黑龍江省海林市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)課件2 新人教A版選修11.ppt

第二章圓錐曲線與方程 2 4拋物線2 4 2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1 掌握拋物線的圖形和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 2 能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)的問(wèn)題 新知視界1 拋物線的幾何性質(zhì) 2 焦半徑與焦點(diǎn)弦拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)f的連線的線段叫做焦半徑 過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所得弦叫做焦點(diǎn)弦 設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)p x0 y0 焦點(diǎn)弦端點(diǎn)a x1 y1 b x2 y2 則四種標(biāo)準(zhǔn)形式下的焦點(diǎn)弦 焦半徑公式為 嘗試應(yīng)用1 設(shè)點(diǎn)a為拋物線y2 4x上一點(diǎn) 點(diǎn)b 1 0 且ab 1 則點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為 a 2b 0c 2或0d 2或2 答案 b 2 直線y x 3與拋物線y2 4x交于a b兩點(diǎn) 過(guò)a b兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線 垂足分別為p q 則梯形apqb的面積為 a 48b 56c 64d 72 答案 a 3 過(guò)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于p x1 y1 q x2 y2 兩點(diǎn) 若x1 x2 3p 則 pq 等于 a 4pb 5pc 6pd 8p 答案 a 4 拋物線y2 16x上一點(diǎn)p到x軸的距離為12 則點(diǎn)p與焦點(diǎn)f的距離 pf 答案 13 5 求拋物線x2 y上到直線2x y 4 0的距離最小時(shí)的點(diǎn)p的坐標(biāo) 典例精析類型一拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 例1 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸重合于橢圓9x2 4y2 36短軸所在的直線 拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3 求拋物線的方程 分析 先確定拋物線方程的形式 再依條件求待定參數(shù) 點(diǎn)評(píng) 1 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸為x軸時(shí)的拋物線方程可設(shè)為y2 ax a 0 當(dāng)a 0時(shí) 拋物線開(kāi)口向右 當(dāng)a0時(shí) 拋物線開(kāi)口向上 當(dāng)a 0時(shí) 拋物線開(kāi)口向下 遷移體驗(yàn)1已知拋物線的焦點(diǎn)f在x軸上 直線l過(guò)f且垂直于x軸 l與拋物線交于a b兩點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn) 若 oab的面積等于4 求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 點(diǎn)評(píng) 過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題是拋物線中常見(jiàn)問(wèn)題 解決此類問(wèn)題 通常有三種解法 1 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式 2 兩點(diǎn)間距離公式 3 弦長(zhǎng)公式 其中焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式是此類問(wèn)題的最直接解法 聯(lián)立方程 利用根與系數(shù)關(guān)系 可直接求解 省略了求兩交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程 簡(jiǎn)便易行 但解題時(shí)應(yīng)注意直線與拋物線相交這一前提 可以使運(yùn)算 化簡(jiǎn)簡(jiǎn)便 另外解題時(shí)注意整體代入的思想 遷移體驗(yàn)2過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于a x1 y1 b x2 y2 兩點(diǎn) 如果x1 x2 6 那么 ab 等于 a 8b 10c 6d 4解析 由ab過(guò)拋物線焦點(diǎn)且p 2 ab x1 x2 p 6 2 8 答案 a 類型三直線與拋物線的位置關(guān)系 例3 已知頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在y軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)p 2 1 1 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 過(guò)點(diǎn)p作直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 求直線l的方程 3 過(guò)點(diǎn)q 1 1 作直線交拋物線于a b兩點(diǎn) 使得q恰好平分線段ab 求直線ab的方程 分析 1 由已知設(shè)出拋物線方程代入點(diǎn)可求 2 討論斜率是否存在 當(dāng)斜率存在時(shí) 可利用點(diǎn)斜式設(shè)方程 聯(lián)立方程求解 3 聯(lián)立方程 利用根與系數(shù)的關(guān)系求解 也可用平方差法求斜率而后求解 解 1 由題意設(shè)拋物線方程為x2 my 由拋物線過(guò)點(diǎn)p 2 1 故22 m 1 得m 4 故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 4y 即x2 4kx 8k 4 0令 0即16k2 4 8k 4 0即k2 2k 1 0 故 k 1 2 0 k 1 此時(shí)l的方程為y x 1即x y 1 0 由 得 l的方程為x 2或x y 1 0 點(diǎn)評(píng) 判斷直線與拋物線的位置關(guān)系 要結(jié)合圖象加以判斷 即注意數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用 同時(shí)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn) 并不一定相切 相切必定有一個(gè)公共點(diǎn) 另外在用 點(diǎn)斜式 或 斜截式 設(shè)直線方程時(shí) 一定要判斷直線斜率是否存在 若不能判斷則必須分情況討論來(lái)解決 遷移體驗(yàn)3 1 直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直接與拋物線相切的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 2 過(guò)點(diǎn) 1 1 且與拋物線y2 4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 a 0條b 1條c 2條d 3條 解析 1 直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)不一定相切 當(dāng)直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí) 有一個(gè)公共點(diǎn)但此時(shí)不相切 反之 相切必定有一個(gè)公共點(diǎn) 2 如圖5 過(guò) 1 1 有兩條切線 還有一條與x軸平行的直線與拋物線y2 4x共有一個(gè)公共點(diǎn) 所以共3條 答案 1 b 2 d 類型四拋物線的最值與定值問(wèn)題 例4 如圖6 已知 aob的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y2 2x的頂點(diǎn)o a b兩點(diǎn)都在拋物線上 且 aob 90 1 證明直線ab必過(guò)一定點(diǎn) 2 求 aob面積的最小值 點(diǎn)評(píng) 1 對(duì)拋物線中的定點(diǎn) 定值問(wèn)題 往往采用設(shè)而不求的方法 即方程中含有參數(shù) 不論怎樣變化 某直線過(guò)定點(diǎn) 代數(shù)式恒為某常數(shù) 2 解決有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題 一種思路是合理轉(zhuǎn)化 用幾何法求解 另一種思路是代數(shù)法 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值 遷移體驗(yàn)4如圖7所示 已知直線l y 2x 4與拋物線y2 4x交于a b兩點(diǎn) 試在拋物線的弧aob上找一點(diǎn)p 使 pab的面積s最大 并求出這個(gè)最大面積 思悟升華1 拋物線與橢圓 雙曲線幾何性質(zhì)的區(qū)別 1 拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi) 雖然它可以無(wú)限延伸 但它沒(méi)有漸近線 2 拋物線只有一條對(duì)稱軸 沒(méi)有對(duì)稱中心 3 拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn) 一條準(zhǔn)線 4 拋物線的離心率是唯一的 e 1 2 拋物線的開(kāi)口大小與參數(shù)p的關(guān)系參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 由方程y2 2px知 對(duì)于同一個(gè)x的值 p越大 y 的值也越大 或者說(shuō)拋物線開(kāi)口也越大 所以可以說(shuō)一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值越大 拋物線的開(kāi)口越大 3 拋物線與雙曲線都是 開(kāi)放型 曲線 不能把拋物線看作雙曲線的一支當(dāng)拋物線上的點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí) 拋物線在這一點(diǎn)切線的斜率接近于對(duì)稱軸所在的直線的斜率 也就是說(shuō)無(wú)窮遠(yuǎn)處拋物線接近于和它的對(duì)稱軸平行 而雙曲線上的點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí) 雙曲線在這一點(diǎn)的切線的斜率接近于其漸近線的斜率 1 若a 0 可根據(jù)判別式來(lái)確定 當(dāng) 0時(shí) 直線與拋物線相交 有兩個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí) 直線與拋物