高三數學一輪復習 第八章 立體幾何 第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質課件 理.ppt

理數課標版 第四節(jié)直線 平面垂直的判定與性質 1 直線與平面垂直 1 直線和平面垂直的定義直線l與平面 內的 任意一條直線都垂直 就說直線l與平面 互相垂直 2 直線與平面垂直的判定定理及性質定理 教材研讀 2 直線與平面所成的角 1 定義 平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角 叫做這條直線和這個平面所成的角 一條直線垂直于平面 就說它們所成的角是直角 一條直線和平面平行 或在平面內 就說它們所成的角是0 的角 如圖所示 pao就是斜線ap與平面 所成的角 2 線面角 的范圍 3 二面角的有關概念 1 二面角 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一點為端點 在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 4 平面與平面垂直的判定定理 1 2016浙江 2 5分 已知互相垂直的平面 交于直線l 若直線m n滿足m n 則 a m lb m nc n ld m n答案c對于a m與l可能平行或異面 故a錯 對于b d m與n可能平行 相交或異面 故b d錯 對于c 因為n l 所以n l 故c正確 故選c 2 已知直線a b和平面 且a b a 則b與 的位置關系為 a b b b c b 或b d b與 相交答案c由a b a 知b 或b 但直線b不與平面 相交 3 如圖 o為正方體abcd a1b1c1d1的底面abcd的中心 則下列直線中與b1o垂直的是 a a1db aa1c a1d1d a1c1答案d易知ac 平面bb1d1d a1c1 ac a1c1 平面bb1d1d 又b1o 平面bb1d1d a1c1 b1o 故選d 4 一平面垂直于另一平面的一條平行線 則這兩個平面的位置關系是 答案垂直解析由線面平行的性質定理知 若一直線平行于一平面 則該面內必有一直線與已知直線平行 再根據 兩平行線中一條垂直于一平面 另一條也垂直于該平面 得出結論 5 如圖 已知pa 平面abc bc ac 則圖中直角三角形的個數為 答案4解析題圖中直角三角形為 pac pab bcp bca 故直角三角形的個數為4 考點一直線與平面垂直的判定與性質典例1如圖 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中點 1 證明 cd ae 2 證明 pd 平面abe 考點突破 證明 1 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中點 ae pc 由 1 知 ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd ae pd pa 底面abcd pd在底面abcd內的射影是ad 又 ab ad ab pd 又ab ae a pd 平面abe 方法技巧證明直線與平面垂直的常用方法 1 利用線面垂直的判定定理 2 利用 兩平行線中的一條與一平面垂直 則另一條也與這個平面垂直 3 利用 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個 則該直線與另一個平面也垂直 4 利用面面垂直的性質定理 1 1s是rt abc所在平面外一點 且sa sb sc d為斜邊ac的中點 1 求證 sd 面abc 2 若ab bc 求證 bd 面sac 證明 1 如圖所示 取ab的中點e 連接se de 在rt abc中 d e分別為ac ab的中點 de bc de ab sa sb sab為等腰三角形 se ab 又se de e ab 面sde 又sd 面sde ab sd 在 sac中 sa sc d為ac的中點 sd ac 又ac ab a sd 面abc 2 由于ab bc 則bd ac 由 1 知 sd 面abc 又bd 面abc sd bd 又sd ac d bd 面sac 考點二平面與平面垂直的判定與性質典例2 2016天津 17改編 如圖 四邊形abcd是平行四邊形 平面aed 平面abcd ef ab ab 2 bc ef 1 bad 60 g為bc的中點 1 求證 fg 平面bed 2 求證 平面bed 平面aed 證明 1 取bd的中點o 連接oe og 在 bcd中 因為g是bc的中點 所以og dc且og dc 1 又因為ef ab ab dc ef 1 所以ef og且ef og 即四邊形ogfe是平行四邊形 所以fg oe 又fg 平面bed oe 平面bed 所以fg 平面bed 2 在 abd中 ad 1 ab 2 bad 60 由余弦定理可得bd 進而 adb 90 即bd ad 又因為平面aed 平面abcd bd 平面abcd 平面aed 平面abcd ad 所以bd 平面aed 又因為bd 平面bed 所以平面bed 平面aed 方法技巧面面垂直的證明方法 1 定義法 利用面面垂直的定義 即判定兩平面所成的二面角為直二面角 將證明面面垂直問題轉化為證明二面角的平面角為直角的問題 2 定理法 利用面面垂直的判定定理 即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線 進而把問題轉化成證明線線垂直加以解決 2 1如圖所示 在四棱錐p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等邊三角形 已知ad 4 bd 4 ab 2cd 8 1 設m是pc上的一點 證明 平面mbd 平面pad 2 求四棱錐p abcd的體積 解析 1 證明 在 abd中 ad 4 bd 4 ab 8 ad2 bd2 ab2 ad bd 又平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bd 平面abcd bd 平面pad 又bd 平面mbd 平面mbd 平面pad 2 過點p作po ad于o 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad po 平面abcd 即po為四棱錐p abcd的高 又 pad是邊長為4的等邊三角形 po 4 2 在rt adb中 斜邊ab上的高為 2 此即為梯形abcd的高 s梯形abcd 2 12 vp abcd 12 2 24 考點三平行與垂直的綜合問題命題角度一平行與垂直關系的證明典例3 2016江蘇 16 14分 如圖 在直三棱柱abc a1b1c1中 d e分別為ab bc的中點 點f在側棱b1b上 且b1d a1f a1c1 a1b1 求證 1 直線de 平面a1c1f 2 平面b1de 平面a1c1f 證明 1 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1c1 ac 在 abc中 因為d e分別為ab bc的中點 所以de ac 于是de a1c1 又因為de 平面a1c1f a1c1 平面a1c1f 所以直線de 平面a1c1f 2 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1a 平面a1b1c1 因為a1c1 平面a1b1c1 所以a1a a1c1 又因為a1c1 a1b1 a1a 平面abb1a1 a1b1 平面abb1a1 a1a a1b1 a1 所以a1c1 平面abb1a1 因為b1d 平面abb1a1 所以a1c1 b1d 又因為b1d a1f a1c1 平面a1c1f a1f 平面a1c1f a1c1 a1f a1 所以b1d 平面a1c1f 因為直線b1d 平面b1de 所以平面b1de 平面a1c1f 命題角度二平行與垂直關系中的探索性問題典例4如圖 在四棱錐s abcd中 底面abcd是矩形 ad 2ab sa sd sa ab n是棱ad的中點 1 求證 ab 平面scd 2 求證 sn 平面abcd 3 在棱sc上是否存在一點p 使得平面pbd 平面abcd 若存在 求出的值 若不存在 請說明理由 解析 1 證明 因為abcd是矩形 所以ab cd 又因為ab 平面scd cd 平面scd 所以ab 平面scd 2 證明 因為ab sa ab ad sa ad a 所以ab 平面sad 又因為sn 平面sad 所以ab sn 因為sa sd 且n為ad的中點 所以sn ad 又因為ab ad a 所以sn 平面abcd 3 在棱sc上存在一點p 使得平面pbd 平面abcd 理由 如圖 連接bd交nc于點f 在 snc中 過f作fp sn 交sc于點p 連接pb pd 因為sn 平面abcd 所以fp 平面abcd 又因為fp 平面pbd 所以平面pbd 平面abcd 在矩形abcd中 因為nd bc 且n為ad的中點 所以 在 snc中 因為fp sn 所以 所以在棱sc上存在一點p 使得平面pbd 平面abcd 此時 命題角度三平行與垂直關系中的折疊問題典例5 2016課標全國 19 12分 如圖 菱形abcd的對角線ac與bd交于點o 點e f分別在ad cd上 ae cf ef交bd于點h 將 def沿ef折到 d ef的位置 1 證明 ac hd 2 若ab 5 ac 6 ae od 2 求五棱錐d abcfe的體積 解析 1 證明 由已知得ac bd ad cd 又由ae cf得 故ac ef 2分 由此得ef hd ef hd 所以ac hd 4分 2 由ef ac得 5分 由ab 5 ac 6得do bo 4 所以oh 1 d h dh 3 于是od 2 oh2 2 2 12 9 d h2 故od oh 由 1 知ac hd 又ac bd bd hd h 所以ac 平面bhd 于是ac od 又由od oh ac oh o 所以od 平面abc 8分 又由 得ef 五邊形abcfe的面積s 6 8 3 10分 所以五棱錐d abcfe的體積v 2 12分 方法技巧平行與垂直的綜合應用問題的處理策略 1 探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明 探索點存在問題 點多為中點或三等分點中的某一個 也可以根據相似知識取點 2 折疊問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結合圖形弄清折疊前后變與不變的數量關系及位置關系 3 1如圖 在四棱錐p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分別是cd和pc的中點 求證 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 證明 1 因為平面pad 底面abcd 且pa垂直于這兩個平面的交線ad 所以pa 底面abcd 2 因為ab cd cd 2ab e為cd的中點 所以ab de 且ab de 所以四邊形abed為平行四邊形 所以be ad 又因為be 平面pad ad 平面pad 所以be 平面pad 3 因為ab ad 且四邊形abed為平行四邊形 所以be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd 所以pa cd 又pa ad a 所以cd 平面pad 所以cd pd 因為e和f分別是cd和pc的中點 所以pd ef 故cd ef 又因為ef 平面bef be 平面bef 且ef be e 所以cd 平面bef 又因為cd 平面pcd 所以平面bef 平面pcd 3 2如圖 在長方形abcd中 ab 2 bc 1 e為cd的中點 f為ae的中點 現在沿ae將三角形ade向上折起 在折起的圖形中解答下列問題 1 在線段ab上是否存在一點k 使bc 平面dfk 若存在 請證明你的結論 若不存在 請說明理由 2 若平面ade 平面abce 求證 平面bd