2018幾何問題之中點(diǎn)問題.doc

幾何問題之 中點(diǎn)問題1、掌握三角形的內(nèi)角和定理；2、了解三角形三邊的關(guān)系，并且能進(jìn)行簡單的應(yīng)用；3、學(xué)習(xí)用三角形邊、角的關(guān)系進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明；4、學(xué)習(xí)分析問題、解決問題的能力。一、中點(diǎn)有關(guān)聯(lián)想歸類：1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)；2、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”；4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）；5、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線；6、有中點(diǎn)時(shí)，常會出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）；7、倍長中線。二、與中點(diǎn)問題有關(guān)的四大輔助線：1、出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，可以延長（簡稱“倍長中線”）；2、出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線；3、出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線；4、出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，構(gòu)造“三線合一” 。三、幾何證明之輔助線構(gòu)造技巧： 1、假如作一條輔助線，能起到什么作用； 2、常作那些輔助線能與已知條件聯(lián)系更緊密，且不破壞已知條件。一、基礎(chǔ)回顧1、線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。2、若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則： 從線段來看：； 從點(diǎn)與點(diǎn)的相對位置來看：點(diǎn)在點(diǎn)之間，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱。3、三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對的邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中線。 一個(gè)三角形有三條中線； 每條中線平分三角形的面積； 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，每條中線被該點(diǎn)（重心）分成1:2的兩段； 三角形的三條中線把三角形分成六個(gè)面積相等的小三角形。2、 如何延長三角形的中線 1、延長1倍的中線：如圖，線段是的中線，延長線段至，使（即延長1倍的中線），再連接?？偟膩碚f，就可以得到一個(gè)平行四邊形和兩對（中心選轉(zhuǎn)型）全等三角形、，且每對全等三角形都關(guān)于點(diǎn)中心對稱；詳細(xì)地說，就是可以轉(zhuǎn)移角：，；可以移邊：，；可以構(gòu)造平行線：，；可以構(gòu)造邊長與、有關(guān)的三角形：、。（1） 延長倍的中線：（且）如左（右）下圖，點(diǎn)為中線（延長線）上的點(diǎn)，延長至，使，連接、.在平行四邊形中就可以得到類似（1）中的結(jié)論。注意：通常在已知條件或結(jié)論中測及到與、有關(guān)的邊與角時(shí)，會用這種輔助線. 整體做題思路：例題1例1、如圖，中，是中線.求證：。DC例題2例2、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長交于.求證：。DC例題3例3、已知中，求邊上的中線的范圍。DC 1、如圖1，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，于點(diǎn)，則等于（ ）A B C D2、如圖，中，為斜邊的中點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，且，若，試求的長。 3、如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，為的平分線，過作的平行線，交于，交的延長線于。求證：。4、如圖所示，已知為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：。 備用圖1、 出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線1、如圖，在中，直角所對的邊稱為的斜邊，由，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，且。，.， 又，2、發(fā)現(xiàn)線段為斜邊上的中線，且等于斜邊的一半。3、作斜邊中線，可以構(gòu)造出等腰三角形，從而得到相等的邊、相等的角。4、通常在知道直角三角形斜邊的中點(diǎn)的情況下，想到作斜邊中線這條輔助線。2、 出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線1、中位線：連接三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說明理由為什么是中位線，再用中位線的性質(zhì). 2、中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；3、中位線輔助線能起到的作用： 在線段大小關(guān)系上，三角形的中位線是三角形第三邊的一半，起著傳遞線段長度的功能。 在位置上，三角形的中位線平行三角形的第三邊，起著角的位置轉(zhuǎn)移和計(jì)算角的的功能。4、通常在以下兩種情況下，會作中位線輔助線： 有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）的中點(diǎn)時(shí)； 有一邊中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及到線段的倍分關(guān)系時(shí)。熟悉以下兩個(gè)圖形：例題4例4、如圖，在四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，、的延長線分別交的延長線、。求證：。 例題5例5、已知：如圖，中，在上取點(diǎn)，在延長線上取點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若是中點(diǎn)，求證：。 例題6例6、如圖，中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)。求證：。 例題7例7、如圖1-1，已知中，在中，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)和，（1）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合，如圖1-1，求證：且；（2）將圖1-1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于的角，如圖1-2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明。圖1-2圖1-15、如圖，