數(shù)學奧林匹克初中練習題16.pdf

2中等數(shù)學 r 一 一 i 模擬訓練 一 j 羧孥塊淋蜃巍劫睜鍘緞澄 1 6 第一試 一 選擇題 每小題7 分 共4 2 分 1 滿足方程 I 戈一1l 一2 I 戈一2 I 3 Ix 一3 I 4 的有理數(shù)戈有 個 A 1 B 2 c 3 D 無數(shù) 2 若2 戈2 6 y 2 x y 十 6 能分解為兩 個一次因式的積 則整數(shù)k 的值有 個 A 1 B 2 c 3 D 4 3 一名學生在用某自然數(shù)代人下面的某 個二次函數(shù) z k l 2 3 4 時 得到了 一個完全平方數(shù) 則他用的函數(shù)是 A J j 戈 戈2 5 戈 7 B 戈 2 7 戈 1 0 C T f 戈2 9 戈 1 8 D f 4 z 石2 1 1z 2 4 若正六邊形丁 內(nèi)接于o O 正六邊形 咒外切于oO 則E 與r 的面積比為 A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 5 設(shè)血 b c d e 為互異正奇數(shù) 若方程 x n x b z c x d x e 20 0 9 有整數(shù)根x 則o b c d e 的末位數(shù)字 是 A 1 B 3 C 7 D 9 6 若直角三角形的三條邊長為正整數(shù) 并且其周長與面積的數(shù)值相等 則稱為是 標 準直角三角形 那么 標準直角三角形的個 數(shù)為 A 0 B l C 2 D 無數(shù) 二 填空題 每小題7 分 共2 8 分 1 當石 掣時 代數(shù)式 二 戈 并 1 戈 2 x 3 戈 4 戈 5 的值為 2 若 A B C 的三條邊長為 2 3 5 則其內(nèi)切圓半徑r 3 在圖1 所示的奧運五環(huán)圖中 每個圓 的半徑皆為l 且對于相交的任一對圓來說 每個圓各有五分之一的圓弧含于另一圓內(nèi) 證明 D M D N 1 刊2 三 2 5 分 將1 2 9 分成三組 每組 三個數(shù) 使得每組中的三數(shù)之和皆為質(zhì)數(shù) 1 證明 其中必有兩組數(shù)的和相等 2 求出所有不同分法的種數(shù) 萬方數(shù)據(jù) 2 0 0 9 年第1 期3 參考答案 第一試 一 1 D 點l 2 3 分數(shù)軸為四個區(qū)問 一 1 1 2 2 3 3 在每種情況下去掉絕對值符號 共得到解 1 髫 2 戈 5 其中的有理數(shù)有無數(shù)多個 2 B 利用判別式或待定系數(shù)法得k 4 7 3 D 當z 為自然數(shù)時 有 X 2 2 戈2 5 戈 7 戈 3 2 戈 3 2 x 2 7 菇 1 0 戈 4 2 菇 4 2 石2 9 石 1 8 菇 5 2 也就是當菇取自然數(shù)時 函數(shù) 廠I 戈 五 戈 也 省 都介于兩個相鄰的平方數(shù)之問 故不可能是平方數(shù) 因此 可能取值平方數(shù)的 只有色是 z x 2 l1 x 2 另外 當艽 2 3 時 2 3 7 8 4 2 8 2 4 B 如圖3 將丁 砭分 別看成由頂角為1 2 0 的 等腰三角形拼組而成 則7 中含有1 8 個等腰 三角形 乃中含有2 4 個 等腰三角形 故其面積 比為1 8 2 4 3 4 5 D 對任 整數(shù)戈 戈一o 戈一b 石一c 石一 d 戈一e 為互異整數(shù) 而將20 0 9 表為五個互 異整數(shù)的積只有唯一形式 20 0 9 l 一1 X7X 一7 X4 1 因此 戈為偶數(shù) 記菇 2 m 則 2 m n 2 m b 2 m c 2 m d 2 m e 一l 1 一7 7 4 1 于是 由元素和 l o r e 一 b c d e 4 1 得o b c d e I O m 一4 1 其末位數(shù)字 是9 6 C 設(shè)R t A B C 的三條邊長分別為菇 Y z 0 戈 Y z 則 戈 Y z 掣 戈2 Y 2 z 2 戈 z 罾 戈 z 因此 2 詈一戈一y 2 l f 羔4 V 2 石 I l J 戈一4 y 一4 8 故x 一4 1 y 一4 8 或石一4 2 Y 一4 4 于是 戈 Y z 5 1 2 1 3 或 6 8 1 0 共兩個標準直角三角形 二 1 一1 5 由2 戈 5 2 l 平方后整理得 戈2 5 戈 1 0 于是 戈 艽 5 一1 又 戈 1 戈 4 艽2 5 石 4 3 戈 2 戈 3 髫2 5 戈 6 5 故以上三式相乘得所求的值為一1 5 4 3 4 3 2 易知 壓 2 以 2 以 2 故 A B C 為隨角三角形 兩直角邊長為拒 歷 其面積 S 孥 又 半 哮 得 壓 以一朽 一一一r 一 3 摯 每個網(wǎng)的面積為丌 圓位于五邊形一邊 之外的弓形面積為娶 而圖形重疊部分含 有8 個弓形 則所求面積為 5 兀一 8 粵竽 4 6 4 稱此類年號為 特殊年號 至今為止 首 位為2 的特殊年號只有20 0 9 對于首位為1 萬方數(shù)據(jù) 4 中等數(shù)學 的年號 另三位數(shù)碼和為1 0 其中至多一位 為0 若其中一位為0 且另兩位的和為1 0 有 9 種情況 若考慮0 的位置 共得3 9 2 7 種 情況 若后三位都不為0 其填法種數(shù)等于 戈 Y z 1 0 的正整數(shù)解的組數(shù) 按戈取值 由1 到8 討論得3 6 組解 故連同20 0 9 本身 共計解數(shù)1 2 7 3 6 6 4 個 第二試 一 將方程看作關(guān)于 的一元二次方 程 整理得 0 2 一 2 石2 6 石 n 戈4 6 戈3 9 戈2 4 0 爭口2 一 2 x 2 6 z 口 菇2 3 戈 2 4 0 爭口2 一 戈2 3 x 2 戈2 3 戈一2 口 戈2 3 戈 2 戈2 3 戈一2 0 j 口 石2 3 茄 2 和o 石2 3 一2 分別解得 一3 而一3 芤而 石1 22 1 廠 3 42 r 一 二 如圖4 設(shè)內(nèi) 心為J 聯(lián)結(jié)偽 腰 I F B M C N 則A E 四點共圓 有 L I E F L I A F 掣 B E M 吾 掣 B I C BDC 圖4 所以 曰 E M 四點共圓 于是 么B M I 么B E I 9 0 0 同理 么B N C 9 0 0 故D M D N 分別是R t B M C R t B N C 斜邊B C 上的中線 1 因此 D M D N i 1B C 二 三 1 由于在1 2 9 中 三個不同的 數(shù)之和介于6 和2 4 之間 其中的質(zhì)數(shù)只有7 1 1 1 3 1 7 1 9 2 3 這六個 現(xiàn)將這六個數(shù)按被 3 除的余數(shù)情況分為兩類 A 7 1 3 1 9 其中每個數(shù)被3 除余1 B 1 1 1 7 2 3 其中每個數(shù)被3 除余2 假若所分成的A B C 三組數(shù)對應的和 P P P 為互異質(zhì)數(shù) 因P P 6 P 1 2 9 4 5 能被 3 整除 故三個和數(shù)P P P 必為同一類 數(shù) 注意到4 類三數(shù)的和7 1 3 1 9 3 9 d 5 矛 盾 故三個和數(shù)中必有兩個相等 2 據(jù) 1 知 將4 5 表成7 1 1 1 3 1 7 1 9 2 3 中的三數(shù)和 其中有兩數(shù)相等 只有四種 情況 1 9 1 9 7 1 7 1 7 1 1 1 3 1 3 1 9 1 1 1 1 2 3 由于在1 2 9 中有5 個奇數(shù) 故分成 的三組中必有一組三數(shù)全為奇數(shù) 另兩組各 有一個奇數(shù) 對于情形 和為7 的組只有 1 2 4 將剩下的六個數(shù)3 5 6 7 8 9 分為和為1 9 的兩組 且其中一組全為奇數(shù) 只有唯一的分 法 3 7 9 與 5 6 8 對于情形 若三奇數(shù)的組為 1 7 9 則另兩組為 4 5 8 2 3 6 或 3 6 8 2 4 5 若三奇數(shù)的組為 3 5 9 則另兩組為 2 8 7 1 4 6 或 4 6 7 1 2 8 若三奇數(shù)的組為 1 3 7 則另兩組為 2 6 9 4 5 8 共得5 種分法 對于情形 若三奇數(shù)的組為 3 7 9 則另兩組為 1 4 8 2 5 6 若三奇數(shù)的組為 1 3 9 則另兩組為 2 4 7 5 6 8 或 2 5 6 4 7 8 若三奇數(shù)的組為 1 5 7 則另兩組為 3 4 6 2 8 9 或 2 3 8 4 6 9 共得5 種分法 對于情形 和為2 3 的組只有 6 8 9 則另兩組為 1 3 7 2 4 5 綜上 共計1 5 5 1 1 2 種分法 陶平生江西科技師范學院數(shù)學與計 算機科學系 3