核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革ppt.pptx

核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革 1 一 數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù) 十八大提出的 教育的根本任務(wù)在于立德樹(shù)人 就是整個(gè)教育改革的核心任務(wù) 數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是 數(shù)學(xué)育人 如何把這個(gè)要求在數(shù)學(xué)教育中落實(shí)下來(lái) 抓手在哪里 2 教育部的頂層設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)學(xué)科的 立德樹(shù)人 是 以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為綱 義教課標(biāo)中提出了八個(gè) 核心概念 數(shù)感 符號(hào)意識(shí) 空間觀念 幾何直觀 數(shù)據(jù)分析觀念 運(yùn)算能力 推理能力 模型思想 高中課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 邏輯推理 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直觀想象 數(shù)據(jù)分析 數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) 要有具體措施 要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié) 3 二 關(guān)于落實(shí)核心素養(yǎng)的思考 學(xué)科育人 要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量 數(shù)學(xué)育人 要用數(shù)學(xué)的方式 在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源 并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用 增強(qiáng)課程意識(shí) 把握教改方向 明確數(shù)學(xué)育人目標(biāo) 提升數(shù)學(xué)育人的實(shí)效性 提高教育教學(xué)質(zhì)量 4 問(wèn)題思考 數(shù)學(xué)課程的育人力量是什么 什么叫 數(shù)學(xué)的方式 一線教師的課程意識(shí)是如何表現(xiàn)的 5 一線教師的課程意識(shí) 1 我教的是一門(mén)怎樣的課 課程性質(zhì) 2 這門(mén)課能發(fā)揮怎樣的育人功能 在學(xué)生發(fā)展中的不可替代作用是什么 課程目標(biāo) 3 如何教這門(mén)課 課程實(shí)施 4 這樣教在多大程度上實(shí)現(xiàn)了它的育人功能 課程評(píng)價(jià) 6 數(shù)學(xué)是一門(mén)怎樣的課 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) 數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象 基于抽象結(jié)構(gòu) 通過(guò)符號(hào)運(yùn)算 形式推理 模型構(gòu)建等理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì) 關(guān)系與規(guī)律 課標(biāo)如是說(shuō) 7 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué) 具有 追求最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向 有一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和交流的符號(hào)形式 這種結(jié)構(gòu)和符號(hào)形式是強(qiáng)大的 富有邏輯 簡(jiǎn)明而且精確 是人們可以借助于理解和處理周?chē)h(huán)境的一種思維方式 包括 抽象化 運(yùn)用符號(hào) 建立模型 邏輯分析 推理 計(jì)算 不斷地改進(jìn) 推廣 更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系 在更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括 建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?行之有效的科學(xué)方法 這是在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論 建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程中必須使用的思維方式 8 推理是數(shù)學(xué)的命根子 運(yùn)算是數(shù)學(xué)的 童子功 思維訓(xùn)練的載體就是推理和運(yùn)算 數(shù)學(xué)是一門(mén)語(yǔ)言 與語(yǔ)文有相似的特性 它有自己的一套獨(dú)立的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式 閱讀 表達(dá) 交流的工具 9 數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特育人功能 主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上 要使學(xué)生學(xué)會(huì)思考 特別是學(xué)會(huì) 有邏輯地思考 創(chuàng)造性思考 使學(xué)生成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題 善于解決問(wèn)題的人才 學(xué)會(huì)嚴(yán)格的邏輯推理 學(xué)會(huì)運(yùn)算的方法和技巧 學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言 能用數(shù)學(xué)的方式閱讀 表達(dá)和交流 10 以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng) 完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程 數(shù)學(xué)研究對(duì)象的獲得 研究數(shù)學(xué)對(duì)象 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得 要注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系 也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致 邏輯連貫性 從 事實(shí) 出發(fā) 讓學(xué)生經(jīng)歷歸納 概括事物本質(zhì)的過(guò)程 提升數(shù)學(xué)抽象 直觀想象等素養(yǎng) 11 對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究 要注重以 一般觀念 為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律 獲得猜想 通過(guò)數(shù)學(xué)的推理 論證證明結(jié)論 定理 性質(zhì)等 的過(guò)程 提升推理 運(yùn)算等素養(yǎng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題 要注重利用數(shù)學(xué)概念原理分析問(wèn)題 體現(xiàn)建模的全過(guò)程 學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù) 從數(shù)據(jù)中挖掘信息等 12 兩個(gè)過(guò)程 的合理性 從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性 學(xué)生思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考 這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn) 前一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問(wèn)題 后一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律 認(rèn)知特點(diǎn)問(wèn)題 13 以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容 特別是要讓重要的 往往也是難以一次完成的 數(shù)學(xué)概念 思想方法得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì) 以 事實(shí) 概念 性質(zhì) 關(guān)系 結(jié)構(gòu) 聯(lián)系 應(yīng)用 為明線 以 事實(shí) 方法 方法論 數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀 為暗線 14 從數(shù)學(xué)思維 思想或核心素養(yǎng)角度看 事實(shí) 概念 主要是 抽象 對(duì)典型而豐富的具體事例進(jìn)行觀察 比較 分析 歸納共性 抽象出共同本質(zhì)特征 并推廣到同類事物中去而得出概念 概念 性質(zhì) 主要是 推理 包括通過(guò)歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì) 通過(guò) 邏輯 演繹推理證明性質(zhì) 性質(zhì) 結(jié)構(gòu) 主要也是 推理 是建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好 遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程 概念 性質(zhì) 結(jié)構(gòu) 應(yīng)用 主要是 建模 是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題 15 強(qiáng)調(diào)獲得 事實(shí) 的教育價(jià)值 數(shù)學(xué)事實(shí) 是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的 原材料 也是數(shù)學(xué)育人的首要素材 真正的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷 感知 感悟 知識(shí) 的過(guò)程 以 事實(shí) 為支撐的概念理解才是真理解 才能形成對(duì)概念本質(zhì)的深刻體悟 教學(xué)應(yīng)從讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)事實(shí)開(kāi)始 16 增加概括概念 發(fā)現(xiàn)性質(zhì)所需的素材 提供豐富的 真實(shí)的應(yīng)用問(wèn)題 調(diào)動(dòng)所有感官參與學(xué)習(xí) 安排動(dòng)眼觀察 動(dòng)手操作 動(dòng)腦思考的實(shí)踐活動(dòng) 使學(xué)生通過(guò)自主活動(dòng)獲取理解概念所需的 事實(shí) 增加 悟 的時(shí)間 長(zhǎng)時(shí)間的 悟 然后是有所體驗(yàn) 有所心得 有所發(fā)現(xiàn) 17 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中 都要發(fā)揮 一般觀念 的作用 加強(qiáng) 如何思考 如何發(fā)現(xiàn) 的啟發(fā)和引導(dǎo) 特別是在概念的抽象要做什么 幾何性質(zhì) 代數(shù)性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì) 指什么等問(wèn)題上要及時(shí)引導(dǎo) 以使學(xué)生明確思考方向 18 教師的專業(yè)發(fā)展水平和育人能力是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵 理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)當(dāng)前的主要問(wèn)題是教師在 理解數(shù)學(xué) 上不用功 數(shù)學(xué)水平不高導(dǎo)致數(shù)學(xué)課教不好數(shù)學(xué) 甚至數(shù)學(xué)課不教數(shù)學(xué) 使數(shù)學(xué)越來(lái)越難學(xué) 使學(xué)生越學(xué)越糊涂 19 理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界 知其然知其所以然何由以知其所以然 啟發(fā)學(xué)生 示以思維之道耳 20 三 系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué) 系統(tǒng)觀的內(nèi)涵 整體性 把研究對(duì)象看成一個(gè)整體 從整體出發(fā) 在組成系統(tǒng)的各要素相互關(guān)系中探究研究對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律 層次性 系統(tǒng)是由要素組成的整體 每個(gè)系統(tǒng)又是它的上位系統(tǒng)的組成要素 由此構(gòu)成具有層級(jí)關(guān)系的整體 這就是層次性 先把握基本要素 再看要素組成的子系統(tǒng) 然后再看子系統(tǒng)組成的上位系統(tǒng) 這樣才能具有思想性 觀念性 21 聯(lián)系性 系統(tǒng)和系統(tǒng)之間 各要素之間 系統(tǒng)和要素之間是相互聯(lián)系 相互作用的 任何事物都由若干部分 要素構(gòu)成 各部分 要素相互依存 相互聯(lián)系 只有這樣 事物才能成為有機(jī)整體 任何事物都與周?chē)钠渌挛锵嗷ヂ?lián)系著 包括橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系 22 目的性 數(shù)學(xué)育人目標(biāo)有一個(gè)從宏觀到微觀的層級(jí)系統(tǒng) 教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該把教學(xué)過(guò)程看成具有一定發(fā)展規(guī)律和趨勢(shì)的系統(tǒng) 在宏觀目標(biāo)指導(dǎo)下分析具體目標(biāo)和內(nèi)容 要注意把宏觀目標(biāo)落實(shí)在具體課堂中 使每一堂課都為達(dá)到宏觀目標(biāo)服務(wù) 問(wèn)題 數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的層級(jí)系統(tǒng)是怎樣的 23 宏觀到微觀的目標(biāo)體系 教育方針課程目標(biāo)單元目標(biāo)課時(shí)目標(biāo)課堂教學(xué)中 三維目標(biāo)融為一體 內(nèi)容為載體 過(guò)程中體現(xiàn)思想方法 思維能力 挖掘內(nèi)容所蘊(yùn)含的育人資源 實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐步提升 24 當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要問(wèn)題仍然是 碎片化教學(xué) 做題目成為一切 充其量只是培養(yǎng)了做題目的機(jī)器 從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點(diǎn)和歸宿看 思維的教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生的理性思維 發(fā)展學(xué)生的理性精神 這是根本 問(wèn)題是 依靠什么來(lái)實(shí)現(xiàn) 教學(xué)內(nèi)容的整體性 載體 系統(tǒng)思維 目標(biāo) 單元教學(xué) 途徑 25 單元教學(xué)的組織要義 整體 局部 整體前一個(gè) 整體 是先行組織者 認(rèn)識(shí)的結(jié)構(gòu) 普適性的思想方法 解決問(wèn)題的策略 等等 局部 是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵 要素 概念的定義和表示 分類 性質(zhì) 特例 的研究 在這個(gè)過(guò)程中加強(qiáng) 如何歸納 抽象概念 如何發(fā)現(xiàn)值得研究的問(wèn)題 如何研究性質(zhì) 如何找到證明的方法 的引導(dǎo) 26 后一個(gè) 整體 在分課時(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的歸納 總結(jié) 不僅完善本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu) 而且建立與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系 形成結(jié)構(gòu)功能良好 遷移能力強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 27 系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的單元教學(xué)設(shè)計(jì) 平面向量起始課課標(biāo)要求 構(gòu)建研究平面向量的基本線索 了解平面向量的實(shí)際背景 理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義 理解平面向量的幾何表示和基本要素 教學(xué)設(shè)計(jì)要求 體現(xiàn)先行組織者思想 要在數(shù)學(xué)的整體觀指導(dǎo)下 構(gòu)建研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象 平面向量 的基本線索 在此基礎(chǔ)上構(gòu)建平面向量的概念 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象 直觀想象素養(yǎng) 28 先行組織者 構(gòu)建研究路徑 平面向量 是高中數(shù)學(xué)中典型的 新對(duì)象 既是幾何研究對(duì)象 也是代數(shù)研究對(duì)象 是溝通幾何與代數(shù)的橋梁 向量理論是描述直線 曲線 平面 曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具 問(wèn)題思考 幾何對(duì)象 指什么 代數(shù)對(duì)象 指什么 向量是怎樣的基本工具 如何使它好用 方向很重要 方向如何 運(yùn)算 是關(guān)鍵 29 研究路徑是什么 如何構(gòu)建 背景引入概念定義 表示 性質(zhì) 要素之間的特殊關(guān)系 運(yùn)算和運(yùn)算律 引進(jìn)一種量就要定義運(yùn)算 定義一種運(yùn)算就要研究運(yùn)算律 向量基本定理及坐標(biāo)表示應(yīng)用問(wèn)題思考 章引言怎么用 研究路徑 非出不可 什么時(shí)候出 開(kāi)頭 中間或結(jié)尾 30 獲得向量概念 要做哪些事 獲得研究對(duì)象 定義向量概念 認(rèn)識(shí) 平面向量集合 中的元素 現(xiàn)實(shí)背景 力 速度 位移等 定義 表示 圖形 符號(hào) 方向 大小 特例 零向量 單位向量 性質(zhì) 向量與向量的關(guān)系 相等是最重要的關(guān)系 重點(diǎn)考慮 方向 所以先有平行 共線 相反向量 等等 31 延伸問(wèn)題 如何定義向量加法 既有大小 又有方向 方向 如何相加 位移 是最好的模型 得到 三角形法則 接下來(lái)研究什么問(wèn)題 定義a 0 0 a a 完備性 向量加法的性質(zhì) 特例 共線 三角形不等式 運(yùn)算律 32 四 構(gòu)建研究幾何對(duì)象的整體思路 立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀 大小與位置關(guān)系 位置關(guān)系 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行 垂直的性質(zhì)與判定 并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證 研究方法 直觀感知 操作確認(rèn) 推理論證 度量計(jì)算等 33 總體目標(biāo) 認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的概念 判定和性質(zhì) 建立空間觀念 提升直觀想象 邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 位置關(guān)系的具體內(nèi)容 點(diǎn) 直線 平面作為 基本圖形 四個(gè)基本事實(shí) 平面三公理 平行公理 一個(gè)等角定理 直線 平面的平行和垂直的判定 性質(zhì) 34 1 平面三公理 課標(biāo)要求 借助長(zhǎng)方體 在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn) 直線 平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上 抽象出空間點(diǎn) 直線 平面位置關(guān)系的定義 了解三個(gè)公理 教學(xué)設(shè)計(jì)要求 要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)刻畫(huà)空間中點(diǎn) 直線 平面的基本特征 如平面的 平 的方法 要注意 三種語(yǔ)言 的訓(xùn)練 建立空間觀念 提升直觀想象 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 35 問(wèn)題1 平面三公理 的內(nèi)容是什么 它的數(shù)學(xué)功能是什么 問(wèn)題2從中能體會(huì)刻畫(huà)平面的 平 的數(shù)學(xué)思想方法嗎 問(wèn)題3在理解點(diǎn) 直線 平面位置關(guān)系的過(guò)程中 作圖的作用是什么 36 2 關(guān)于位置關(guān)系的性質(zhì) 什么叫 性質(zhì) 只有明白了這個(gè)問(wèn)題 才能使學(xué)生在獨(dú)立面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)知道從哪里下手研究性質(zhì) 才能使學(xué)生自主探究 才能使發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 提出問(wèn)題的能力的培養(yǎng)落在實(shí)處 這樣 核心素養(yǎng)的落實(shí)也就自然而然 水到渠成 37 性質(zhì)就是一類事物共有的特性 正確但過(guò)于宏觀 在具體思考中沒(méi)有可操作性 需要針對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行歸納 例如 運(yùn)算中的不變性 規(guī)律性 就是性質(zhì) 研究代數(shù)性質(zhì) 算算看 是基本方法 變化中的不變性 規(guī)律性 就是性質(zhì) 研究函數(shù)的性質(zhì) 在運(yùn)動(dòng)變化中進(jìn)行觀察是基本方法 要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì) 觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系 位置關(guān)系 大小關(guān)系等 是研究幾何性質(zhì)的基本方法 38 幾何性質(zhì)的分類 幾何問(wèn)題可以分為兩大類 幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征幾何圖形的位置關(guān)系幾何圖形的性質(zhì) 一個(gè)幾何圖形的組成要素 相關(guān)要素之間的相互關(guān)系 定性 定量 位置關(guān)系的性質(zhì) 點(diǎn) 直線 平面的位置關(guān)系 核心是平行 垂直 距離 角度 對(duì)稱等是刻畫(huà)位置關(guān)系的基本方法 39 什么叫 幾何體的結(jié)構(gòu)特征 結(jié)構(gòu)特征就是這類幾何對(duì)象 如棱柱 組成要素之間確定的關(guān)系 結(jié)構(gòu)特征有多種表現(xiàn)形式 選刻畫(huà)這類對(duì)象的充要條件作為定義 包含的要素關(guān)系盡量少 作為研究的出發(fā)點(diǎn) 其他的特征作為性質(zhì) 定義 充要條件 性質(zhì) 必要條件 判定 充分條件 研究直線垂直于平面的判斷 就是探究什么條件能確保垂直 40 思考 位置關(guān)系的性質(zhì)如何表現(xiàn) 例如 兩條直線平行 從 同位角相等 內(nèi)錯(cuò)角相等 以及 同旁內(nèi)角互補(bǔ) 可以想到 這時(shí)的 性質(zhì) 是與 第三條直線 構(gòu)成某種關(guān)系 平行 相交 相交時(shí)又形成一些角 然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系 從方法論的高度 研究?jī)蓚€(gè)幾何元素 兩條直線 的某種位置關(guān)系 平行 的性質(zhì) 就是探索在這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何元素與同類幾何元素之間是否形成確定的關(guān)系 具體方法是讓 同類元素 動(dòng)起來(lái) 看 變化中的不變性 41 空間中直線 平面的垂直關(guān)系 課標(biāo)要求 探索空間直線與平面 平面與平面垂直的性質(zhì) 如 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行 兩個(gè)平面垂直 如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線 那么這條直線與另一個(gè)平面垂直 等等 42 教學(xué)設(shè)計(jì)要求 在明確 什么是圖形的位置關(guān)系的性質(zhì) 的基礎(chǔ)上 通過(guò)類比直線 平面 平行關(guān)系 的性質(zhì) 從整體上提出 垂直關(guān)系的性質(zhì) 的猜想 選擇 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 等典型猜想給出證明 要體現(xiàn)研究幾何問(wèn)題的 基本套路 提升直觀想象 邏輯推理 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 43 這樣處理有什么好處 完整的 統(tǒng)一的解決方案 立意高 思想性強(qiáng) 數(shù)學(xué)味 濃 反映數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程 是自然而水到渠成的 探索性更強(qiáng) 能更好地落實(shí) 發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力 分析和解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng) 創(chuàng)造性也更強(qiáng) 44 符合數(shù)學(xué)思維規(guī)律 體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體觀 使性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)具有必然性 能給學(xué)生更多智慧的啟迪 思維的教學(xué)更加到位 更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)的自主性 更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性 45 學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)過(guò)直線 平面平行的判定及其性質(zhì) 已經(jīng)了解了研究一種幾何位置關(guān)系的 基本套路 從判定到性質(zhì) 性質(zhì)的內(nèi)容 過(guò)程和方法 因此與學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備相適應(yīng) 當(dāng)前的問(wèn)題是對(duì) 什么叫判定 什么叫性質(zhì) 的歸納不夠 導(dǎo)致學(xué)生的盲目探究 無(wú)邏輯的猜想 使發(fā)現(xiàn)和提出猜想成為偶然 為什么可以這么做 46 直線與平面垂直的性質(zhì)的問(wèn)題串 一 復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的定義及判定定理 請(qǐng)大家回顧一下內(nèi)容和研究思路 二 引入新課研究了直線與平面垂直的判定 你覺(jué)得接下來(lái)我們研究什么 性質(zhì)追問(wèn) 具體地 就是要研究什么 以 直線與平面垂直 為條件能推出什么結(jié)論 47 定義既可以作為判定 又可以作為性質(zhì) 此外 還有其它性質(zhì)嗎 如何發(fā)現(xiàn)性質(zhì) 學(xué)生沒(méi)有思路時(shí) 回顧直線與平面平行性質(zhì)的研究過(guò)程 它是從什么角度入手發(fā)現(xiàn)的 類比一下 你覺(jué)得如何入手 教師引導(dǎo) 平行性質(zhì)的研究 是以直線a與平面 平行為條件 借助經(jīng)過(guò)直線a的平面 發(fā)現(xiàn)a與 的交線b平行 而且這個(gè)平行關(guān)系不會(huì)隨 的改變而改變 從而得到了一條線面平行的性質(zhì) 仿照上面的歸納 你能說(shuō)說(shuō)平面與平面平行的性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的嗎 48 你能總結(jié)一下如何研究一種位置關(guān)系的性質(zhì)了嗎 平行關(guān)系的性質(zhì) 就是以線面 面面平行為條件 通過(guò)考察它們與另一條直線 另一個(gè)平面形成的關(guān)系中 有哪些不變的特性 接下來(lái) 類比直線與平面平行性質(zhì)的研究思路和方法 先獨(dú)立思考 探究 得出結(jié)果后再相互交流 討論 要求 把你發(fā)現(xiàn)的線面垂直性質(zhì)總結(jié)提煉出來(lái) 并用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá) 49 五 認(rèn)知觀指導(dǎo)下的概念教學(xué) 理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要任務(wù) 理解概念主要靠歸納思維 概念教學(xué)要用歸納式 概念教學(xué)要遵循一定之規(guī) 這是由數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生認(rèn)知概念的思維過(guò)程所決定的 概念課的教學(xué)設(shè)計(jì) 主要任務(wù)是 選擇典型豐富的具體實(shí)例 設(shè)計(jì)歸納具體實(shí)例的共同特征 抽象出本質(zhì)特征 并概括到同類事物中去的過(guò)程 50 概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié) 背景引入 借助具體事例 從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念 共性歸納 提供典型豐富的具體例證 進(jìn)行屬性的分析 比較 綜合 歸納不同例證的共同特征 下定義 明確本質(zhì)屬性 給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述 文字的 符號(hào)的 51 概念的辨析 以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義 恰當(dāng)使用反例 概念的鞏固應(yīng)用 用概念作判斷的具體事例 形成用概念作判斷的具體步驟 概念的 精致 納入概念系統(tǒng) 建立與相關(guān)概念的聯(lián)系 52 函數(shù)概念的教學(xué) 課標(biāo)要求 在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上 用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù) 建立完整的函數(shù)概念 體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用 教學(xué)設(shè)計(jì)要求 要體現(xiàn)以概念形成的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本環(huán)節(jié) 通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性 體會(huì)用集合對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)概念的思想方法 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 53 理解數(shù)學(xué) 課標(biāo)說(shuō) 函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基本概念 是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)模型和工具 有廣泛的實(shí)際應(yīng)用 從 刻畫(huà)變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具 到 實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 高中函數(shù)概念強(qiáng)調(diào)了定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系 對(duì)應(yīng)關(guān)系指的是對(duì)應(yīng)的結(jié)果 而不是對(duì)應(yīng)過(guò)程 y f x x A 是一個(gè)整體 54 如何設(shè)計(jì)歸納過(guò)程 以概念形成方式 要完成 實(shí)例 共性歸納 定義 辨析 簡(jiǎn)單應(yīng)用 的過(guò)程 其中 對(duì) 事實(shí) 的分析 共性歸納是關(guān)鍵之一 辨析 又是一個(gè)關(guān)鍵 55 認(rèn)真講好三個(gè)實(shí)例 有解析式的 要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注x在哪個(gè)范圍取值 例如 炮彈距離地面的高度h隨時(shí)間t的變化而變化的規(guī)律是h 130t 5t2 經(jīng)過(guò)26s落地 應(yīng)該問(wèn) 時(shí)間t的變化范圍是什么 問(wèn)題 100s時(shí)對(duì)應(yīng)的高度是多少 有沒(méi)有意義 沒(méi)有意義了 因?yàn)榕趶棸l(fā)射的過(guò)程在26s時(shí)已經(jīng)結(jié)束 你認(rèn)為如何描述才能真實(shí)反映炮彈發(fā)射過(guò)程 56 臭氧空洞面積變化圖 57 1 時(shí)間的變化范圍是什么 空洞面積s的變化范圍是什么 2 s是t的函數(shù)嗎 為什么 不能僅僅以 因?yàn)槿我庖粋€(gè)時(shí)間t都有唯一一個(gè)面積s與之對(duì)應(yīng) 了事 應(yīng)該讓學(xué)生在圖上找出來(lái) 再借助信息技術(shù) 把對(duì)于過(guò)程表達(dá)出來(lái) 3 從所給的圖中能回答 2002年對(duì)應(yīng)的臭氧空洞面積是多少 嗎 4 這是一個(gè)函數(shù) 有解析式嗎 如果讓你表示出這個(gè)函數(shù) 你會(huì)怎么做 把這個(gè)圖搬出來(lái)嗎 符號(hào)意識(shí) s f t 呼之欲出 58 恩格爾系數(shù)變化表 59 1 這個(gè)表格中 時(shí)間的變化范圍是什么 能不能用 1991 2001 表示 恩格爾系數(shù)的變化范圍是什么 可以是 0 37 0 54 其實(shí)是 0 1 2 由這個(gè)表格 能判斷恩格爾系數(shù)是不是年份的函數(shù) 你能說(shuō)清楚到底是怎么對(duì)應(yīng)的嗎 3 由這個(gè)表格 能得到2002年的恩格爾系數(shù)嗎 4 這是一個(gè)函數(shù) 有解析式嗎 如果讓你表示出這個(gè)函數(shù) 你會(huì)怎么做 把這個(gè)表搬出來(lái)嗎 符號(hào)意識(shí) 設(shè)恩格爾系數(shù)為w 年份為t w f t 呼之欲出 60 歸納共同特征 它們都是函數(shù) 有什么共同特征 數(shù)集A B 一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系 對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示形式不同 解析式 圖 表 但本質(zhì)一樣 對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù) 在集合B中都有唯一一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng) 怎樣簡(jiǎn)捷地表示出來(lái) 用符號(hào)化表達(dá)是數(shù)學(xué)的智慧 數(shù)學(xué)家是這么做的 f A Bx y f x 61 如何辨析概念 不要過(guò)快地進(jìn)入復(fù)雜的解題訓(xùn)練 辨析的重點(diǎn) 對(duì)應(yīng)關(guān)系相同但定義域不同 是兩個(gè)不同的函數(shù) 應(yīng)該 回到實(shí)際中 例如 步行平均速度5km 買(mǎi)商品單價(jià)5元 與用什么符號(hào)表示無(wú)關(guān) 只看自變量對(duì)應(yīng)到什么結(jié)果 y x2 x R y u2 u R 是同一個(gè)函數(shù) 和函數(shù) 也表示的是同一個(gè)函數(shù) 62 還可以讓學(xué)生根據(jù)解析式構(gòu)建實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題 如 1 y x2 x R 任意一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)于它的平方 2 y x2 x 0 10 正方形的邊長(zhǎng)x對(duì)應(yīng)于它的面積 3 y x 10 x x 0 10 長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)之和為20 一邊長(zhǎng)x對(duì)應(yīng)于它的面積 63 從函數(shù)到三角函數(shù) 課標(biāo)要求 借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義 教學(xué)設(shè)計(jì)要求 在 函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和變化規(guī)律的最重要數(shù)學(xué)模型 的觀念下 體現(xiàn)用函數(shù)描述周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象 建立三角函數(shù)模型的完整過(guò)程 使學(xué)生理解三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng) 64 一 三角函數(shù)發(fā)展史概述 三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運(yùn)而生 到托勒密出版 數(shù)學(xué)匯編 希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上的應(yīng)用達(dá)到頂峰 這部著作中有大量三角恒等變形問(wèn)題 包括和 差 角公式 和差化積公式等 證明采用了初等幾何方法 三角學(xué)的發(fā)展與天文學(xué)相互交織 且服務(wù)于天文學(xué) 到十六世紀(jì) 三角學(xué)開(kāi)始從天文學(xué)里分離出來(lái) 并成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支 65 為了應(yīng)付航海 天文 測(cè)量等實(shí)踐之需 制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工作 因?yàn)樵谥谱鬟^(guò)程中需要大量的三角恒等變形 所以三角恒等變形問(wèn)題占據(jù)了重要地位 隨著對(duì)數(shù)的發(fā)明 特別是微積分的創(chuàng)立 三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉 繁雜的三角恒等變形不再需要 曾經(jīng)重要的三角公式也風(fēng)光不再 66 二 三角函數(shù)課程的與時(shí)俱進(jìn) 從應(yīng)用的角度看 應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位 因?yàn)?三角函數(shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要 最重要的是它與振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系 可以說(shuō) 它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之一 在建立三角函數(shù)的基本概念 認(rèn)識(shí)它的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上 對(duì)y Asin x 的研究很重要 實(shí)用且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力 67 正弦 余弦函數(shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng) 密切配合的周期函數(shù) 它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù) 而正弦 余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì) 主要是其對(duì)稱性 的直接反映 所以 要充分發(fā)揮單位圓的作用 借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)容 這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化 直觀想象能力 68 在思想 方法上 要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的變換 映射 與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系 對(duì)稱性與不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和方法 有些放正文 有些可以作為拓展 這樣認(rèn)識(shí)和處理內(nèi)容 體現(xiàn)了三角函數(shù)性質(zhì)的整體性 可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象 數(shù)學(xué)抽象 邏輯推理 數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的作用 69 要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量 復(fù)數(shù) 解析幾何等的聯(lián)系與綜合 這可以通過(guò)加強(qiáng)三角函數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn) 也可以通過(guò)用向量 復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角變換公式等來(lái)實(shí)現(xiàn) 總之 定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標(biāo)系中的單位圓 抓住三角函數(shù)作為刻畫(huà)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型 這就真正抓住了要領(lǐng) 就能以簡(jiǎn)馭繁 70 三 課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位 三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù) 整體要求 借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念 體會(huì)引入弧度制的必要性 能夠用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性 對(duì)稱性 單調(diào)性和最值等性質(zhì) 能夠探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系 能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實(shí)際問(wèn)題 提升數(shù)學(xué)抽象能力 直觀想象和運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)建模能力 71 加強(qiáng)單位圓的作用 進(jìn)一步突出主線和核心概念 體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容 過(guò)程和方法 概念 圖像 基本性質(zhì) 直接由定義推出 要素的關(guān)系 其他性質(zhì) 聯(lián)系層面 應(yīng)用 把y Asin x 作為應(yīng)用 建模的結(jié)果 72 四 學(xué)生認(rèn)知分析 認(rèn)知基礎(chǔ) 學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念 表示與性質(zhì)等 掌握了研究函數(shù)的一般方法 通過(guò)冪 指 對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí) 已經(jīng)掌握了研究一類函數(shù)的結(jié)構(gòu) 內(nèi)容 過(guò)程與方法 這些函數(shù)的一個(gè)共同特點(diǎn)是它們的表達(dá)式都是代數(shù)式 是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映 學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識(shí) 對(duì)圓的幾何性質(zhì)有一定的掌握 但對(duì) 圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性 強(qiáng)調(diào)不夠 73 學(xué)習(xí)困難分析 三角函數(shù)不以 代數(shù)運(yùn)算 為媒介 是幾何量 角與有向線段 之間的直接對(duì)應(yīng) 不是通過(guò)對(duì) 計(jì)算得到函數(shù)值 這是一個(gè)復(fù)雜 不良結(jié)構(gòu)情境 是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn) 在 對(duì)應(yīng)關(guān)系 的認(rèn)識(shí)上必須采取措施破除定勢(shì) 幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的 三要素 特別是要在落實(shí) 給定一個(gè)角 如何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 的操作過(guò)程的基礎(chǔ)上再給定義 74 三角函數(shù)的性質(zhì)與以往不同 主要表現(xiàn)在豐富的對(duì)稱性上 以單位圓為媒介而建立起性質(zhì)之間的豐富關(guān)聯(lián) 例如 由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 結(jié)合單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其坐標(biāo)的變化規(guī)律 非常直觀 由定義可直接推出單調(diào)性 周期性 75 研究三角函數(shù)性質(zhì)的方法也有特殊性 即利用三角函數(shù)的定義 將圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系 如單位圓關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱 關(guān)于y 成軸對(duì)稱 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)之間的關(guān)系 就是誘導(dǎo)公式 因此 研究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)所使用的數(shù)形結(jié)合 與前面已有的通過(guò)觀察函數(shù)圖像而得出性質(zhì) 有較大的不同 總之 正弦函數(shù) 余弦函數(shù)的基本性質(zhì)于圓的幾何性質(zhì)的直接反映 這種研究方法是學(xué)生不熟悉的 76 五 三角函數(shù)的定義 研究對(duì)象的獲得 從事實(shí)到概念 注重?cái)?shù)學(xué)化的過(guò)程 通過(guò)數(shù)學(xué)抽象 從勻速圓周運(yùn)動(dòng)到單位圓上點(diǎn)以單位速率運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的刻畫(huà) 概念及其表示 注重認(rèn)知過(guò)程的完整性 認(rèn)真解決四個(gè)問(wèn)題 1 函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么 刻畫(huà)了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象 2 決定這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么 3 要素之間的依賴關(guān)系是什么 4 可以用什么數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà) 77 通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程涉及的量及其關(guān)系的分析 析出點(diǎn)的坐標(biāo)隨任意角的變化而變化的規(guī)律 數(shù)與形的表示 與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系 在銳角范圍內(nèi)的一致性 78 六 理解教學(xué) 教之道在于 度 道而弗牽 強(qiáng)而弗抑 開(kāi)而弗達(dá) 為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維 必須讓學(xué)生有實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué) 概念是思維的細(xì)胞 數(shù)學(xué)思維更是用概念思維 因此數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維能力的最佳載體 從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展 自然拓展過(guò)程 數(shù)學(xué)性質(zhì)的合理猜想與論證過(guò)程出發(fā) 通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引領(lǐng) 就能實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo) 79 具體怎么做 加強(qiáng)一般觀念 bigidea 的指導(dǎo)作用 提升思想性 通過(guò)具體事例的歸納概括 特別是讓學(xué)生自主 探究 交流 給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì) 從表達(dá)中把握學(xué)生的思維過(guò)程 捕捉生成性教學(xué)資源 并用 你是怎么想的 你是怎么想到的 能把你的想法說(shuō)得更清楚一些嗎 等促進(jìn)思考 逐步培養(yǎng)學(xué)生用概念解釋數(shù)學(xué)對(duì)象 通過(guò)歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力與習(xí)慣 是促使學(xué)生深層次參與課堂教學(xué)的有力舉措 要把實(shí)質(zhì)性的歸納機(jī)會(huì)留給學(xué)生 例如具體實(shí)例共同特征的歸納就應(yīng)該讓學(xué)生完成 80 二項(xiàng)式定理 課標(biāo)要求 能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明 教學(xué)設(shè)計(jì)要求 從特殊到一般 探索二項(xiàng)式定理及其證明 體會(huì)運(yùn)算規(guī)則的作用 運(yùn)算是嚴(yán)格的邏輯推理 通過(guò)運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)