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32.1復(fù)數(shù)的加法與減法明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義,能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題1復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則(1)設(shè)z1abi,z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),則z1z2(ac)(bd)i,z1z2(ac)(bd)i.(2)對(duì)任意z1,z2,z3C,有z1z2z2z1,(z1z2)z3z1(z2z3)2復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖:設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)向量分別為1,2,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,則與z1z2對(duì)應(yīng)的向量是,與z1z2對(duì)應(yīng)的向量是.情境導(dǎo)學(xué)我們學(xué)習(xí)過(guò)實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算,復(fù)數(shù)如何進(jìn)行加減運(yùn)算?我們知道向量加法的幾何意義,那么復(fù)數(shù)加法的幾何意義是什么呢?探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算思考1我們規(guī)定復(fù)數(shù)的加法法則如下:設(shè)z1abi,z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的和是個(gè)什么數(shù),它的值唯一確定嗎?答仍然是個(gè)復(fù)數(shù),且是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)思考2復(fù)數(shù)加法的實(shí)質(zhì)是什么?類(lèi)似于實(shí)數(shù)的哪種運(yùn)算方法?類(lèi)比于復(fù)數(shù)的加法法則,試著給出復(fù)數(shù)的減法法則答實(shí)質(zhì)是實(shí)部與實(shí)部相加,虛部與虛部相加,類(lèi)似于實(shí)數(shù)運(yùn)算中的合并同類(lèi)項(xiàng)(abi)(cdi)(ac)(bd)i.思考3實(shí)數(shù)的加法有交換律、結(jié)合律,復(fù)數(shù)的加法滿足這些運(yùn)算律嗎?并試著證明答滿足,對(duì)任意的z1,z2,z3C,有交換律:z1z2z2z1.結(jié)合律:(z1z2)z3z1(z2z3)證明:設(shè)z1abi,z2cdi,z1z2(ac)(bd)i,z2z1(ca)(db)i,顯然,z1z2z2z1,同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)例1計(jì)算:(1)(12i)(2i)(2i)(12i);(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式(1221)(2112)i2.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算,就是實(shí)部與實(shí)部相加減做實(shí)部,虛部與虛部相加減作虛部,同時(shí)也把i看作字母,類(lèi)比多項(xiàng)式加減中的合并同類(lèi)項(xiàng)跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算:(1)2i(32i)3(13i);(2)(a2bi)(3a4bi)5i(a,bR)解(1)原式2i(32i39i)2i11i9i.(2)原式2a6bi5i2a(6b5)i.探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng),你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎?答如圖,設(shè),分別與復(fù)數(shù)abi,cdi對(duì)應(yīng),則有(a,b),(c,d),由向量加法的幾何意義(ac,bd),所以與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng),復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量?答z1z2可以看作z1(z2)因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖)圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2,則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1z2.例2如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別表示0,32i,24i.求:(1)表示的復(fù)數(shù);(2)表示的復(fù)數(shù);(3)表示的復(fù)數(shù)解(1)因?yàn)?,所以表示的?fù)數(shù)為32i.(2)因?yàn)?,所以表示的?fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)因?yàn)?,所以表示的?fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的運(yùn)用跟蹤訓(xùn)練2復(fù)數(shù)z112i,z22i,z312i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn),求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2,z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為xyi(x,yR),如圖則(xyi)(12i)(x1)(y2)i,(12i)(2i)13i.,(x1)(y2)i13i.,解得,故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i.探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用例3已知|z1|z2|z1z2|1,求|z1z2|.解方法一設(shè)z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),|z1|z2|z1z2|1,a2b2c2d21,(ac)2(bd)21由得2ac2bd1,|z1z2|.方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),z1,z2,z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.|z1|z2|z1z2|1,OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形,四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60,邊長(zhǎng)為1的菱形,且|z1z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng),|z1z2|.反思與感悟(1)設(shè)出復(fù)數(shù)zxyi(x,yR),利用復(fù)數(shù)相等或模的概念,可把條件轉(zhuǎn)化為x,y滿足的關(guān)系式,利用方程思想求解,這是本章“復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化”思想的應(yīng)用(2)在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,B,z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則四邊形OACB為平行四邊形;若|z1z2|z1z2|,則四邊形OACB為矩形;若|z1|z2|,則四邊形OACB為菱形;若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|,則四邊形OACB為正方形跟蹤訓(xùn)練3例3中,若條件變成|z1|z2|1,|z1z2|.求|z1z2|.解由|z1|z2|1,|z1z2|,知z1,z2,z1z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形的三個(gè)頂點(diǎn),所求|z1z2|是這個(gè)正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng),所以|z1z2|.1復(fù)數(shù)z12i,z22i,則z1z2等于()A0 B.iC.i D.i答案C解析z1z2(2)(2)ii.2若z32i4i,則z等于()A1i B13iC1i D13i答案B解析z4i(32i)13i.3在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),表示的復(fù)數(shù)分別為2i,32i,15i,則表示的復(fù)數(shù)為()A28i B66iC44i D42i答案C解析()44i.4若|z1|z1|,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A實(shí)軸上 B虛軸上C第一象限 D第二象限答案B解析|z1|z1|,點(diǎn)Z到(1,0)和(1,0)的距離相等,即點(diǎn)Z在以(1,0)和(1,0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上5已知復(fù)數(shù)z1(a22)(a4)i,z2a(a22)i(aR),且z1z2為純虛
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