三角函數(shù)公式+習題.doc

平方關系： (sinx)2+(cosx)2=1 1(tanx)2(secx)2 1(cotx)2(cscx)2 積的關系： sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot 倒數(shù)關系： tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的關系： sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec兩角和與差的三角函數(shù)： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函數(shù)： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 輔助角公式： Asin+Bcos=(A+B)sin(+arctan(B/A)，其中 sint=B/(A+B) cost=A/(A+B) tant=B/A Asin-Bcos=(A+B)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=(cos)2-(sin)2=)=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2)=2tan/(1-tan) 三倍角公式： sin(3) = 3sin-4sin = 4sinsin(60+)sin(60-) cos(3) = 4cos-3cos = 4coscos(60+)cos(60-) tan(3) = (3tan-tan)/(1-3tan) = tantan(/3+)tan(/3-) 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降冪公式 sin=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan=(1-cos(2)/(1+cos(2) 萬能公式： sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 積化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化積公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推導公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos 1-cos2=2sin 1+sin=sin(/2)+cos(/2)1.(1)任意角的概念以及弧度制.正確表示象限角、區(qū)間角、終邊相同的角，熟練地進行角度制與弧度制的換算. (2)任意角的三角函數(shù)定義，三角函數(shù)的符號變化規(guī)律，三角函數(shù)線的意義. 2.(1)同角三角函數(shù)的基本關系和誘導公式.(2)已知三角函數(shù)值求角. 3.函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(x+)的圖像和“五點法”作圖、圖像法變換，理解A、的物理意義. 4.三角函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性. 5.兩角和與差的三角函數(shù)、倍角公式，能正確地運用三角公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等證明.本章包括任意角的三角函數(shù)、兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質三部分.三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內容，它是解決生產(chǎn)、科研實際問題的工具，又是進一步學習其他相關知識和高等數(shù)學的基礎，它在物理學、天文學、測量學以及其他各種應用技術學科中有著廣泛的應用. 核心知識一、本章主要內容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)之間的基本關系，正弦、余弦的誘導公式，兩角和與差及二倍角的正弦、余弦、正切，正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質，以及已知三角函數(shù)值求角. 二、根據(jù)生產(chǎn)實際和進一步學習數(shù)學的需要，我們引入了任意大小的正、負角的概念，采用弧度制來度量角，實際上是在角的集合與實的集合R這間建立了這樣的一一對應關系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(角的弧度數(shù)等于這個實數(shù))與它對應.采用弧度制時，弧長公式十分簡單：l=r(l為弧長，r為半徑，為圓弧所對圓心角的弧度數(shù))，這就使一些與弧長有關的公式(如扇形面積公式等)得到了簡化. 三、在角的概念推廣后，我們定義了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的六種三角函數(shù).它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關系，三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù). 四、同角三角函數(shù)的基本關系式是進行三角變換的重要基礎之一，它們在化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式等問題中要經(jīng)常用到，必須熟記，并能熟練運用. 五、掌握了誘導公式以后，就可以把任意角的三角函數(shù)化為090間角的三角函數(shù). 六、以兩角和的余弦公式為基礎推導得出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握這些公式的內在聯(lián)系及推導的線索，能夠幫助我們理解和記憶這些公式，這也是學好本單元知識的關鍵. 七、利用正弦線、余弦線可以比較精確地作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，可以看出，因長度在一個周期的閉區(qū)間上有五個點(即函數(shù)值最大和最小的點以及函數(shù)值為零的點)在確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的形狀時起著關鍵的作用.學習本章知識，要從兩個方面加以注意：一是三角函數(shù)的圖像及性質，函數(shù)圖像是函數(shù)的一種直觀表示方法，它能形象地反映函數(shù)的各類基本性質，因此對三個基本三角函數(shù)的的圖像要掌握，它能幫助你記憶三角函數(shù)的性質，此外還要弄清y=Asin(x+)的圖像與y=sinx圖像的關系，掌握“A”、“”、“”的確切含義.對于三角函數(shù)的性質，要緊扣定義，從定義出發(fā)，導出各三角函數(shù)的定義域、值域、符號、最值、單調區(qū)間、周期性及奇偶性等.二是三角函數(shù)式的變換.三角函數(shù)式的變換涉及公式較多，掌握這些公式要做到如下幾點：一要把握各自的結構特征，由特征促記憶，由特征促聯(lián)想，由特征促應用；二是要從這些公式的導出過程抓內在聯(lián)系，抓變化規(guī)律，這樣才能在選擇公式時靈活準確.同時還要善于觀察三角函數(shù)式在代數(shù)結構、函數(shù)名稱、角的形式等三個方面的差異，根據(jù)差異選擇公式，根據(jù)差異確定變換方向和變換方法.有關第四章 三角函數(shù) 的階段測試】 階段測試試卷名稱：第四章 綜合檢測 A級 背景說明：第四章 綜合檢測 A級 試卷內容： 一、選擇題 1.在直角坐標系中，若角與角的終邊關于x軸對稱，則與的關系一定是( )A.=- B.+=k360(kZ)C.-=k360(kZ) D.以上答案都不對 2.圓內一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角是( )A.等于1弧度 B.大于1弧度C.小于1弧度 D.無法判斷 3.在ABC中，如果sinA+cosA= ,則ABC是( )A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形 4.已知：sin+cos=-1,則tan+cot的值是( )A.1 B.-1 C.0 D.不存在 5.y=cosx-cosx的值域是( )A.-1，1 B.0 C.-2，0 D.0，2 6.下列各函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)是( )(1)y=sinx (2)y=cosx(3)y=tanx (4)y=secx(5)y=lg(sinx+ )(6)y=lg(cosx+ )A.1 B.2 C.3 D.4 7.若y=sin( -)= ,則y=sin( +)的值是( )A. B.- C. D.- 8.方程sinx=lgx的實根的個數(shù)是( )A.1 B.2個 C.3個 D.3個以上9.若sin(+)= ,sin(-)= ，則 的值是( )A. B.- C.5 D.-5 10.若x=cos36-cos72，則x的值為( )A. B. C. D.- 11.函數(shù)y=3sin(2x+ )的圖像可以看成把函數(shù)y=3sin2x的圖像經(jīng)過下列平移而得到的( )A.向左平移 個單位 B.向右平移 個單位C.向左平移 個單位 D.向右平移 個單位 12.下列四命題中正確的應當是( )y=tan恒為增函數(shù)；y=cotx在x(-,0)(0,)上是周期函數(shù)；y=cosx在(-，)上為偶函數(shù)；y=sinx在x- , 上為奇函數(shù).A. B. C. D. 二、填空題 1.如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=- 對稱，那么a= . 2.函數(shù)y= sin2x-3cos2x的單調遞減區(qū)間為 .3.arctan1+arctan2+arctan3的值是 . 4.若函數(shù)y=2cosx(0x2)的圖像和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則這個封閉圖形的面積為 . 三、解答題1.設+=150,求sin2+sin2- sinsin的值. 2.設x(- , ),f(x)= sin(x- )cos( -x)+ sin2(x- ),求f(x)的最大值和最小值. 3.已知sin和cos是方程x2-kx+k+1=0的兩根，且02，求k與的值. 4.設關于sinx的方程sin2x-(a2+2a)sinx+a3+a2=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的范圍. 5.設0，0，且cos+cos-cos(+)= ,求,的值. 6.求函數(shù)y= 的值域. 試卷答案： 一、1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 11.C 12.D二、1.-1 2.k+ ,k+ (kZ) 3. 4.4三、1. 2.x= 時，最大值為 ，x= 時，最小值為- 3.k=-1,=或 或 4. a1 5.= 6.- ，-1(-1, ) 階段測試試卷名稱：第四章 綜合檢測 AA級 背景說明：第四章 綜合檢測 AA級 試卷內容： 一、選擇題1.角的集合M=xx= ,kZ,N=xx= ,kZ,則M與N的關系是( )A.M N B.M N C.M=N D.不能確定 2.若集合A=R，B=R，則下列對應f:xy是A到B的映射的是( )A.y=tanx B.y=cotx C.y=secx D.y=cosx 3.若是第三象限的角，且cos 0,那么 是( )A.第一象限的角 B.第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角 4.函數(shù)y= 的定義域為( )A.2k- ,2k+ (kZ) B.2k,2k+ (kZ)C.2k,2k+(kZ) D.R 5.在ABC中，若sin(A+B-C)=sin(A-B+C)，則ABC必是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形6.函數(shù)y=lgsinx+ 的定義域是( )A.2kx2k+ (kZ) B.2kx2k+ (kZ)C.2kx2k+(kZ) D.2kx2k+ (kZ) 7.把函數(shù)y=sin2x的圖像在y軸方向壓縮一半，沿y軸正方向平移 個單位，再沿x軸正方向平移 個單位，所得圖像的函數(shù)表達式是( )A.y= + sin2(x- ) B.y= sin(2x- )- C.y= sin2(x- ) D.y= sin2(x+ ) 8.已知函數(shù)：f(x)=sinx2;f(x)=sin2x;f(x)=tan ;f(x)= 其中周期函數(shù)是( )A.和 B.和 C.和 D.和 9.設、為銳有，則sin(+)與sin+sin的值滿足關系式( )A.sin(+)sin+sin B.sin(+)sin+sinC.sin(+)=sin+sin D.以上結論都不對 10.已知cos= ,cos(+)= ,且、為銳有，那么sin的值是( )A. B. C. D. 11.方程 cos( x+ )=1的解集是( )A.xx=4k,kZ B.xx=4k - ,kZC.xx=k - ,kZ D. 12.在區(qū)間(0，)上滿足cos5x=cos2x的值的個數(shù)是( )A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空題 1.函數(shù)y=arctan 的值域是為 . 2.兩弧度的圓心角所對的弦長為2，這個圓心角所夾的扇形的面積為 . 3.函數(shù)y=2sin(4x- )的最小正周期是 . 4.若sinx+cosx= ,x0,，那么tanx= . 三、解答題 1.設6sin3-cos22=6,求、. 2.已知關于x的方程(2cos-1)x2-4x+4cos+2=0有兩個不相等的正根，且為銳角，求的范圍. 3.設cos(- )=- ,sin( -)= ,且 ，0 ，求cos(+)的值. 4.求函數(shù)y=sin2x+9cos2x-8sinxcosx的最值及其相對應的x的值. 5.已知AB=2a，在以AB為直徑的半圓上有一點C，設AB中點為O，AOC=60.(1)在 上取一點P，若BOP=2,把PA+PB+PC表示成的函數(shù)；(2)設f()=PA+PB+PC，當為何值時f()有最大值，最大值是多少? 6.已知sin+sin=m,c