橢圓中的一組“定值”命題.doc

橢圓中的一組“定值”命題圓錐曲線中的有關(guān)“定值”問(wèn)題，是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。筆者在長(zhǎng)時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐中，以橢圓為載體，探索總結(jié)出了橢圓中一組“定值”的命題，當(dāng)然屬于瀚宇之探微，現(xiàn)與同學(xué)們分享。希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望同學(xué)們能在雙曲線、拋物線等的后續(xù)學(xué)習(xí)中，能夠利用類比的方法，探索總結(jié)出相關(guān)的結(jié)論。命題1 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM、PN的斜率都存在，則為定值.證明：設(shè)，則（*），而點(diǎn)P、M均在橢圓上，故，代入（*）便可得到.練習(xí)： 已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，則 . （答案：）.命題2 設(shè)A、B、C是橢圓上的三個(gè)不同點(diǎn)，B、C關(guān)于軸對(duì)稱，直線AB、AC分別與軸交于M、N兩點(diǎn)，則為定值.證明：設(shè)，則直線AB的方程為，令得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是，由于，因此有.練習(xí)： 設(shè)分別是橢圓的上下兩個(gè)頂點(diǎn)，P是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交軸于M、N兩點(diǎn)，則 . （答案：25）.命題3 過(guò)橢圓上一點(diǎn)任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值.證明：設(shè)直線PM的方程為，則直線PN的方程為， 聯(lián)立和組成方程組，消去y可得.設(shè)，則，可得，同理可得， 則， ，于是， 故直線MN的斜率為.練習(xí)： 已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)且不平行于坐標(biāo)軸的直線，分別交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，則直線PQ的斜率為 . （答案：）.命題4分別過(guò)橢圓上兩點(diǎn)作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值.證明：設(shè)直線PM的方程為，聯(lián)立和組成方程組，消去y可得. 設(shè)，則，可得，同理可得，則，于是有. 因?yàn)辄c(diǎn)P、Q都在橢圓上，所以，兩式相減可得，同理可得，令，則，將、代入便有，即直線MN的斜率為定值.練習(xí)： 分別過(guò)橢圓上兩點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)且