2010年高考熱點內(nèi)容預(yù)測與分析（4）：圓錐曲線與方程

用心 愛心 專心 2010 年高考熱點內(nèi)容預(yù)測與分析 4 圓錐曲線與方程 一 一 本部分在高考的地位和作用本部分在高考的地位和作用 圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容 是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點 難點 是高考命題的熱點之一 也是高考常見新穎題的板塊 各種解題方法在本章得到了很好的體現(xiàn)和充分的展示 尤其是在 最近幾年的高考試題中 平面向量與解析幾何的融合 提高了題目的綜合性 形成了題目多變 解法靈活的特點 充分體現(xiàn)了高考中以能力立意的命題方向 二 本部分近幾年來高考試題統(tǒng)計分析二 本部分近幾年來高考試題統(tǒng)計分析 20072007 年年 文科山東江蘇廣東海南 寧夏 橢圓22 14 15 5 19 14 雙曲線3 5 13 5 拋物線9 5 19 14 11 5 7 5 理科山東江蘇廣東海南 寧夏 橢圓21 12 15 5 18 14 19 12 雙曲線3 5 13 5 拋物線13 4 19 14 11 5 6 5 20082008 年年 文科山東江蘇廣東海南 寧夏 橢圓22 14 12 5 20 14 15 5 雙曲線13 4 2 5 拋物線20 14 理科山東江蘇廣東海南 寧夏 橢圓10 5 12 5 18 14 20 12 雙曲線10 5 14 5 拋物線22 14 18 14 11 5 20092009 年年 理科山東海南江蘇廣東天津浙江遼寧福建安徽 橢圓 22 1420 1213 511 521 1421 1520 1219 1420 13 雙曲線 9 54 59 516 53 5 拋物線 9 513 522 1019 149 521 1513 4 用心 愛心 專心 文科山東海南江蘇廣東天津浙江遼寧福建安徽 橢圓 22 1420 1213 519 1422 146 522 1222 18 12 雙曲線 4 54 56 5 拋物線 10 514 522 1022 15 根據(jù) 2009 年新課標(biāo)的 考試大綱 并結(jié)合近年高考試題 可以發(fā)現(xiàn)新課標(biāo)高考對本部 分的考查有這樣一些特點 1 每年都有一道客觀題 一道解答題 分值在 19 分左右 2 考查的內(nèi)容形式 客觀題主要考查圓錐曲線的概念 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識 考 題所在的位置一般在第 9 題之后 解答題中的圓錐曲線一般以壓軸題的形式出現(xiàn) 特別是山 東 仍以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題為載體 常常與圓 函數(shù) 方程 不等式 數(shù)列 向量等知識相交匯 形成綜合問題 這類問題常常是視角新 情境新 多涉及圓錐曲線中的 軌跡問題 定值問題 最值問題 范圍問題等 用來考查學(xué)生綜合運用知識去分析問題和解 決問題的能力 從考查的難度看 題目多以中高檔題為主 3 解析幾何內(nèi)綜合 不管客觀題還是解答題 每道題所考查的知識點都不是單一的 從近 年圓錐曲線試題可以看出除了考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 還涉及到直線與圓 曲線與 曲線的位置關(guān)系 特別是 2008 年山東文科卷 22 題 2009 年山東的理科卷 22 題都考查直線 圓 橢圓的基礎(chǔ)知識及其應(yīng)用 圓與橢圓的綜合是近年高考試題的一大亮點 綜合考查解析 幾何的內(nèi)容 4 根據(jù)考綱的要求 理科對橢圓 拋物線的概念 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì)的要求是掌握的內(nèi) 容 對雙曲線是了解的內(nèi)容 文科只對橢圓是掌握的內(nèi)容 對雙曲線 拋物線是了解的內(nèi)容 因此 從高考試題統(tǒng)計表也可以看出這一點 橢圓是高考必考的內(nèi)容 其次是拋物線 考的 最少的是雙曲線 三 本部分明年高考預(yù)測三 本部分明年高考預(yù)測 預(yù)測 2010 年高考對本模塊的考查為 1 繼續(xù)保持一道客觀題 一道解答題題型格局 2 結(jié)合我省當(dāng)前的形勢 試題的難度有所降低 對圓錐曲線大題的考查將是一種相對穩(wěn) 定的趨勢 客觀題仍主要考查圓錐曲線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識 解答題繼 續(xù)以直線與橢圓的位置關(guān)系為載體考查圓錐曲線中的綜合問題 但要注意兩種圓錐曲線方程 混合背景下的橢圓幾何性質(zhì)的求解問題 3 結(jié)合其他省市的高考試題命題特點 軌跡問題 最值 取值范圍 問題 特別是圓的 問題應(yīng)引起足夠的重視 對用向量語言描述的條件要多加注意 文科應(yīng)重視圓的綜合問題 理科應(yīng)重視運用向量證明共線問題 四 備考策略四 備考策略 用心 愛心 專心 對圓錐曲線的復(fù)習(xí) 首先要做到 基礎(chǔ)知識熟練化 基本問題準(zhǔn)確化 在此基礎(chǔ)上掌 握解題技能技巧 注重數(shù)學(xué)思想方法 一 一 要重點掌握圓錐曲線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本應(yīng)用要重點掌握圓錐曲線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本應(yīng)用 1 1 橢圓橢圓是要求掌握的內(nèi)容 是高考的重點 是高考必考的內(nèi)容 1 1 要重視概念的復(fù)習(xí)及應(yīng)用 要重視概念的復(fù)習(xí)及應(yīng)用 只要涉及到橢圓上的點到焦點的問題 焦點三角形 要聯(lián) 想到定義 且注意正 余弦定理的使用 例 1 2009 廣東 11 巳知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點 長軸在x軸上 離心率為 3 2 且 G上一點到G的兩個焦點的距離之和為 12 則橢圓G的方程為 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 則所求橢圓方程為1 936 22 yx 人教 A 版選修 2 1 第 48 頁練習(xí)題 3 1 題 焦點在x軸上 3 1 6 ea 求橢圓方程 2 2 橢圓的性質(zhì) 橢圓的性質(zhì) 橢圓中有 兩線 兩條對稱軸 六個點 兩個焦點 四個頂點 兩形 橢圓上的點與兩個焦點構(gòu)成焦點三角形 周長為 2ca 一個焦點 中心和短軸 的一個端點構(gòu)成直角三角形 有 222 cba 注意他們之間的位置關(guān)系 重視離心率的有 關(guān)計算 2 1 a b a c e 對焦點在x軸上的橢圓 焦半徑 0201 exaPFexaPF 0 2 0 2 0 2 2 22 0 2 0 2 01 exaax a c x a b bcxycxPF 由 caexacaaxa 00 例 2 2009 江蘇13 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 1212 A A B B為橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的四個頂點 F為其右焦點 直線 12 AB與直線 1 B F相交于點 T 線 段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點 則該橢圓的 離心率為 解析 考查橢圓的基本性質(zhì) 如頂點 焦點坐標(biāo) 離心 率的計算等 以及直線的方程 直線 12 AB的方程為 1 xy ab 用心 愛心 專心 直線 1 B F的方程為 1 xy cb 二者聯(lián)立解得 2 acb ac T acac w w w k s 5 u c o m 則 2 acb ac M acac 在橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 上 22 222 22 1 1030 1030 4 cac cacaee acac w w w k s 5 u c o m 解得 2 75e 3 3 掌握以下有關(guān) 掌握以下有關(guān) 最值最值 的結(jié)論的結(jié)論 設(shè) yxp是橢圓 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的點 1 PF的最大值為ca 最小值為ca 21 PFPF 的最大值為 2 b 最小值為 22 cb 21 PFPF 的最大值為 2 a 最小值為 2 b 設(shè) 11 yxA 22 yxB AB是過焦點 F 的弦 則弦長 2 21 xxeaAB 此時 最長的弦為長軸a2 最短弦為通經(jīng) a b22 焦點三角形的問題 橢圓上的點p與兩焦點 21 F F構(gòu)成的 21F PF 稱為焦點三角形 設(shè) 21PF F 2211 rPFrPF 則1 2 cos 21 2 rr b 當(dāng) 21 rr 即p為短軸端點時 最大 對焦點三角形 21F PF 若 21PF F 00 yxp 則這個三角形的面積 sin cos1 2 2 1 sin 2 1 2 210 21 b PFPFycS FPF 2 tan 2 b 當(dāng)且僅當(dāng)點p為橢 圓短軸端點時面積最大 利用橢圓的定義 余弦定理 例 3 2009 上海 9 已知 1 F 2 F是橢圓1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的兩個焦點 P為橢圓C上一點 且 21 PFPF 若 21F PF 的面積為 9 則b w w w k s 5 u c o m 解析 依題意 由 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 用心 愛心 專心 若用上述結(jié)論可直接求出 345tan9 2 bb 2 2 雙曲線雙曲線是了解的內(nèi)容 一般以客觀題的形式出現(xiàn) 重點復(fù)習(xí)雙曲線的定義應(yīng)用 求雙曲 線的標(biāo)準(zhǔn)方程 漸近線 離心率的計算等 1 1 在運用雙曲線的定義時 在運用雙曲線的定義時 應(yīng)特別注意定義中的條件 差的絕對值 弄清是整條雙曲線 還是雙曲線的一支 與橢圓類比 例 4 2009 遼寧 16 以知 F 是雙曲線 22 1 412 xy 的左焦點 1 4 AP是雙曲線右支上 的動點 則PFPA 的最小值為 答案 9 解析 注意到 P 點在雙曲線的兩只之間 且雙曲線右焦點為 F 4 0 于是由雙曲線性質(zhì) PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 兩式相加得 PF PA 9 當(dāng)且僅當(dāng) A P F 三點共線時等號成立 2 2 雙曲線的幾何性質(zhì) 雙曲線的幾何性質(zhì)的實質(zhì)是圍繞雙曲線中的 六點 兩個焦點 兩個頂點 兩個虛軸 的端點 四線 兩條對稱軸 兩條漸近線 兩形 焦點三角形 其面積為 2 tan 2 21 b S FPF 特征三角形OAM 研究他們之間的相互聯(lián)系 在特征OAM 中 它 幾乎包含了雙曲線的所有基本特征量 aOA cOFOMbAM 2 ec a AOM 1 cos OM所在的直線即為雙曲線的漸近線x a b y 漸近線是刻畫雙曲 線的一個重要概念 畫雙曲線時 應(yīng)先畫出他的漸近線 把標(biāo)準(zhǔn)方程1 2 2 2 2 b y a x 用心 愛心 專心 0 0 ba中的 1 用 0 替換即可得出漸近線方程0 2 2 2 2 b y a x 由漸近線的斜率就 可以求出雙曲線的離心率 2 1 a b a c e 例 5 2009 山東理 9 設(shè)雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線與拋物線 y x 2 1 只有一個公 共點 則雙曲線的離心率為 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線為x a b y 由方程組 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故選 D 3 3 拋物線拋物線理科是要求掌握的內(nèi)容 文科是了解的內(nèi)容 1 1 重視拋物線定義的運用 重視拋物線定義的運用 定義的實質(zhì)為 一動三定 一個動點 設(shè)為 M 一個定點 F 拋物線的焦點 一條定直線l 拋物線的準(zhǔn)線 一個定值 即為 M 到點 F 的距離與它到 定直線l的距離之比等于 1 解題時 看到焦點想準(zhǔn)線 看到準(zhǔn)線想焦點 把拋物線上的點 到焦點的問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線問題 2 2 掌握拋物線中有關(guān)焦點弦的 掌握拋物線中有關(guān)焦點弦的 定值定值 的結(jié)論的結(jié)論 設(shè) 2211 yxByxA AB為過拋物線 0 2 2 ppxy的焦點F的弦 則 2 2 21 p xFB p xFA pxxAB 21 sin 2 2 p 為直線 AB 的傾斜角 pFBFA 211 2 21 2 21 4 pyy p xx 以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 以 FA 為直徑的圓與y軸相切 過頂點任意作OBOA 則AB過定點 0 2 p 用心 愛心 專心 例例 6 6 2009 福建 13 過拋物線 2 2 0 ypx p 的焦點 F 作傾斜角為45 的直線交拋物線 于 A B 兩點 若線段 AB 的長為 8 則p w w w k s 5 u c o m 解析解析 由題意可知過焦點的直線方程為 2 p yx 聯(lián)立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 根據(jù)pxxAB 21 得284 pp 例例 7 2009 全國卷 9 已知直線 20yk xk 與拋物線 2 8C yx 相交于 AB 兩點 F為C的焦點 若 2 FAFB 則k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解析一解析一 設(shè)拋物線 2 8C yx 的準(zhǔn)線為 2l x 直線 20yk xk 恒過定點 P 2 0 如圖過AB 分 別作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 則 2 AMBN 點 B 為 AP 的中點 連結(jié)OB 則 1 2 OBAF OBBF 點B的橫坐標(biāo)為 1 故點B的坐標(biāo)為 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故選 D 解析二解析二 設(shè) 2211 yxByxA xy xky 8 2 2 04 84 2222 kxkxk 得4 21 xx 根據(jù)焦半徑公式 21 2xFBxFA 2 2 FAFB 得22 21 xx 求得 22 1 B 將其代入 20yk xk 中得 3 22 k 故選 D 二 要熟練掌握解決有關(guān)圓錐曲線問題的通性通法 打好堅實的基礎(chǔ) 二 要熟練掌握解決有關(guān)圓錐曲線問題的通性通法 打好堅實的基礎(chǔ) 用心 愛心 專心 解析幾何所研究的問題有兩類 一是根據(jù)條件求圓錐曲線的方程 二是根據(jù)方程討論 曲線的幾何性質(zhì) 因此 在復(fù)習(xí)時要重點掌握好圓錐曲線中的一些基本問題 1 1 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 這是圓錐曲線中的基本問題 也是高考的熱點問題 求圓錐曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程常常使用定義法與待定系數(shù)法 可采用 先定形 焦點位置或?qū)ΨQ軸的位置 后定式 方程的形式 再定量 方程中待定的系數(shù)ba 或p 求解時 要根據(jù)圓錐曲線的 幾何性質(zhì)進(jìn)行分析 理清其關(guān)系 挖掘其聯(lián)系 注意注意 求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程易忽視焦點的位置 2 2 求曲線的軌跡方程 求曲線的軌跡方程 文科雖不做要求 但課本中有這樣問題 也是高考的熱點 難度有所 降低 因此必須認(rèn)真對待 軌跡問題具有兩個方面 一是求軌跡方程 二是由軌跡方程研究 軌跡的性質(zhì) 這兩方面的問題在歷年高考中均有出現(xiàn) 在復(fù)習(xí)時要掌握求軌跡方程的思路和 方法 要學(xué)會如何將解析幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系 求軌 跡方程常用的方法有定義法 直接法 代入法 參數(shù)法等 注意注意 軌跡與軌跡方程的區(qū)別 軌跡方程的純粹性與完備性 例 8 2009 海南 寧夏 理 20 本小題滿分 12 分 已知橢圓 C 的中心為直角坐標(biāo)系 xOy 的原點 焦點在 s 軸上 它的一個頂點到兩個焦點的 距離分別是 7 和 1 求橢圓 C 的方程 若 P 為橢圓 C 上的動點 M 為過 P 且垂直于 x 軸的直線上的點 OP OM 求點 M 的軌跡方程 并說明軌跡是什么曲線 w w w k s 5 u c o m 解 設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為ac 由已知得 1 4 3 7 ac ac ac 解得 w w w k s 5 u c o m 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1 167 xy w w w k s 5 u c o m 設(shè) M x y 其中 4 4x 由已知 2 2 2 OP OM 及點P在橢圓C上可得 2 2 22 9112 16 x xy 整理得 2222 169 16112xy 其中 4 4x i 3 4 時 化簡得 2 9112y w w w k s 5 u c o m 用心 愛心 專心 所以點M的軌跡方程為 4 7 44 3 yx 軌跡是兩條平行于x軸的線段 ii 3 4 時 方程變形為 22 22 1 112112 16916 xy 其中 4 4x 當(dāng) 3 0 4 時 點M的軌跡為中心在原點 實軸在y軸上的雙曲線滿足 44x 的部分 當(dāng) 3 1 4 時 點M的軌跡為中心在原點 長軸在x軸上的橢圓滿足44x 的部 分 當(dāng)1 時 點M的軌跡為中心在原點 長軸在x軸上的橢圓 人教 A 版選修 2 1 第二章復(fù)習(xí)題 A 組第 4 題 當(dāng) 從 0到 180變化時 方程 1cos 22 yx表示的曲線的形狀怎么變化 例 9 2009 廣東理 19 本小題滿分 14 分 已知曲線 2 C yx 與直線 20l xy 交于兩點 AA A xy和 BB B xy 且 AB xx 記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域 含邊界 為D 設(shè)點 P s t是L上的任一點 且點P與點A和點B均不重合 1 若點Q是線段AB的中點 試求線段PQ的中點M的軌跡方程 w w w k s 5 u c o m 2 若曲線 222 51 240 25 G xaxyya 與D有公共點 試求a的最小值 解 1 聯(lián)立 2 xy 與2 xy得2 1 BA xx 則AB中點 2 5 2 1 Q 設(shè)線段PQ的 中點M坐標(biāo)為 yx 則 2 2 5 2 2 1 t y s x 即 2 5 2 2 1 2 ytxs 又點P在曲線 C上 2 2 1 2 2 5 2 xy化簡可得 8 11 2 xxy 又點P是L上的任一點 且不與點 A和點B重合 則2 2 1 21 x 即 4 5 4 1 x 中點M的軌跡方程為 8 11 2 xxy 4 5 4 1 x 2 曲線 222 51 240 25 G xaxyya x y o xA xB D 用心 愛心 專心 即圓E 25 49 2 22 yax 其圓心坐標(biāo)為 2 aE 半徑 5 7 r 由圖可知 當(dāng)20 a時 曲線 222 51 240 25 G xaxyya 與點D有公共點 當(dāng)0 a時 要使曲線 222 51 240 25 G xaxyya 與點D有公共點 只需圓心E到 直線 20l xy 的距離 5 7 2 2 22 aa d 得0 5 27 a 則a的最小值 為 5 27 3 3 求解圓錐曲線的性質(zhì)求解圓錐曲線的性質(zhì) 求解圓錐曲線的幾何性質(zhì)一定要先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 明確 pecba 的值 要結(jié)合圖形進(jìn)行分析 即使不畫出圖形 思考時也要聯(lián)想到圖形 當(dāng)涉及 到頂點 焦點 離心率 漸近線 準(zhǔn)線等基本量時 要理清它們之間的關(guān)系 建立基本量之 間的聯(lián)系 特別是離心率的計算是高考必考的內(nèi)容 若求離心率的值 或范圍 一般是根 據(jù)題目給出的橢圓 雙曲線的幾何特征 建立關(guān)于cba 的方程或不等式來求得離心率的值 或范圍 求范圍時 要挖掘題中的不等關(guān)系 例曲線上點的坐標(biāo)的范圍 0 等 注意注意 在橢圓中1 222 eocba 在雙曲線中1 e 例 10 2009 重慶理 15 已知雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦點分別為 12 0 0 FcF c 若雙曲線上存在一點P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc 則該雙曲線的離心率的取值 范圍是 解析一解析一 根據(jù)已知條件點p不會是雙曲線的頂點 否則 12 21 sin sin PFFa PF Fc 無意義 因為在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 則由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 且知點 P 在雙曲線的右支上 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 則即 用心 愛心 專心 由橢圓的幾何性質(zhì)知 2 22 2 2 20 a PFcacacaca ca 則既 整理得 2 210 ee 解得2121 1 ee 又 故橢圓的離心率 1 21 e 解析二解析二 由焦半徑公式得 0201 exaPFexaPF 12 aPFcPF a ee ea x 1 1 0 2 210 ee 例 11 2009 浙江 6 已知橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦點為F 右頂點為A 點 B在橢圓上 且BFx 軸 直線AB交y軸于點P 若2APPB 則橢圓的離心率是 w w w k s 5 u c o m A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 命題意圖 對于對解析幾何中與平面向量結(jié)合的考查 既體現(xiàn)了幾何與向量的交匯 也體 現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用 解析 對于橢圓 因為2APPB 則 1 2 2 2 OAOFace w w w k s 5 u c o m 故選 D 4 4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 對直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查主要有兩種題型 一是判斷已知直線與曲線的位置關(guān) 系 或交點個數(shù) 二是根據(jù)直線與圓錐曲線的某種位置關(guān)系 考查直線與曲線相交的弦長 中點 最值 定值 點的軌跡 參數(shù)問題及相關(guān)的不等式與等式的證明問題 其解題通法就是將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立 消元 轉(zhuǎn)化為一元二次方程 看二次 項系數(shù)及判別式 應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系 結(jié)合坐標(biāo)變換 得到等式或不等式 甚至是函數(shù) 通過判別式的輔助作用 將問題解決 不要害怕計算量大 考的就是心態(tài) 例 12 2008 遼寧 21 本小題滿分 12 分 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 點 P 到兩點 03 03 的距離之和等于 4 設(shè)點 P 的軌 跡為C 寫出 C 的方程 設(shè)直線1ykx 與 C 交于 A B 兩點 k 為何值時OA OB 此時AB 的值是多少 解 本小題主要考查平面向量 橢圓的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識 考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力 設(shè) P x y 由橢圓定義可知 點 P 的軌跡 C 是以 03 03 為焦點 長半軸 用心 愛心 專心 為 2 的橢圓 它的短半軸 22 2 3 1b 故曲線 C 的方程為 2 2 1 4 y x 4 分 設(shè) 1122 A xyB xy 其坐標(biāo)滿足 2 2 1 4 1 y x ykx 消去 y 并整理得 22 4 230kxkx 故 1212 22 23 44 k xxx x kk 6 分 OAOB 即 1212 0 x xy y 而 2 121212 1y yk x xk xx 于是 222 1212 2222 33241 1 4444 kkk x xy y kkkk 所以 1 2 k 時 1212 0 x xy y 故OAOB 8 分 當(dāng) 1 2 k 時 12 4 17 xx 12 12 17 x x 2222 212121 1 ABxxyykxx 而 22 212112 4xxxxx x 23 22 44 3413 4 171717 所以 4 65 17 AB 12 分 5 5 有關(guān)最值 取值范圍 的問題有關(guān)最值 取值范圍 的問題 在解析幾何中求最值 主要有兩種策略 1 代數(shù)法 建立目標(biāo)函數(shù) 轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 的最值問題 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特點可分別采用配方法 判別式法及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最 值 求解過程中 要特別注意自變量的取值范圍特別注意自變量的取值范圍 2 幾何法 若題目條件和結(jié)論能明顯體 現(xiàn)幾何特征及意義 則考慮用圖形性質(zhì)簡捷求解 例 13 2009 全國卷 21 本小題滿分 12 分 如圖 已知拋物線 2 E yx 與圓 222 4 0 Mxyrr 相 交于A B C D四個點 I 求r得取值范圍 II 當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時 求對角線AC BD的交 用心 愛心 專心 點P坐標(biāo) 解 解 I 將拋物線 2 E yx 與圓 222 4 0 Mxyrr 的方程聯(lián)立 消去 2 y 整理 得 22 7160 xxr 拋物線 2 E yx 與圓 222 4 0 Mxyrr 相交于A B C D四個點的 充要條件是 方程 有兩個不相等的正根 21 x x即可 由此得 016 07 0 16 4 7 2 21 21 22 rxx xx r 解得 15 4 2 r II 考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標(biāo) 因此利用設(shè)而不求 整體代入 的 方法處理本小題是一個較好的切入點 設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 則由 I 根據(jù)韋達(dá)定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 則 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 4 2 72 16 415 Sxxx xxxx xrr 令 2 16rt 則 22 72 72 Stt 下面利用導(dǎo)數(shù)求 2 S的最大值 令 2 7 0 27 27 22 tttStf 0 76 72 2 tttf 得 2 7 6 7 tt 舍去 可判斷當(dāng) 6 7 t時 tf有最大值 即四邊形 ABCD 的面積最大 故所求的點 P 的坐標(biāo)為 0 6 7 6 6 有關(guān)定值 定點 的問題有關(guān)定值 定點 的問題 要證明曲線過定點 首先要引入恰當(dāng)?shù)膮⒆兞?建立曲線的方程 按照參數(shù)進(jìn)行集項 把方程化為一端為零的形式 既然是過定點 那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立 這時參 數(shù)的系數(shù)就要等于零 這樣就得到一個關(guān)于yx 的方程組 這個方程組的解就是曲線系所過 定點的橫縱坐標(biāo) 證明定值主要是觀察相關(guān)的幾個幾何量 用設(shè)定的或題中給出的參數(shù)表示出來 再將欲 證得幾何量之間的關(guān)系式化簡為一個與參數(shù)無關(guān)的定值問題 例 14 2009 遼寧 20 本小題滿分 12 分 用心 愛心 專心 已知橢圓 C 過點 A 3 1 2 兩個焦點為 1 0 1 0 1 求橢圓 C 的方程 w w w k s 5 u c o m 2 E F 是橢圓 C 上的兩個動點 如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù) 證明直線 EF 的斜率為定值 并求出這個定值 解 由題意 c 1 可設(shè)橢圓方程為 22 19 1 14bb 解得 2 3b 2 3 4 b 舍去 所以橢圓方程為 22 1 43 xy 設(shè)直線 AE 方程為 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 34 4 32 4 120 2 kxkk xk 設(shè) x y EE E x y FF F 因為點 3 1 2 A在橢圓上 所以 2 2 3 4 12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 又直線 AF 的斜率與 AE 的斜率互為相反數(shù) 在上式中以 K 代 K 可得 2 2 3 4 12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 所以直線 EF 的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk K xxxx 即直線 EF 的斜率為定值 其值為 1 2 7 7 向量與圓錐曲線的綜合問題向量與圓錐曲線的綜合問題 主要題型有兩類 1 將向量作為工具解答圓錐曲線問題 2 以解析幾何為載體 向量作為條件融入題設(shè)條件中 向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角 平行 垂直 共線 軌跡等問題的處理 其解題策略就是將幾何問題坐標(biāo)化 符號化 數(shù)量化 從而將推理轉(zhuǎn)化 為運算 溝通點與點之間的坐標(biāo)關(guān)系 例 15 2009 北京理 19 本小題共 14 分 已知雙曲線 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的離心率為3 右準(zhǔn)線方程為 3 3 x 可改 為 3 3 2 c a 求雙曲線C的方程 用心 愛心 專心 設(shè)直線l是圓 22 2O xy 上動點 0000 0 P xyx y 處的切線 l與雙曲線C交 于不同的兩點 A B 證明AOB 的大小為定值 w k s 5 u c o m 解解 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓的切線方程等基礎(chǔ)知識 考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法 考查推理 運算能力 由題意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac w w w k s 5 u c o m 222 2bca 所求雙曲線C的方程為 2 2 1 2 y x 點 0000 0P xyx y 在圓 22 2xy 上 w w w k s 5 u c o m 圓在點 00 P xy處的切線方程為 0 00 0 x yyxx y 化簡得 00 2x xy y w w w k s 5 u c o m 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 切線l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 且 222 000 164 34820 xxx w w w k s 5 u c o m 設(shè) A B 兩點的坐標(biāo)分別為 1122 x yxy 則 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx w w w k s 5 u c o m cos OA OB AOB OA OB 且 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x w w w k s 5 u c o m 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx AOB 的大小為90 w k s 5 u c o m 例 16 2008 海南寧夏 20 本小題滿分 12 分 在直角坐標(biāo)系 xOy 中 橢圓 C1 用心 愛心 專心 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦點分別為 F1 F2 F2也是拋物線 C2 2 4yx 的焦點 點 M 為 C1與 C2在第一象限的交點 且 2 5 3 MF 1 求 C1的方程 2 平面上的點 N 滿足 12 MNMFMF 直線 l MN 且與 C1交 于 A B 兩點 若OA OB 0 求直線 l 的方程 解 由 2 C 2 4yx 知 2 10 F 設(shè) 11 M xy M在 2 C上 因為 2 5 3 MF 所以 1 5 1 3 x 得 1 2 3 x 1 2 6 3 y M在 1 C上 且橢圓 1 C的半焦距1c 于是 22 22 48 1 93 1 ab ba 消去 2 b并整理得 42 93740aa 解得2a 1 3 a 不合題意 舍去 故橢圓 1 C的方程為 22 1 43 xy 由 12 MFMFMN 知四邊形 12 MFNF是平行四邊形 其中心為坐標(biāo)原點O 因為lMN 所以l與OM的斜率相同 故l的斜率 2 6 3 6 2 3 k 設(shè)l的方程為6 yxm 由 22 3412 6 xy yxm 消去y并化簡得 22 916840 xmxm 設(shè) 11 A xy 22 B xy 12 16 9 m xx 2 12 84 9 m x x 因為OAOB 所以 1212 0 x xy y 12121212 6 x xy yx xxm xm 2 1212 76 6x xm xxm 2 2 8416 766 99 mm mm AA 2 1 1428 0 9 m 所以2m 此時 22 16 4 9 84 0mm 用心 愛心 專心 故所求直線l的方程為62 3yx 或62 3yx 三 要熟悉解決圓錐曲線問題的必要的技能技巧 以提高綜合解題能力 三 要熟悉解決圓錐曲線問題的必要的技能技巧 以提高綜合解題能力 在求解圓錐曲線問題中 學(xué)生運算能力的高低是求解圓錐曲線問題的關(guān)鍵 因此 減 少圓錐曲線問題運算量是非常必要的 1 求方程時選用適當(dāng)?shù)男问?例 焦點位置不確定的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常設(shè)為1 22 nymxnmnm 0 0 共漸近線x a b y 的雙曲線方程可設(shè)為 0 2 2 2 2 b y a x 等 2 在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中 應(yīng)用韋達(dá)定理整體代入簡化運算 3 數(shù)形結(jié)合簡化運算 在解析幾何中所涉及的曲線具有 數(shù) 與 形 的雙重性 數(shù)形結(jié)合 時解析幾何的基本思想方法 借助直觀圖形能使直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題直觀顯現(xiàn) 獲得迅速解答 4 靈活運用圓錐曲線的定義 回歸定義 5 設(shè)而不求 點差法簡化運算 例弦的中點問題 用解析法處理解析幾何問題 設(shè)點的坐 標(biāo)最為常見 但求點的坐標(biāo)并不多見 根據(jù)點在曲線上 坐標(biāo)是方程解得代數(shù)特征 靈活運 用方程理論 是設(shè)而不求的實質(zhì) 如果涉及到曲線交點問題 可不求出