雞兔同籠類問(wèn)題中的各種解法分析小匯總

雞兔同籠類問(wèn)題中的各種解法分析小匯總 1 典型雞兔同籠問(wèn)題詳解典型雞兔同籠問(wèn)題詳解 例 1 雞兔同籠是我國(guó)古代的著名趣題 大約在 1500 年前 孫子算經(jīng) 中就記載著 今有雉兔同籠 上有三十五頭 下有九十四足 問(wèn)雉兔各幾何 翻譯成通俗易懂的內(nèi) 容如下 雞兔共有 35 個(gè)頭 94 只腳 問(wèn)雞兔各有多少只 經(jīng)梳理 對(duì)于這一類問(wèn)題 總共有 以下幾種理解方法 1 站隊(duì)法 站隊(duì)法 讓所有的雞和兔子都列隊(duì)站好 雞和兔子都聽(tīng)哨子指揮 那么 吹一聲哨子讓所有動(dòng) 物抬起一只腳 籠中站立的腳 94 35 59 只 那么再吹一聲哨子 然后再抬起一只腳 這時(shí)候雞兩只腳都抬起來(lái)就一屁股坐地上了 只剩下用兩只腳站立的兔子 站立腳 59 35 24 只 兔 24 2 12 只 雞 35 12 23 只 2 松綁法 松綁法 由于兔子的腳比雞的腳多出了 2 個(gè) 因此把兔子的兩只前腳用繩子捆起來(lái) 看作是一 只腳 兩只后腳也用繩子捆起來(lái) 看作是一只腳 那么 兔子就成了 2 只腳 則捆綁后雞腳和兔腳的總數(shù) 35 2 70 只 比題中所說(shuō)的 94 只要少 94 70 24 只 現(xiàn)在 我們松開(kāi)一只兔子腳上的繩子 總的腳數(shù)就會(huì)增加 2 只 不斷地一個(gè)一個(gè)地松 開(kāi)繩子 總的腳數(shù)則不斷地增加 2 2 2 2 一直繼續(xù)下去 直至增加 24 因此兔子數(shù) 24 2 12 只 從而雞數(shù) 35 12 23 只 3 假設(shè)替換法 假設(shè)替換法 實(shí)際上替代法的做題步驟跟上述松綁法相似 只不過(guò)是換種方式進(jìn)行理解 假設(shè)籠子里全是雞 則應(yīng)有腳 70 只 而實(shí)際上多出的部分就是兔子替換了雞所形成 每一只兔子替代雞 則增加每只兔腳減去每只雞腳的數(shù)量 兔子數(shù) 實(shí)際腳數(shù) 每只雞腳數(shù) 雞兔總數(shù) 每只兔腳數(shù) 每只雞腳數(shù) 與前相似 假設(shè)籠子里全是兔 則應(yīng)有腳 120 只 而實(shí)際上不足的部分就是雞替換了 兔子所形成 每一只雞替代兔子 則減少每只兔腳減去每只雞腳的數(shù)量 即 2 只 雞數(shù) 每只兔腳數(shù) 雞兔總數(shù) 實(shí)際腳數(shù) 每只兔腳數(shù) 每只雞腳數(shù) 將上述數(shù)值代入方法 1 可知 兔子數(shù)為 12 只 再求出雞數(shù)為 23 只 將上述數(shù)值代入方法 2 可知 雞數(shù)為 23 只 再求出兔子數(shù)為 12 只 由計(jì)算值可知 兩種替代方法得出的答案完全一致 只是順序不同 由替代法的順序 不同可知 求雞設(shè)兔 求兔設(shè)雞 可以根據(jù)題目問(wèn)題進(jìn)行假設(shè)以減少計(jì)算步驟 4 方程法 方程法 隨著年級(jí)的增加 學(xué)生開(kāi)始接觸方程思想 這個(gè)時(shí)候雞兔同籠問(wèn)題運(yùn)用方程思想則變 得十分簡(jiǎn)單 第一種是一元一次方程法 解 設(shè)兔有 x 只 則雞有 35 x 只 4x 2 35 x 94 4x 70 2x 94 x 12 注 方程結(jié)果不帶單位 從而計(jì)算出雞數(shù)為 35 12 23 只 第二種是二元一次方程法 解 設(shè)雞有 x 只 兔有 y 只 則存在著二元一次方程組的關(guān)系式 x y 35 2x 4y 94 解方程式可知兔子數(shù)為 y 12 則可計(jì)算雞數(shù)為 x 23 以述四種方法就是這一典型雞兔同籠問(wèn)題的四種不同理解和計(jì)算方法 在沒(méi)有接觸方 程思想之前 用前三種方式進(jìn)行理解 在接觸方程思想之后 則可以用第四種方法進(jìn)行學(xué) 習(xí) 2 雞兔同籠問(wèn)題的衍生 非方程思想 雞兔同籠問(wèn)題的衍生 非方程思想 例 2 現(xiàn)有 100 千克的水裝了共 60 個(gè)的礦泉水瓶子中 大礦泉水瓶一瓶裝 3 千克 小 礦泉水瓶 1 瓶裝 1 千克 問(wèn)大 小礦泉水瓶各多少個(gè) 大小瓶共裝的 100 千克水即為總水量 對(duì)應(yīng)上一例中雞兔總共擁有的 74 只腳即為總 腳數(shù) 大礦泉水瓶 1 瓶裝 3 千克水對(duì)應(yīng)每只兔子所擁有的 4 只腳 小礦泉水瓶 1 瓶裝 1 千克 水對(duì)應(yīng)每只雞所擁有的 2 只腳 類型類型水量水量 總量 100 總數(shù) 60 多量 3 少量 1 對(duì)應(yīng)關(guān)系理清之后 按照例 1 中的方法即可求出 大礦泉水瓶子有 20 個(gè) 小礦泉水 瓶子有 40 個(gè) 具體解題過(guò)程不詳述 例 3 聰明昊參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽 共做 20 道題 得 70 分 已知做對(duì)一道題得 5 分 做錯(cuò)一 道題扣 1 分 問(wèn)聰明昊做對(duì)了幾道題 這一題依然與上述問(wèn)題思路一致 只是少量變成了扣一分 在此提示 按照替代法進(jìn) 行計(jì)算 先假設(shè)全部做對(duì) 則應(yīng)得分 100 分 而實(shí)際上卻少得了 100 70 30 分 這 30 分的差距就是因?yàn)橐坏厘e(cuò)題替換了一道正確的 每一道題進(jìn)行替換就會(huì)帶來(lái) 5 1 6 分 的差值 注意一對(duì)一錯(cuò) 差值是兩者的和 因此做錯(cuò)了 5 道題 做對(duì)了 15 道題 在這種情況下 小量不是增加而是減少或扣時(shí) 一般先假設(shè)大量進(jìn)行替換計(jì)算 例 4 現(xiàn)有 100 千克的水裝了共 60 個(gè)的礦泉水瓶子中 大礦泉水瓶 1 瓶裝 4 千克 小 礦泉水瓶 2 瓶裝 1 千克 問(wèn)大 小礦泉水瓶各多少個(gè) 這道題需要認(rèn)真審題 小礦泉水瓶是 2 瓶裝 1 千克 當(dāng)瓶子的數(shù)目不全是單位 1 時(shí) 思路可以如下 假如能運(yùn)用小數(shù) 則直接將 2 瓶裝 1 千克轉(zhuǎn)化為 1 瓶裝 0 5 千克 則變成與例 1 中所 述方式一樣 假如對(duì)小數(shù)不熟悉 則可以將 2 瓶子視為一組 則全部瓶子有 30 組 大礦泉水瓶一組裝 8 千克 小礦泉水瓶一組裝 1 千克 按照例 1 中所述方式 可以求出大小礦泉水瓶各有的組數(shù) 用組數(shù)乘以 2 則可以求出瓶數(shù) 上述 3 個(gè)問(wèn)題仍然是兩個(gè)因素的比較 因而只要將問(wèn)題中的因素與雞兔同籠問(wèn)題中的 因素一一對(duì)應(yīng)即可計(jì)算出來(lái) 例 5 聰明昊完成工作后領(lǐng)得工資 240 元 包括 2 元 5 元 10 元三種人民幣共 50 張 其中 2 元與 5 元的張數(shù)一樣多 那么 2 元 5 元 10 元各有多少?gòu)?這一道問(wèn)題相比前面的問(wèn)題復(fù)雜一些 變成三個(gè)因素 但是通過(guò)審題我們發(fā)現(xiàn) 他給 出了一個(gè)條件那就是 2 元與 5 元的張數(shù)一樣多 因此 由于這兩種人民幣數(shù)量一樣多 可以將其當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)算 與 10 元進(jìn) 行比較 因此先假設(shè)全部是 10 元的人民幣 則應(yīng)有工資 50 10 500 元 比實(shí)際多出 500 240 260 元 這多出的 260 元就是因?yàn)橛?2 元與 5 元替換了 10 元 由于拿一張 5 元替換 10 元時(shí) 必定要拿一張 2 元替換 10 元 因此依然可以將 2 張 人民幣作為一組 每替換一組 工資減少 10 5 10 2 13 元 則由此可知 共替換的人民幣組數(shù) 260 13 20 組 則總共替換的人民幣張數(shù) 20 2 40 個(gè) 因而計(jì)算得出 10 元人民幣的張數(shù) 50 40 10 張 2 元和 5 元人民幣的張數(shù)分別 為 40 2 20 張 由此題可知 雖然變成了三個(gè)因素的關(guān)系 但是由于題中給出了其中兩個(gè)因素的相互 關(guān)系 因此可以將有相互關(guān)系的因素進(jìn)行捆綁 從而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)因素的計(jì)算 便與例 1 相 同 注 如果對(duì)小數(shù)比較熟悉 也可以將 2 和 5 元看成一張 3 5 元進(jìn)行假設(shè)替換 需要替 換 40 張 2 元和 5 元各 20 張 小朋友可以自己思考 例 6 蜘蛛有 8 條腿 蜻蜓有 6 條腿和 2 對(duì)翅膀 蟬有 6 條腿和 1 對(duì)翅膀 現(xiàn)在這三種 小蟲(chóng)共 21 只 有 140 條腿和 23 對(duì)翅膀 每種小蟲(chóng)各幾只 由上述題目可知 總量分別包括了腿和翅膀兩種 其中蜘蛛 1 只有 8 腿 而單個(gè)蜻蜓 和單個(gè)蟬的腿數(shù)相同 都為 6 條 因此可以按照題 4 的方式利用腿的關(guān)系求出蜘蛛的個(gè)數(shù)以及蜻蜓與蟬的個(gè)數(shù)和 由于翅膀只有蜻蜓和蟬擁有 再次利用例 1 的思路 針對(duì)翅膀這一數(shù)量關(guān)系 可以分別計(jì) 算出蜻蜓和蟬的個(gè)數(shù) 本題答案是蜘蛛 7 只 蜻蜓 9 只 蟬 5 只 具體過(guò)程此處不詳細(xì)列出 關(guān)于雞兔同籠的第一大類型題就講到這兒 接下來(lái)進(jìn)入第二大類型題 3 前文中結(jié)出的條件之一都是雞兔同籠中的總頭數(shù) 即前文中結(jié)出的條件之一都是雞兔同籠中的總頭數(shù) 即 兩數(shù)之和兩數(shù)之和 如果把條件換成 如果把條件換成 兩數(shù)之差兩數(shù)之差 又應(yīng)該怎樣去解呢 又應(yīng)該怎樣去解呢 例 7 雞兔共有 94 只腳 其中雞數(shù)比兔子數(shù)多 11 只 求問(wèn)雞兔各有多少只 1 去多法 去多法 如果抓出 11 只雞殺掉 則籠子里就剩下相同數(shù)量的雞和兔子 此時(shí) 籠子中雞和兔 的腳總量為 94 11 2 72 只 每一只雞和每一只兔子共有腳 4 2 6 只 這時(shí)候 將一只雞和一只兔子看做一組 一組共有 6 只腳 則抓出雞后 籠子里剩余 的雞與兔的組數(shù)分別為 72 6 12 組 那么可知兔子有 12 只 再通過(guò)計(jì)算得出雞的數(shù)量為 12 11 23 只 2 同增同減法 同增同減法 假設(shè)籠子里有兔子 1 只 則有雞 12 只 可以計(jì)算出 1 只兔子和 12 只雞共有腳的數(shù)量 為 1 4 12 2 28 只 比實(shí)際的 94 只少 94 28 66 只 因此還要增加兔子的數(shù)量 為了保持雞比兔子多 11 只 每增加 1 只兔子 就要增加 1 只雞 8 因此需要同時(shí)增加的腿數(shù)為 4 2 6 只 因此增加 66 只腳則需要增加的雞和兔子的數(shù)量為 66 6 11 只 根據(jù)前文的假設(shè)條件可計(jì)算出兔子的數(shù)量為 1 11 12 只 雞的數(shù)量為 12 11 23 只 例 8 古詩(shī)中 五言絕句是四句詩(shī) 每句都是五個(gè)字 七言絕句是四句詩(shī) 每句都是七 個(gè)字 一本詩(shī)選集中五言絕句比七言絕句多 3 首 詩(shī)集中共有數(shù)字 300 個(gè) 問(wèn)兩種類型的 詩(shī)各多少首 這道題與例 7 完全一致 只不過(guò)七言絕句對(duì)應(yīng)兔 五言絕句對(duì)應(yīng)雞 多的 13 首詩(shī)對(duì) 應(yīng)多的 11 只 因此 可以按照上述兩種思路進(jìn)行計(jì)算 如果去掉 3 首五言絕句 兩種類型的詩(shī)的數(shù)量就相等 此時(shí)去掉的字?jǐn)?shù)為 應(yīng)注意一 道詩(shī) 4 句 3 5 4 60 個(gè) 此時(shí)仍有字?jǐn)?shù)為 300 60 240 個(gè) 1 首五言和 1 首七言絕句的字?jǐn)?shù)和為 5 4 7 4 48 個(gè) 則去掉 3 首五言絕句后 仍有五言和七言絕句的數(shù)量為 240 48 5 首 從而得出七言絕句有 5 首 而計(jì)算出五言絕句共有 5 3 8 首 此外還可以按照例 7 的方法 2 完成這道題 假設(shè)七言絕句有 1 道 則五言絕句有 4 首 如此類推 此處不再說(shuō)述 例 9 在例 8 的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改 假設(shè)在這一詩(shī)選集中五言絕句比七言絕句多 13 首 總字?jǐn)?shù)卻反而少了 20 個(gè)字 問(wèn)兩種詩(shī)各多少首 1 如果去掉 13 首五言絕句 兩種類型的詩(shī)的首數(shù)就相等 在相同數(shù)量下 七言絕句比五言絕句多出的字?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為 五言絕句原本就差 20 再減 少了 13 首五言絕句 13 5 4 20 280 個(gè) 每首七言絕句比每首五言絕句多出的字?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為 7 4 5 4 8 個(gè) 因此 七言絕 句的數(shù)量為 280 8 35 首 則五言絕句有 35 13 48 首 2 假設(shè)七言絕句是 1 首 那么根據(jù)相差 13 首 五言絕句是 14 首 那么五言絕句的字?jǐn)?shù)為 20 14 280 個(gè) 七言絕句的字?jǐn)?shù)為 28 1 28 個(gè) 假設(shè)情況下 五言絕句的字?jǐn)?shù)反而多 280 28 252 個(gè) 為實(shí)現(xiàn)題目中 五言絕句比七言絕句少 20 字 需要增加詩(shī)的數(shù)量 其中每增加一首 七言絕句比五言絕句多增加字?jǐn)?shù) 252 20 272 個(gè) 為了保持相差 13 首 增加一首五言絕句 也要增一首七言絕句 即增加一首 七言 比五言多增加字?jǐn)?shù)數(shù)量為 7 4 5 4 8 個(gè) 因此七言絕句和五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加