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平面向量數量積的物理背景及其含義教案授課教師：寧夏銀川唐徠回民中學 馬海軍課題：2.4.1 平面向量數量積的物理背景及其含義 教材：普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）數學必修4一、教學目標1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義；2、體會平面向量的數量積與向量投影的關系，理解掌握數量積的性質和運算律，并能運用性質和運算律進行相關的判斷和運算；3、體會類比的數學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。二、教學重、難點教學重點：1、平面向量數量積的含義與物理意義 2、性質與運算律及其應用教學難點：1、平面向量數量積的概念 2、 平面向量數量積的運算律（2）、（3）的證明三、教學過程活動一：創(chuàng)設問題情景，引出新課1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？期望學生回答：向量的加法、減法及數乘運算。 2、提出問題2：請同學們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？期望學生回答：物理模型概念性質運算律應用3、新課引入：本節(jié)課我們仍然按照這種研究思路來研究向量的另外一種運算：平面向量數量積的物理背景及其含義 活動二：探究數量積的概念SF1、給出有關材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）這個公式的有什么特點？請完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數量積的定義（1） 數量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數量 bcos叫做與的數量積（或內積），記作：，即：= cos（2）定義說明：記法“”中間的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數量積為零。3、提出問題4：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小的因素有哪些？ 期望學生回答：線性運算的結果是向量，而數量積的結果則是數，這個數值的大小不僅和向量與的模有關，還和它們的夾角有關。4、學生討論，并完成下表：的范圍090=9000的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：當0時，向量與，與的方向的關系如何？此時，向量與及與的夾角與向量與的夾角相等嗎？5、師生活動：證明運算律（3）活動五：應用與提高1、學生獨立完成：已知=5,=4, 與的夾角=120，求2、師生共同完成：已知=6，=4, 與的夾角為60，求（+2 ）（-3），并思考此運算過程類似于哪種實數運算？3、學生獨立完成：對任意向量 ，b是否有以下結論：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 224、師生共同完成：已知=3，=4, 且 與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？并討論：通過本題，你有什么體會？5、反饋練習1、判斷下列各題正確與否：、若0，則對任一非零向量，有0、若0，則2、已知ABC中，=, =，當 0或0時，試判斷ABC的形狀。活動六：小結1、本節(jié)課我們學習的主要內容是什么？2、平面向量的數量積有哪些應用？3、本節(jié)課主要采用了什么研究方法？4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數量積？布置作業(yè)： 1、課本P121習題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高：已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直，-4與 7-2垂直，求與的夾角。（本題供學有余力的同學選做）教學設計說明 平面向量的數量積是一種非常重要的運算，同其線性運算一樣，既有其深刻的數學背景，也有其現實的物理背景。本節(jié)課從總體上說是一節(jié)概念教學，依據數學課程改革應關注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，在數量積概念的引入過程中，我從數學和物理兩個角度創(chuàng)設問題情景，使學生明白研究這種運算不僅是數學本身發(fā)展的必然，更是研究客觀世界的需要，從而產生強烈的求知欲望。相對于線性運算而言，數量積的結果發(fā)生了本質的變化，為了讓學生理解這一點，我首先安排讓學生討論影響數量積結果的因素并完成表格，其次將數量積的幾何意義提前，這樣使學生從代數和幾何兩個方面對數量積的“質變”特征有了更加充分的認識。通過嘗試練習，一方面使學生嘗試計算數量積，另一方面使學生理解數量積的物理意義，同時也為數量積的性質埋下伏筆。數量積的性質和運算律是數量積概念的延伸，教材中這兩方面的內容都是以探究的形式出現，為了讓學生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創(chuàng)設一定的情景，讓學生去發(fā)現結論，教師明晰后，再由學生或師生共同完成證明。比如數量積的運算性質是將嘗試練習的結論推廣得到，數量積的運算律則是通過和實數乘法相類比得到，這樣不僅使學生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質和類比創(chuàng)新的意識。在應用這個環(huán)節(jié)中，對教材中提供的四個例題，我重點講解例2和例4，例1和例3則由學生獨立完成，這樣既加強了學生的練習，同時也便于通過觀察、問答等方式對學生的掌握情況做出適當的評