2014年高考浙江理科數(shù)學(xué)試題及答案

2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（1）【2014年浙江，理1，5分】設(shè)全集，集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故選B【點(diǎn)評】本題主要考查全集、補(bǔ)集的定義，求集合的補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題（2）【2014年浙江，理2，5分】已知是虛數(shù)單位，則“”是“”的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，反之，即，則，解得 或，故選A【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是充要條件的定義，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（3）【2014年浙江，理3，5分】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是（ ）（A）90 （B）129 （C）132 （D）138【答案】D【解析】由三視圖可知直觀圖左邊一個橫放的三棱柱右側(cè)一個長方體，故幾何體的表面積為：，故選D【點(diǎn)評】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵（4）【2014年浙江，理4，5分】為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（ ）（A）向右平移個單位 （B）向左平移個單位 （C）向右平移個單位 （D）向左平移個單位【答案】C【解析】，而=，由，即，故只需將的圖象向右平移個單位，故選C【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的平移變換的應(yīng)用，基本知識的考查（5）【2014年浙江，理5，5分】在的展開式中,記項(xiàng)的系數(shù)，則=（ ）（A）45 （B）60 （C）120 （D）210【答案】C【解析】令，由題意知即為展開式中的系數(shù)，故=，故選C【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計算能力（6）【2014年浙江，理6，5分】已知函數(shù) ，且（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由得，解得，所以，由，得，即，故選C【點(diǎn)評】本題考查方程組的解法及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題（7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，的圖像可能是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】函數(shù)，分別的冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)答案A中沒有冪函數(shù)的圖像, 不符合；答案B中，中，中，不符合；答案C中，中，中，不符合；答案D中，中，中，符合，故選D【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象，熟練掌握對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵（8）【2014年浙江，理8，5分】記，設(shè)為平面向量，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由向量運(yùn)算的平行四邊形法可知與的大小不確定，平行四邊形法可知所對的角大于或等于 ，由余弦定理知，（或），故選D【點(diǎn)評】本題在處理時要結(jié)合著向量加減法的幾何意義，將，放在同一個平行四邊形中進(jìn)行比較判斷，在具體解題時，本題采用了排除法，對錯誤選項(xiàng)進(jìn)行舉反例說明，這是高考中做選擇題的常用方法，也不失為一種快速有效的方法，在高考選擇題的處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對選擇題的特點(diǎn)，有時“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有效的方法（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個籃球，從乙盒中隨機(jī)抽取個球放入甲盒中（a）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為；（b）放入個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一： ，=，=，故又，又，=，所以，故選A解法二：在解法一中取，計算后再比較，故選A【點(diǎn)評】正確理解的含義是解決本題的關(guān)鍵此題也可以采用特殊值法，不妨令，也可以很快求解（10）【2014年浙江，理10，5分】設(shè)函數(shù)，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】解法一：由，故，由，故，=，故，故選B解法二：估算法：的幾何意義為將區(qū)間等分為99個小區(qū)間，每個小區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值之差的絕對值之和如圖為將函數(shù)的區(qū)間等分為4個小區(qū)間的情形，因 在上遞增，此時 =，同理對題中給出的，同樣有；而略小于，略小于，所以估算得，故選B【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出這三個數(shù)與1的關(guān)系，屬于難題第卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分 （11）【2014年浙江，理11，5分】若某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入50時，則該程序運(yùn)算后輸出的結(jié)果是 【答案】6【解析】第一次運(yùn)行結(jié)果；第二次運(yùn)行結(jié)果；第三次運(yùn)行結(jié)果；第四次運(yùn)行結(jié)果；第五次運(yùn)行結(jié)果；此時，輸出【點(diǎn)評】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序是解答此類問題的常用方 法（12）【2014年浙江，理12，5分】隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若，則= 012【答案】【解析】設(shè)時的概率為，的分布列為：由 ，解得 012的分布列為即為故【點(diǎn)評】本題綜合考查了分布列的性質(zhì)以及期望、方差的計算公式（13）【2014年浙江，理13，5分】當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 _【答案】【解析】解法一：作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由恒成立，故，三點(diǎn)坐標(biāo)代入，均成立得 解得 ，實(shí)數(shù)的取值范圍是解法二：作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由得，由圖分析可知，且在點(diǎn)取得最小值，在取得最大值，故，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)評】本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式組得解法，是中檔題（14）【2014年浙江，理14，5分】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有 種（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】解法一：不同的獲獎分兩種，一是有一人獲兩張獎券，一人獲一張獎券，共有，二是有三人各獲得一張獎券，共有，因此不同的獲獎情況共有種解法二：將一、二、三等獎各1張分給4個人有種分法，其中三張獎券都分給一個人的有4種分法，因此不同的獲獎情況共有種【點(diǎn)評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題（15）【2014年浙江，理15，5分】設(shè)函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】由題意或，解得當(dāng)或，解得【點(diǎn)評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，其它不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題（16）【2014年浙江，理16，5分】設(shè)直線() 與雙曲線（）兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是 【答案】【解析】解法一：由雙曲線的方程可知，它的漸近線方程為和，分別與直線： 聯(lián)立方程組，解得，設(shè)中 點(diǎn)為，由 得，則，即，與已知直線垂直，即，即得，即，即，所以解法二：不妨設(shè)，漸近線方程為即，由消去，得，設(shè)中點(diǎn)為，由韋達(dá)定理得： ，又，由得，即得得代入得，得，所以，所以，得【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率，考查直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題（17）【2014年浙江，理17，5分】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射擊線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小若，則的最大值是 （仰角為直線與平面所成角）【答案】【解析】解法一：，過作，交于，1當(dāng)在線段上時，連接，則，設(shè)，則， （）由，得在直角中， ，令，則函數(shù)在 單調(diào)遞減，時，取得最大值為2當(dāng)在線段的延長線上時，連接，則，設(shè)，則，（）由，得，在直角中， 令，則，當(dāng)時；當(dāng)時，所以當(dāng)時，此時時，取得最大值為，綜合1，2可知取得最大值為解法二：如圖以為原點(diǎn)，、所在的直線分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，可設(shè)（其中），所以，設(shè)()，所以，當(dāng) 時；當(dāng)時，所以當(dāng)時，所以取得最大值為解法三：分析知，當(dāng)取得最大時，即最大，最大值即為平面與地面 所成的銳二面角的度量值，如圖，過在面內(nèi)作交于， 過作于，連，則即為平面與地面所成的二面角的平面角，的最大值即為，在中，由等面積法可得，所以【點(diǎn)評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題三、解答題：本大題共5題，共72分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 （18）【2014年浙江，理18，14分】在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，已知，（1）求角的大?。唬?）若 ，求的面積解：（1）由題得，即，由得，又 ，得，即，所以（2），得，由 得，從而，故=，所以，的面積為【點(diǎn)評】本題主要考查二倍角公式、兩角和差的三角公式、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題（19）【2014年浙江，理19，14分】已知數(shù)列和滿足若為等比數(shù)列，且（1）求與；（2）設(shè)記數(shù)列的前項(xiàng)和為 （）求；（）求正整數(shù)，使得對任意均有解：（1） ，當(dāng)，時，由知：當(dāng)時，令，則有，為等比數(shù)列，且，的公比為，則，由題意知，又由，得：，即，（2）（），= =（）因?yàn)?，；?dāng)時，而，得，所以，當(dāng)時，綜上，對任意恒有，故【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項(xiàng)求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項(xiàng)式定理，還可以用數(shù)學(xué)歸納法本題計算量較大，思維層次高，要求學(xué)生有較高的分析問題解決問題的能力本題屬于難題（20）【2014年浙江，理20，15分】如圖，在四棱錐中，平面平面，（1）證明：平面；（2）求二面角的大小解：（1）在直角梯形中，由，得，由， 得，即，又平面平面，從而平面，所以，又，從而平面 （2）解法一：作，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，連接，由（1）知，則，所以就是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，從而，由于平面，得在中，由，得；在中，由，得；在中，由，得，從而，在，中，利用余弦定理分別可得，在中，所以，即二面角的大小為 解法二：以的原點(diǎn)，分別以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，可算得：，由，即，可取，由即可取，于是由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角的大小為【點(diǎn)評】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力（21）【2014年浙江，理21，15分】如圖，設(shè)橢圓:動直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限（1）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為解：（1）解法一：設(shè)方程為，消去得：，由于直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為解法二：作變換，則橢圓：變?yōu)閳A：，切點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，切線（，變?yōu)樵趫A中設(shè)直線的方程為（），由，解得，即，由于，所以，得，即，代入得，即，利用逆變換代入即得：（2）由于直線過原點(diǎn)且與直線垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，整理得:，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線間的距離、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法、基本不等式應(yīng)用等綜合解題能力（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函數(shù)（1）若在上的最大值和最小值分別記為，求；（2）設(shè)若對恒成立，求的取值范圍解：（1），由于，（）當(dāng)時，有，故，所以，在上是增函數(shù)，因此，故（）當(dāng)時，若，在上是增函數(shù)；若，在上是減函數(shù)，由