定解問題復(fù)習(xí)ppt課件.ppt

第八講定解問題復(fù)習(xí) 定解問題的導(dǎo)出及解決 李小燕 1 泛定方程 定解問題 演化方程 穩(wěn)定方程 線性邊界條件 自然邊界條件 初始狀態(tài) 初始速度 波動(dòng)方程 輸運(yùn)方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一類 第二類 周期性 有界性 第三類 定解條件 邊界條件 初始條件 2 定解問題的導(dǎo)出步驟 確定物理量 速度 位移 研究鄰近點(diǎn)的相互作用 抓主要矛盾 忽略次要矛盾 短時(shí)間內(nèi)這種相互作用對(duì)所研究物理量的影響將這種影響用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)出來(lái) 并簡(jiǎn)化整理 數(shù)學(xué)物理方程 3 定解條件 引入定解條件的必要性 從物理多角度看 物理方程僅能表示一般性 要個(gè)性化物體的運(yùn)動(dòng)需要附加條件 從數(shù)學(xué)上看 微分方程的解的任意性也需要附加條件來(lái)確定 這些附加的條件就是初始條件和邊界條件 統(tǒng)稱為定解條件 初始條件 能夠用來(lái)說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件 邊界條件 能夠用來(lái)說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件 4 初始時(shí)刻的溫度分布 B 熱傳導(dǎo)方程的初始條件 C 泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件 不含初始條件 只含邊界條件條件 A 波動(dòng)方程的初始條件 1 初始條件 描述系統(tǒng)的初始狀態(tài) 系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度 稱物理過程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為初始條件 初始條件應(yīng)該完全描寫初始時(shí)刻 t 0時(shí) 介質(zhì)內(nèi)部及邊界上任意一點(diǎn)的狀況 初始條件的個(gè)數(shù) 等于方程中關(guān)于時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù) 5 2 自由端 x a端既不固定 又不受位移方向力的作用 2 邊界條件 描述系統(tǒng)在邊界上的狀況 A 波動(dòng)方程的邊界條件 1 固定端 對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng) 其為 或 3 彈性支承端 在x a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧的支承 或 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 6 B 熱傳導(dǎo)方程的邊界條件 1 給定溫度在邊界上的值 S為給定區(qū)域v的邊界 2 絕熱狀態(tài) 3 熱交換狀態(tài) 牛頓冷卻定律 單位時(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比 交換系數(shù) 周圍介質(zhì)的溫度 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 C 拉普拉斯方程的邊界條件 7 其他邊界條件 1 銜接條件背景 系統(tǒng)中出現(xiàn)跳躍點(diǎn) 研究方法 具體問題具體分析 在跳躍點(diǎn)處尋找連續(xù)條件 2 自然邊界條件邊界值為有限的 周期邊界條件 8 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法 二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 特征方程 特征根 9 1 有兩個(gè)不相等的實(shí)根 齊次方程的通解為 特征根為 2 有兩個(gè)相等的實(shí)根 特征根為 齊次方程的通解為 3 有一對(duì)共軛復(fù)根 特征根為 齊次方程的通解為 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解 10 齊次邊界條件齊次方程的解 偏微分方程 常微分方程1 初始條件 齊次邊界條件 常微分方程2 解1 解2 本征解解1 解2 通解 本征解 分離變量 確定疊加系數(shù) 11 k 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 12 k 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 13 k 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 14 用分離變量法求解定解問題的步驟 定解問題 選擇合適的坐標(biāo)系 邊界條件非齊次轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件 非齊次方程 齊次定解條件特征函數(shù)法 齊次方程 齊次邊界條件分離變量法 非齊次方程 齊次邊界條件 特解法 15 齊次邊界非齊次初始條件下非齊次方程的解法 16 齊次定解條件非齊次方程的解 17 齊次邊界非齊次初始條件非齊次方程的解 18 設(shè)定 19 泊松方程 特解法 待求 20 非齊次邊界條件的處理 一 一般處理方法 21 二 特殊處理方法 在圓形域求解 22 圓域內(nèi) 圓域外 23 長(zhǎng)為的桿 上端固定在電梯天花板 桿身豎直 下端自由 電梯下降 當(dāng)速度為時(shí)突然停止 求解桿的振動(dòng) 磁致伸縮換能器 魚群探測(cè)換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿 它作縱振動(dòng) 研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng) 即定解問題 研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題 初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度 另一端跟外界絕熱 桿上初始溫度為 試求無(wú)熱源時(shí)細(xì)桿上溫度的變化 長(zhǎng)為l 兩端固定的弦 在單位長(zhǎng)度上受橫向力g x sinwx的作用下做小振動(dòng) 已知弦的初始位移和速度分別為j x 和f x 求其橫振動(dòng)的規(guī)律 有一長(zhǎng)為l 側(cè)面絕熱而初始溫度為零度的均勻細(xì)桿 它的一端保持溫度始終為零度 而另一端溫度隨時(shí)間直線上升 求桿的溫度分布 1 2 3 4 5 24 長(zhǎng)為的桿 上端固定在電梯天花板 桿身豎直 下端自由 電梯下降 當(dāng)速度為時(shí)突然停止 求解桿的振動(dòng) 解 I II 25 26 磁致伸縮換能器 魚群探測(cè)換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿 它作縱振動(dòng) 研究?jī)啥俗杂砂舻淖杂煽v振動(dòng) 即定解問題 解 由邊界條件知特征值和特征函數(shù) 27 由初始條件得 把右邊的函數(shù)展成傅里葉余弦級(jí)數(shù) 比較兩邊的系數(shù) 得 由疊加原理 一般解為 28 解 桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件 研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題 初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度 另一端跟外界絕熱 桿上初始溫度為 試求無(wú)熱源時(shí)細(xì)桿上溫度的變化 于是得特征值和特征函數(shù)為 29 由疊加原理 得 確定系數(shù) 由初值條件知 于是 30 長(zhǎng)為l 兩端固定的弦 在單位長(zhǎng)度上受橫向力g x sinwx的作用下做小振動(dòng) 已知弦的初始位移和速度分別為j x 和f x 求其橫振動(dòng)的規(guī)律 令U x t v x t w x t 代入定解問題 定解問題 解 31 即 定解問題 定解問題 定解問題 的特解為 32 33 34 解 有一長(zhǎng)為l 側(cè)面絕熱而初始溫度為零度的均勻細(xì)桿 它的一端保持溫度始終為零度 而另一端溫度隨時(shí)間直線上升 求桿的溫度分布 令U x t v x t w x t 代入定解問題 設(shè)桿長(zhǎng)方向?yàn)閤軸 x l端保持溫度始終為零度 x 0端溫度隨時(shí)間直線上升 比例系數(shù)為常數(shù)c 則定解問題為 視v x t 為原方程的特解 考慮到非齊次邊界條件 取 35 將v x t 代入原定解問題的邊界條件 得 可知 原定解問題化為w x t 滿足的定解問題 邊界條件 初始條