例,體會建立數(shù)學模型的思想.2.通過正比例函數(shù)圖象的學習與研究,感知數(shù)形結合思想.【情感態(tài)度】結合描點作圖,培養(yǎng)學生認真、細心、嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.【教學重點】正比例函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).【教學難點】正比例函數(shù)的特征.一、情境導入,初步認識請學生預習、自學教材,并討論課本“思考”的問題.【答案】(1)l=2r;(2)m=7.8V;(3)h=0.5n;(4)T=-2t.觀察這些解析式有什么共同特點?由學生討論,教師總結.一般地,形如y=kx(k是常數(shù),k0)的函數(shù),叫做正比例函數(shù),其中k叫做比例系數(shù).請學生列舉日常生活中的正比例函數(shù)的模型,舉例如下:(1)利率不變的情況下,利息隨存款數(shù)的變化而變化.(2)某本書的單價不變,銷售額隨售出圖書數(shù)量的變化而變化.(3)火車速度不變,行駛距離隨時間的變化而變化.(4)單位千克郵價不變,郵費隨郵包重量的變化而變化.例1 已知y=(k+1)x+k-1是正比例函數(shù),求k的值.【分析】聯(lián)想正比例函數(shù)定義可知,應用時考慮k+10,k-1=0,綜合可得k=1.【教學說明】這類問題看三點:(1)自變量的最高次數(shù)為1;(2)含自變量x的系數(shù)k0;(3)常數(shù)項為0,三者必須同時滿足.例2 根據(jù)下列條件求函數(shù)的解析式.(1)y與x2成正比例,且x=-2時,y=12.(2)函數(shù)y=(k2-4)x2+(k+1)x是正比例函數(shù),且y隨x的增大而減小.【分析】(1)根據(jù)正比例函數(shù)的定義,可設y=kx2,再由x=-2,y=12代入求得k值;(2)注意題中要求,及式子特點,結合定義與性質(zhì)考慮.解:(1)設y=kx2(k0),把x=-2,y=12代入得(-2)2k=12,k=3,即y=3x2.(2)由題意得:k2-4=0,k=2或k=-2.又y隨x的增大而減小,k+10.故k=-2,即y=-x.【教學說明】(2)中含有自變量x的二次方,由題意知解析式應不含二次項,故令其系數(shù)為0.二、思考探究,獲取新知師生共同畫出y=x,y=-x的圖象,并鼓勵學生探索圖象特征,引導學生歸納的結果圍繞以下幾個方面:(1)兩圖象都是經(jīng)過原點的直線.(2)函數(shù)y=x的圖象從左向右遞增,經(jīng)過一、三象限.(3)函數(shù)y=-x的圖象從左向右遞減,經(jīng)過二、四象限.教師總結正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì):一般地,正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù),k0)的圖象是一條經(jīng)過原點的直線,當k0時,直線過第一、三象限,y隨x的增大而增大;當k0時,直線過第二、四象限,y隨x的增大而減小.例1 已知正比例函數(shù)的圖象過點(2m,3m),m0,求這個正比例函數(shù)的解析式.解:設正比例函數(shù)的解析式為:y=kx.把(2m,3m)代入得3m=k2m,解得k=.解析式為y=x.【教學說明】正比例函數(shù)中只含有一個待定系數(shù),只需知道一點坐標即可求得其解析式.例2 已知(x1,y1)、(x2,y2)是直線y=-x上的兩點,若x1x2,則y1,y2的大小關系是( ).A.y1y2 B. y1y2 C. y1= y2 D.不能比較【分析】因為y=-x中-0,即直線y=-x的函數(shù)值是隨x的增大而減小的,所以當x1x2時,y1y2,故選A.【教學說明】通常我們在x的某一范圍內(nèi)取x1x2,若點(x1,y1),(x2,y2)為函數(shù)圖象上的兩點,當y1y2時,該函數(shù)在這個范圍內(nèi)y隨x的增大而增大;當y1y2時,該函數(shù)在這個范圍內(nèi)y隨x增大而減小.三、運用新知,深化理解1.已知正比例函數(shù)y=(k+3)x.(1)k為何值時,函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限.(2)k為何值時,y隨x的增大而減小.(3)k為何值時,函數(shù)圖象經(jīng)過點(1,1).2.已知y-3與x成正比例,當x=2時,y=7,求y與x之間的函數(shù)解析式.3.在函數(shù)y=-3x的圖象上取一點P,過P點作PAx軸,已知P點橫坐標為-2,求POA的面積(O為坐標原點).【教學說明】以上各題由學生自主探究,有疑問的教師加以指導,最后評析.【答案】1.(1)k-3;(2)k-3; (3)k=-2.2.設y-3=kx,當x=2時,y=7,代入得7-3=2k,k=2,即y-3=2x,則y=2x+3.3.點P在函數(shù)y=-3x的圖象上,且P點的橫坐標為-2,y=-3(-2)=6,即P點的坐標為(-2,6).SPOA=1226=6.四、師生互動,課堂小結問題1.什么是正比例函數(shù)?其解析式是什么?2.正比例函數(shù)的圖象是什么?它有什么特征?3.如何簡便地畫出正比例函數(shù)的圖象?4.本節(jié)課的學習經(jīng)歷了怎樣的過程?你有何感悟?1.布置作業(yè):從教材“習題19.2”中選取.2.完成練習冊中本課時練習.因從本課時開始,學生將逐漸認識并理解各類具體的函數(shù)圖象,一般的基本方法是由解析式畫圖象,再由圖象得出性質(zhì),再反過來由函數(shù)性質(zhì)研究圖象的其他特征,結合學生已有的知識與經(jīng)驗和后
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