數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理逆定理教學(xué)設(shè)計(jì).doc

17.2勾股定理的逆定理 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1.了解互逆命題和互逆定理的概念。2. 理解勾股定理逆定理的證明方法并能證明勾股定理的逆定理。3.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否為直角三角形。4.會(huì)認(rèn)識(shí)并判別勾股數(shù)。過(guò)程與方法1.用三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。2經(jīng)歷證明勾股定理逆定理的過(guò)程，發(fā)展邏輯思維能力和空間想象能力。3經(jīng)歷互為逆定理的討論，樹立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和實(shí)事求是求學(xué)精神。情感態(tài)度與價(jià)值觀1通過(guò)對(duì)Rt判別條件的研究，樹立大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神。2通過(guò)介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)解決問(wèn)題的愿望。3經(jīng)歷探索勾股定理逆定理證明的過(guò)程，樹立克服困難的勇氣和堅(jiān)強(qiáng)的意志。4樹立與人合作、交流的團(tuán)隊(duì)意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的逆定理及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明。教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)、分組討論教學(xué)媒體多媒體課件演示。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課（1）總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)。（2）一個(gè)三角形，滿足什么條件是直角三角形？通過(guò)對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)，聯(lián)想到用三邊的關(guān)系是否可以判斷一個(gè)三角形為直角三角形，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)反思問(wèn)題的能力。學(xué)生分組討論，交流總結(jié)；教師引導(dǎo)學(xué)生回憶。（1）直角三角形有如下性質(zhì)：有一個(gè)角是直角；兩個(gè)銳角互余；兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；在含30角的直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。（2）有一個(gè)內(nèi)角是90，那么這個(gè)三角形就為直角三角形大家思考一下還有沒(méi)有其他的方法來(lái)說(shuō)明一個(gè)三角形是直角三角形呢？前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理，可不可以用三角形三邊的關(guān)系來(lái)判定它是否為直角三角形呢？我們來(lái)看一下野外拓展訓(xùn)練小組的同學(xué)是如何做的？（二）講授新課觀看視頻：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)、4個(gè)結(jié)、5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角。活動(dòng)1請(qǐng)你按下列步驟畫出一個(gè)三角形.步驟1：找到滿足a2+b2=c2的三個(gè)數(shù)a，b，c. 如3,4,5；2.5,6,6.5.步驟2：畫出以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形.問(wèn)題：這個(gè)三角形是什么形狀呢？這個(gè)問(wèn)題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5有下面的關(guān)系“32+42=52”那么圍成的三角形是直角三角形。大家畫一畫、量一量，看看這樣做出的三角形是直角三角形嗎？再畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5 cm、6 cm、6.5 cm，有下面的關(guān)系，“2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4 cm、7.5cm、8.5 cm再試一試。讓學(xué)生在小組內(nèi)共同合作，協(xié)手完成此活動(dòng)。用尺規(guī)作圖的方法作出三角形，經(jīng)過(guò)測(cè)量后，發(fā)現(xiàn)以上兩組數(shù)組成的三角形是直角三角形，而且三邊滿足a2+b2=c2。我們進(jìn)而會(huì)想：是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個(gè)直角三角形呢？活動(dòng)2請(qǐng)你按以下步驟做一個(gè)直角三角形步驟1：以活動(dòng)1中a，b的長(zhǎng)為直角邊作直角三角形.步驟2：求出斜邊的長(zhǎng).問(wèn)題：比較活動(dòng)1和活動(dòng)2中的三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？已知：在ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2求證： ABC是直角三角形。證明：畫一個(gè)ABC，使 C=900，BC=a， CA=b C=900 AB2= a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 邊長(zhǎng)取正值 AB =c在 ABC和 ABC中BC=a=BCCA=b=CAAB=c=AB ABC ABC（SSS） C= C(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） C= 900 ABC是直角三角形（直角三角形的定義）結(jié)論： 如果三角形的三邊長(zhǎng)：a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形。當(dāng)我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個(gè)定理由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題l的逆命題，在此我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互為逆定理。同時(shí)，我們也進(jìn)一步明白了古埃及人那樣做的道理實(shí)際上，古代中國(guó)人也曾利用相似的方法得到直角。直至科技發(fā)達(dá)的今天人類已跨入21世紀(jì)建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法”?！叭奈宸啪€法”是一種古老的歸方操作。所謂“歸方”就是“做成：直角”譬如建造房屋，房角般總是成90，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？ 如右圖，欲過(guò)基線MN上的一點(diǎn)C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測(cè)繩的0和12尺處，固定在C點(diǎn)；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點(diǎn)，再由一人拿9尺處。把尺拉直，定出B點(diǎn)，于是連結(jié)BC，就是MN的垂線。建筑工人用了3，4，5作出了一個(gè)直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢？生：可以，例如7，24，25；8，15，17等據(jù)說(shuō)，我國(guó)古代大禹治水測(cè)量工程時(shí)，也用類似的方法確定直角。滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。如3，4，5；5，12，13活動(dòng)3問(wèn)題：命題1 如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2。命題2 如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2那么這個(gè)三角形是直角三角形。它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？學(xué)生閱讀課本，并回憶前面學(xué)過(guò)的一些命題，得出命題和逆命題的概念。教師認(rèn)真傾聽學(xué)生的分析。教師在本活動(dòng)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生；能否發(fā)現(xiàn)互逆命題的題沒(méi)和結(jié)論之間的關(guān)系。能否積極主動(dòng)地回憶我們前面學(xué)過(guò)的互逆命題。（三）鞏固提高例1 判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15；（3）求證m2n2，m2+n2，2mn（mn，m，n是正整數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)。進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)用勾股定理的逆定理，實(shí)現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一，第（3）題又讓學(xué)生從一次從一般形式上去認(rèn)識(shí)勾股數(shù)，如果能讓學(xué)生熟記幾組勾股數(shù)，我們?cè)谂袛嗳切蔚男螤顣r(shí)，就可以避開很麻煩的運(yùn)算。師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2n2、m2+n2、2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m、n取值的不同會(huì)得到不同的勾股數(shù)。例如m=2，n=1時(shí)，m2n2=2212=3，m2+n2=22+12=5，2mn=221=4，而3、4、5就是一組勾股數(shù)。你還能找到不同的勾股數(shù)嗎？生：當(dāng)m=3，n=2時(shí)，m2n2=3222=5，m2+n2=13，2mn=232，所以5、12、13也是一組勾股數(shù)。當(dāng)m=4，n=2時(shí)，m2n2=4222=12，m2+n2=20，2mn=242=16，所以12、16、20也是一組勾股數(shù)。師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無(wú)數(shù)個(gè)，而上面介紹的就是尋找勾股數(shù)組的一種方法。例2 “遠(yuǎn)航”號(hào)，“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？教師先鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，然后小組內(nèi)交流討論，教師需巡視，對(duì)有困難的學(xué)生一個(gè)啟示，幫助它們尋找解題的途徑。生：我們根據(jù)題意畫出圖形（如下圖），可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了解：根據(jù)題意畫出下圖PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30因?yàn)?42+182=302，即PQ2+PR2=QR2。所以QPR=90由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，QPS=45，所以RPS=45，即“海天號(hào)沿西北或東南方向航向?！崩?：A、B、C三地兩兩距離如下圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？由學(xué)生獨(dú)立完成后，由一個(gè)學(xué)生板演，教師講解。解：BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169所以BC2+AB2=AC2，即BC的方向與BA方向成直角，ABC=90，C地應(yīng)在B地的正北方向。例4：個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中 和都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎？分析：這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問(wèn)題的例子。解：在中，所以是直角三