高考數(shù)學難點突破_難點25__圓錐曲線綜合題

難點 25 圓錐曲線綜合題 圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應用，與圓錐曲線有關的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識和三角、復數(shù)等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算，推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結(jié)果的完整 . 難點磁場 ( )若橢圓2222=1(a b 0)與直線 l： x+y=1 在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，求 a、 b 所滿 足的條件，并畫出點 P(a,b)的存在區(qū)域 . 案例探究 例 1已知圓 k 過定點 A(a,0)(a 0),圓心 k 在拋物線 C： 運動， 圓 k在 y 軸上截得的弦 . (1)試問 長是否隨圓心 k 的運動而變化？ (2)當 | | |等差中項時，拋物線 C 的準線與圓 k 有怎樣的位置關系？ 命題意圖：本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識及學生綜合、靈活處理問題的能力，屬 級題目 . 知識依托：弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識 . 錯解分析：在判斷 d 與 R 的關系時， 技巧與方法：對第 (2)問，需將目標轉(zhuǎn)化為判斷 d= 20的大小 . 解： (1)設圓心 k(x0,且 圓 k 的半徑 R=| 2202020 )( |2 20220202 2 =2a(定值 ) 弦 長不隨圓心 k 的運動而變化 . (2)設 M(0, N(0,圓 k： (x +(y = 令 x=0，得 2 | | |等差中項 . |2|2a. 又 |2a | 0，因此 0,即 20. 0 a. 圓心 k 到拋物線準線距離 d=a a,而圓 k 半徑 R= 220 a. 且上兩式不能同時取等號，故圓 k 必與準線相交 . 例 2如圖，已知橢圓122 (2 m 5),過其左焦點且斜率為 1 的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為 A、 B、 C、 D，設 f(m)=| | (1)求 f(m)的解析式； (2)求 f(m)的最值 . 命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數(shù)關系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合 級題目 . 知識 依托：直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 . 錯解分析：在第 (1)問中，要注意驗證當 2 m 5 時，直線與橢圓恒有交點 . 技巧與方法：第 (1)問中，若注意到 xA,可迅速將 | |化簡 )問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法 . 解： (1)設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為 a、 b、 c，則 a2=m,b2=m 1,c2= 橢圓的焦點為 1,0),0). 故直線的方程為 y=x+1,又橢圓的準線方程為 x=即 x= m. A( m, m+1),D(m,m+1) 考慮方程組11122消去 y 得： (m 1)x2+m(x+1)2=m(m 1) 整理得： (2m 1)m =44(2m 1)(2m 8m(m 1)2 2 m 5, 0 恒成立， xB+2 2又 A、 B、 C、 D 都在直線 y=x+1 上 | 2 =( 2 ,| 2 ( | |= 2 |xA+ 2 |(xB+ (xA+ 又 m,xD=m, xA+ | |=|xB+ 2 =| 2 = m 5) 故 f(m)=m 2,5 . (2)由 f(m)=知 f(m)= 221 2251 f(m)324,9 210 故 f(m)的最大值為324，此時 m=2;f(m)的最小值為9210，此時 m=5. 例 3艦 A 在艦 B 的正東 6 千米處，艦 C 在艦 B 的北偏西 30且與 B 相距 4 千米，它們準備捕海洋動物，某時刻 A 發(fā)現(xiàn)動物信號， 4 秒后 B、 C 同時發(fā)現(xiàn)這種信號， A 發(fā)射麻醉炮彈 物信號的傳播速度為 1 千米 /秒，炮彈的速度是3320 秒，其中 g 為重力加速度，若不計空氣阻 力與艦高，問艦 A 發(fā)射炮彈的方位角和仰角應是多少？ 命題意圖：考查圓錐曲線在實際問題中的應用，及將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的能力，屬級題目 . 知識依托：線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動的曲線方程 . 錯解分析：答好本題，除要準確地把握好點 P 的位置 (既在線段 垂直平分線上，又在以 A、 B 為焦點的拋物線上 )，還應對方位角的概念掌握清楚 . 技巧與方法：通過建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解 般可利用聲音傳播的時間差來建立方程 . 解：取 在直線為 x 軸，以 中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系 A、 B、 C 艦的坐標為 (3， 0)、 ( 3， 0)、 ( 5， 2 3 ). 由于 B、 C 同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為 P，則 |于是 P 在線段 中垂線上，易求得其方程為 3 x 3y+7 3 =0. 又由 A、 B 兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為 4 秒，知 | |=4，故知 P 在雙曲線5422 =1 的右支上 . 直線與雙曲線的交點為 (8， 5 3 )，此即為動物 P 的位置，利用兩點間距離公式，可得|=10. 據(jù)已知兩點的斜率公式，得 3 ,所以直線 傾斜角為 60 ,于是艦 A 發(fā)射炮彈的方位角應是北偏東 30 . 設發(fā)射炮彈的仰角是 ，初速度 320 g ，則 0 231020 仰角 =30 . 錦囊妙計 解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的 . (1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式 (組 )求得參數(shù)的取值范圍；或建立關于參數(shù)的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域 . (2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考 慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值 . 殲滅難點訓練 一、選擇題 1.( )已知 A、 B、 C 三點在曲線 y= x 上，其橫坐標依次為 1， m,4(1 m 4)，當 面積最大時， m 等于 ( ) )設 u,v R，且 |u| 2 ,v 0,則 (u v)2+(2 2 )2的最小值為 ( ) 二、填空題 3.( )A 是橢圓長軸的一個端點， O 是橢圓的中心，若橢圓上存在一點 P，使 ,則橢圓離心率的范圍是 _. 4.( )一輛卡車高 3 米，寬 ，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為 a 米，則能使卡車通過的 a 的最小整數(shù)值是 _. 5.( )已知拋物線 y=1 上一定點 B( 1， 0)和兩個動點 P、 Q，當 P 在拋物線上運動時， Q 點的橫坐標的取值范圍是 _. 三、解答題 6.( )已知直線 y=1 與雙曲線 的左支交于 A、 B 兩點，若另一條直線 l 經(jīng)過點 P( 2， 0)及線段 中點 Q，求直線 l 在 b 的取值范圍 . 7.( )已知拋物線 C： x. (1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線 C 的焦點 F 及準線 l 分別重合，試求橢圓短軸端點 B 與焦點 F 連線中點 P 的軌跡方程； (2)若 M(m,0)是 x 軸上的一定點， Q 是 (1)所求軌跡上任一點，試問 |無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由 . 8.( )如圖， 為半圓， 半圓直徑， O 為半圓圓心，且 Q 為線段 中點，已知 |4，曲線 C 過Q 點，動點 P 在曲線 C 上運動且保持 |+|值不變 . (1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線 C 的方 程； (2)過 D 點的直線 l 與曲線 C 相交于不同的兩點 M、 N，且 M 在 D、 N 之間，設 ，求 的取值范圍 . 學法指導怎樣學好圓錐曲線 圓錐曲線將幾何與代數(shù)進行了完美結(jié)合 數(shù)學家笛卡爾開創(chuàng)了坐標系那天就已經(jīng)開始 . 高考中它依然是重點，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有 曲線、拋物線的定義和性質(zhì) 考中的題目都涉及到這些內(nèi)容 . 求曲線的方程或曲線的軌跡，此處作為高考解答題的命題對象難度較大 義法、直接法、待定系數(shù)法、相關點法、參數(shù)法等 . 此處一直為高考的熱點 段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決 法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程 . (1)方程思想 解析幾何的題目大部分都以方程形式給 定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理，就簡化解題運算量 . (2)用好函數(shù)思想方法 對于圓錐曲線上的一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及 a,b,c,e 之間構(gòu)成函數(shù)關系，函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效 . (3)掌握坐標法 坐標法是解決有關圓錐曲線問題的基本方法 此要加強坐標法的訓練 . 參考答案 難點磁場 解：由方程組112222去 y,整理得 (a2+b2)2 0 則橢圓與直線 l 在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點的充要條件是方程在區(qū)間 (0， 1）內(nèi)有兩相異實根，令 f(x)=(a2+b2)2 則有 0101010100)1()1(0)1()0(0)1)(442222222222222222(a,b)的存在區(qū)域為下圖所示的陰影部分： 殲滅難點訓練 一、 題意知 A(1， 1)， B(m, m ),C(4,2). 直線 在方程為 x 3y+2=0, 點 B 到該直線的距離為 d=10|23| |41)23(|21|23|2110 |23|1021|21 2 B C m (1,4),當23S 時 m=49. 答案： B 慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓 x2+ 上的點與雙曲線 上的點的距離的最小值 . 答案： C 二、 橢圓方程為2222=1(a b 0),以 直徑的圓： ax+,兩式聯(lián)立消 y 得222a ax+.即 ax+,該方程有一解 解為 a,由韋達定理a,0 a，即 02a e 1. 答案：22 e 1 題意可設拋物線方程為 x=2y=4a；當 x=， y= 3,即 12a a 的最小整數(shù)為 13. 答案： 13 P(t,1)， Q(s,1) ts )1()1(11222 = 1, 即 s 1)t s+1=0 t R,必須有 =(s 1)2+4(s 1) 0.即 s 3 0, 解得 s 3 或 s 1. 答案： ( , 3 1,+ ) 三、 A(x1,B(x2, 由1122 得 (1 2=0, 又直線 雙曲線左支交于 A、 B 兩點， 故有0120120)1(8)2(012212212222 k 1 22,1(22)1,2(,222,0)21221211120111,12),(22222200200221000拋物線 x,得焦 點 F(1,0),準線 l： x= 1. (1)設 P(x,y)，則 B(2x 1,2y),橢圓中心 O ,則 | |e,又設點 B 到 l 的距離為 d,則 | d=e, | | d,即 (2x 2)2+(2y)2=2x(2x 2),化簡得 P 點軌跡方程為 y2=x 1(x 1). (2)設 Q(x,y),則 | 22)( )1(45)21(1)( 22 )當 m21 1,即 m23時，函數(shù) t=x (m21)2+m45在 (1， + )上遞增，故 t 無最小值，亦即 |最小值 . ( )當 m21 1,即 m23時，函數(shù) t=(m21)2+m45在 x=m21處有最小值 m45, |MQ|5m. (1)以 在直線分別為 x 軸、 y 軸， O |+|2 5212 22 |4. 曲線 C 為以原點為中心， A、 B 為焦點的橢圓 . 設其長半軸為 a,短半軸為 b,半焦距為 c,則 2a=2 5 , a= 5