數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵、特征

數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵 特征及其教學(xué)意蘊(yùn) 南京市瑞金北村小學(xué)仲廣群 課程標(biāo)準(zhǔn) 2011版 的亮點(diǎn) 雙基 變 四基 雙能 變 四能 課標(biāo)對數(shù)學(xué)基本思想的表述 數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的形成 發(fā)展和應(yīng)用的過程中 是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括 如抽象 分類 歸納 演繹 模型等 學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中 通過獨(dú)立思考 合作交流 逐步感悟數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)思想的含義 是可以從多方面解釋 一是推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生 發(fā)展的思想 二是在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的思想 三是聯(lián)合國教科文組織關(guān)于數(shù)學(xué)思想的刻畫 推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生 發(fā)展的思想 古巴比倫與埃及的數(shù)學(xué)是外國數(shù)學(xué)的兩大源流 數(shù)學(xué)教育也是如此 推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生 發(fā)展的思想 古希臘的數(shù)學(xué) 論其成就的不勝枚舉了 畢達(dá)哥拉斯對于數(shù)列的研究 畢達(dá)哥拉斯定理 不可公度比的發(fā)現(xiàn) 平面幾何的許多定理 厄里亞學(xué)派的四個關(guān)于運(yùn)動的駁論 柏拉圖學(xué)派對于立體幾何的研究 歐幾里得的 幾何原本 阿基米德關(guān)于面積和體積的研究 托勒密的三角術(shù)等等 三次數(shù)學(xué)危機(jī) 推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生 發(fā)展的思想 1 數(shù)學(xué)教育應(yīng)該首先滿足學(xué)生離校后參加生產(chǎn)及日常生活的基本數(shù)學(xué)需要 2 數(shù)學(xué)課程應(yīng)該隨著數(shù)學(xué)科學(xué)本身的不斷發(fā)展而不斷更新 3 數(shù)學(xué)教育應(yīng)培養(yǎng)勇于探索的精神和追求真理的理想 4 數(shù)學(xué)教育要讓學(xué)生得到美的享受 心靈的陶冶 數(shù)學(xué)與文學(xué)數(shù)學(xué)與音樂 繪畫數(shù)學(xué)與生物數(shù)學(xué)與軍事數(shù)學(xué)與人的培養(yǎng) 劉三姐與三個秀才的對歌 羅秀才 小小麻雀莫逞能 三百條狗四下分 一少三多要單數(shù) 看你怎么分得清 劉三姐 九十九條打獵去 九十九條看羊來 九十九條守門口 還有三條狗奴才 蘇東坡的 百鳥圖 歸來一只又一只 三四五六七八只 鳳凰何少鳥何多 啄盡人間千石食 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的思想 一流教師教智慧 二流教師教方法 三流教師教知識 分類 分類通常是揭示概念外延的一種邏輯方法 也就是以比較為基礎(chǔ) 按照事物間性質(zhì)的異同 將相同性質(zhì)的對象歸入一類 不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的過程 轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化又稱為化歸 就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思 其基本思想是 把有待解決的問題 通過轉(zhuǎn)化的手段 歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較容易解決的問題 并通過對后者的解決實(shí)現(xiàn)對前者的解決 數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家的故事 數(shù)學(xué)家問物理學(xué)家 假如你有一個空水壺和一個沒點(diǎn)火的爐子 你要怎樣燒開水呢 物理學(xué)家說 我把壺灌滿水 把爐子點(diǎn)著 再把壺放到爐子上 數(shù)學(xué)家接著說 答對了 但是假如原來壺里已經(jīng)灌滿了水 爐子也點(diǎn)著了 你又如何燒開水呢 物理學(xué)家說 那不是更簡單了嗎 我只要把水壺放到爐子上就好了 數(shù)學(xué)家嘆口氣說 錯了 錯了 你應(yīng)該把水倒掉 把爐火熄滅 那樣你就把這個新問題轉(zhuǎn)化到原來的老問題了 數(shù)形結(jié)合的思想 數(shù) 和 形 是數(shù)學(xué)研究的兩個基本對象 數(shù) 構(gòu)成了數(shù)學(xué)的抽象化語言 形 構(gòu)成了數(shù)學(xué)的直觀化圖形語言 由于兩者各有優(yōu)勢 所以人們經(jīng)常把兩者結(jié)合起來 通過 以形助數(shù) 或 以數(shù)解形 使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象和諧統(tǒng)一 從而使問題得到有效解決 類比 關(guān)注兩個對象在某些方面的相同或相似之處 從而推測它們在其他方面也可能存在相同或相似之處 抽象 亞里士多德 數(shù)學(xué)家用抽象的方法進(jìn)行思考 去掉事物中那些感性的東西 對于數(shù)學(xué)而言 點(diǎn) 線 角或是其他量的定義 不是作為存在而是作為關(guān)系 抽象 對于抽象 在數(shù)學(xué)上只有兩種 一種是數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象 一種是圖形與圖形關(guān)系的抽象 所以 數(shù)學(xué)本質(zhì)上研究這兩種關(guān)系的抽象 抽象 抽象可分為兩個層次 第一個層次叫直觀描述 第二個層次叫符號表達(dá) 抽象 以 認(rèn)識分?jǐn)?shù) 教學(xué)為例 抽象 抽象是數(shù)學(xué)活動中最為基本的思維方法 也是數(shù)學(xué)化活動的一般思想方法 指人們在對客觀事物的屬性和特點(diǎn)進(jìn)行分析 比較和綜合的基礎(chǔ)上 舍棄其非本質(zhì)的屬性 而抽取其本質(zhì)屬性的思維過程 是人們用來接近事物本質(zhì)和形成概念的思維方法 推理 推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷之間的思維過程 推理 推理的上一個層次 叫思維 思維有三種形式 形象思維 邏輯思維 辯證思維 這三種思維中 數(shù)學(xué)只用一種 邏輯思維 與邏輯思維所對應(yīng)的是邏輯推理 推理 從一系列具體事實(shí)概括出一般原理的過程 稱為歸納推理 從普遍性結(jié)論或一般性前提出發(fā) 推出個別或特殊結(jié)論的過程 稱之為演繹推理 歸納推理 有8個男生在跳繩 7個女生在跳繩 還有12個女生在踢毽子 求跳繩和踢毽子的一共有多少人 演繹推理 當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了 a b c a b c 以后 要求學(xué)生應(yīng)用加法結(jié)合律進(jìn)行27 48 52的簡便計算時 學(xué)生根據(jù)已經(jīng)獲得的定義 定律 公式等 去解決一個個具體的問題 這便是一個演繹的過程 使得抽象的數(shù)學(xué)概念 規(guī)律和原理具體化 從而促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的理解和掌握 發(fā)展推理能力和思維能力 歸納推理和演繹推理的教育價值并不相同 因?yàn)闅w納是被看做數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中的一種特別重要的方法 而演繹推理雖然 也是必要的 但這種推理不能用于發(fā)現(xiàn)新命題 多年來 我國基礎(chǔ)教育重在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)上 而弱于歸納能力的訓(xùn)練 給創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)帶來了嚴(yán)重的障礙 所以 我們應(yīng)更為關(guān)注對學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng) 模型 模型思想是指用數(shù)學(xué)模型方法處理和解決實(shí)際問題的一種思想 數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁 通俗地表達(dá) 數(shù)學(xué)模型是借助數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)生活的故事 就小學(xué)階段而言 主要有兩種模型 一個是部分量 部分量 總量 還有一個是每份數(shù) 份數(shù) 總數(shù) 西安的大雁塔高64米 比小雁塔高度的2倍少22米 小雁塔高多少米 ax b c 第一 為什么我們每天與數(shù)學(xué)思想打交道 但我們卻處于無意識狀態(tài)呢 第二 既然數(shù)學(xué)思想本身就蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)活動中 我們是不是不必專門加以關(guān)注 是否關(guān)注數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué) 其本質(zhì)區(qū)別在哪里呢 數(shù)學(xué)基本思想的特性 內(nèi)隱性概括性層次性 層次性 數(shù)學(xué)觀念數(shù)學(xué)思想解題通法解題術(shù) 數(shù)學(xué)觀念 自我意識整體意識推理意識運(yùn)動與變化意識本質(zhì)地看問題的意識用數(shù)學(xué)的意識審美意識等 數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué)價值 首先 重視數(shù)學(xué)思想方法有助于學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識 其次 重視數(shù)學(xué)思想有助于促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 再次 重視數(shù)學(xué)思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 讓學(xué)生終身受益 工程師 物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家怎么處理問題 一位農(nóng)夫請了工程師 物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來 想用最少的籬笆圍出最大的面積 工程師用籬笆圍出了一個圓 宣稱這是最優(yōu)設(shè)計 物理學(xué)家將籬笆拉開成一條長長的直線 假如籬笆是無限長的 認(rèn)為圍起來半個地球總夠大的了 數(shù)學(xué)家好好嘲笑了他們一番 他用很少的籬笆把自己圍了起來 然后說 我現(xiàn)在是站在外面 天文學(xué)家 物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家會怎么表達(dá)觀點(diǎn) 天文學(xué)家 物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家坐著火車在蘇格蘭的大地上奔馳 他們往外眺望 看到田野里有一只黑色的羊 天文學(xué)家說 多么有趣 所有的蘇格蘭羊都是黑色的 物理學(xué)家反駁道 不 某些蘇格蘭羊是黑色的 數(shù)學(xué)家慢條斯理地說 在蘇格蘭至少存在著一塊田地 至少有一只羊 這只羊至少有一側(cè)是黑色的 聯(lián)合國教科文組織關(guān)于數(shù)學(xué)思想的刻畫抽象 推理 模型 抽象 從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題的發(fā)展 推理 從數(shù)學(xué)問題到數(shù)學(xué)理論的發(fā)展 模型 多級抽象與推理的結(jié)果 三者之間是先后關(guān)聯(lián)