中考數(shù)學(xué)壓軸題精解.doc

2013年中考數(shù)學(xué)壓軸題精解1（13常州28題）如圖,拋物線與x軸分別相交于點B、O,它的頂點為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點O,得到直線l,設(shè)P是直線l上一動點.(1) 求點A的坐標;(2) 以點A、B、O、P為頂點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標;(3) 設(shè)以點A、B、O、P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當時,求x的取值范圍. 解：（1），1分A(2，4) . 2分 （2）四邊形ABP1O為菱形時，P1（2，4）； 四邊形AB O P2為等腰梯形時，P2(，)； 四邊形AB P3O為直角梯形時，P3 (，)；四邊形ABO P4為直角梯形時，P4 (，)6分注：正確寫出一個點的坐標，得1分（3） 由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y 2x8，所以直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y2x7分設(shè)點P坐標為（x，2x）當點P在第二象限時，x0，POB的面積AOB的面積，S4x8(x0).8分，（第28題）即 x的取值范圍是. 9分當點P在第四象限時，x0，過點A、P分別作x軸的垂線，垂足為A、P 則四邊形POAA的面積4x4.AAB的面積，S4x8(x0). 10分， 即 x的取值范圍是x. 11分2（13淮安28題）28(本小題14分) 如圖所示，在平面直角坐標系中二次函數(shù)y=a(x-2)2-1圖象的頂點為P，與x軸交點為 A、B，與y軸交點為C連結(jié)BP并延長交y軸于點D. (1)寫出點P的坐標； (2)連結(jié)AP，如果APB為等腰直角三角形，求a的值及點C、D的坐標； (3)在(2)的條件下，連結(jié)BC、AC、AD，點E(0，b)在線段CD(端點C、D除外)上,將BCD繞點E逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，得到一個新三角形設(shè)該三角形與ACD重疊部分的面積為S，根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結(jié)果；判斷當b為何值時,重疊部分的面積最大?寫出最大值解：(1)、P（2，-1） 2分(2)、因為APB為等腰直角三角形，P點坐標為（2，-1）所以AB=2，所以A（1，0），B（3，0）將A點坐標代入二次函數(shù)y=a(x-2)2-1得：0=a(1-2)2-1，所以a=1 所以二次函數(shù)為：y=x2-4x+3所以C（0，3）， 所以O(shè)C=OB，OBC=450 又ABP=450，所以CBD=900，BCO=450，所以BCD為等腰直角三角形，所以D（0，-3）； 6分（3）、10 當0b3時，旋轉(zhuǎn)后的BCD與ACD的重疊部分為CEM。因為CE=CE，所以C點恰好在直線BC上，CE=3-b,AC直線方程為： y=3-3x，E(0,b)所以EM=所以重疊部分CEM的面積為：S= （0b3） 9分20 當-1b0時，旋轉(zhuǎn)后的BCD與ACD的重疊部分為五邊形EMANQ，因為ED=ED=EQ，所以D點恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b,所以Q（0,3+2b）, D（3+b，b）CQ=3-(3+2b)=-2bAC直線方程為： y=3-3x，AD直線方程為： y=3x-3，DQ直線方程為：y=3+2b-x，所以EM=，N(-b，3+3b)所以重疊部分五邊形EMANQ的面積為：S=SACD- SCQN- SEMD =- -= （-1b0） 9分30 當-3b-1時，旋轉(zhuǎn)后的BCD與ACD的重疊部分為四邊形EMNQ，因為ED=ED=EQ，所以D點恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b,所以Q（0,3+2b）, D（3+b，b）DQ=(3+2b)-（-3）=6+2b，AD直線方程為： y=3x-3，DQ直線方程為：y=3+2b-x,所以EM=，N(，)所以重疊部分四邊形EMNQ的面積為：S=SDNQ- SEMD =- = （-3b1） 9分3（13連云港24題）（本小題滿分14分）如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板，它們兩直角邊的長分別為1和2將它們分別放置于平面直角坐標系中的，處，直角邊在軸上一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板沿直尺邊緣平行移動當紙板移動至處時，設(shè)與分別交于點，與軸分別交于點（1）求直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；AOEGBFHNCPIxyM（第24題圖）DII兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，知兩點的坐標分別為設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為2分有解得所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為4分AOEGBFHNCPIxyM（第24題答圖）KII（2）點到軸距離與線段的長總相等因為點的坐標為，所以，直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為又因為點在直線上，所以可設(shè)點的坐標為過點作軸的垂線，設(shè)垂足為點，則有因為點在直線上，所以有6分因為紙板為平行移動，故有，即又，所以法一：故，從而有得，所以又有8分所以，得，而，從而總有10分法二：故，可得故所以故點坐標為設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，則有解得所以，直線所對的函數(shù)關(guān)系式為8分將點的坐標代入，可得解得而，從而總有10分由知，點的坐標為，點的坐標為12分當時，有最大值，最大值為取最大值時點的坐標為14分（第28題）ABCDOy/km90012x/h44（13南京28題）（10分）一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為，兩車之間的距離為，圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系根據(jù)圖象進行以下探究：信息讀?。?）甲、乙兩地之間的距離為 km；（2）請解釋圖中點的實際意義；圖象理解（3）求慢車和快車的速度；（4）求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；問題解決（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時？解：28（本題10分）（1）900；1分（2）圖中點的實際意義是：當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇2分（3）由圖象可知，慢車12h行駛的路程為900km，所以慢車的速度為；3分當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為，所以快車的速度為150km/h4分（4）根據(jù)題意，快車行駛900km到達乙地，所以快車行駛到達乙地，此時兩車之間的距離為，所以點的坐標為設(shè)線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入得解得所以，線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為6分自變量的取值范圍是7分（5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時，慢車的行駛時間是4.5h把代入，得此時，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發(fā)的間隔時間是，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h10分5（13南通28題）（14分）已知雙曲線與直線相交于A、B兩點第一象限上的點M（m，n）（在A點左側(cè)）是雙曲線上的動點過點B作BDy軸交x軸于點D過N（0，n）作NCx軸交雙曲線于點E，交BD于點C（1）若點D坐標是（8，0），求A、B兩點坐標及k的值（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式（第28題）yOADxBCENM（3）設(shè)直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求pq的值 解：（1）D（8，0），B點的橫坐標為8，代入中，得y=2B點坐標為（8，2）而A、B兩點關(guān)于原點對稱，A（8，2）從而3分（2）N（0，n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，B（2m，），C（2m，n），E（m，n） 4分 S矩形DCNO，SDBO=，SOEN =， 7分 S四邊形OBCE= S矩形DCNOSDBO SOEN=k 8分由直線及雙曲線，得A（4，1），B（4，1），C（4，2），M（2，2）9分設(shè)直線CM的解析式是，由C、M兩點在這條直線上，得 解得直線CM的解析式是11分（3）如圖，分別作AA1x軸，MM1x軸，垂足分別為A1、M1（第28題）yOAxBMQA1PM1設(shè)A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為a于是同理，13分14分6(13蘇州28題)28(本題9分) 課堂上，老師將圖中AOB繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和大小不變，但位置發(fā)生了變化當AOB旋轉(zhuǎn)90時，得到A1OB1已知A(4，2)、B(3，0) （1）A1OB1的面積是 ； A1點的坐標為（ ， ；B1點的坐標為( ， )； （2）課后，小玲和小惠對該問題繼續(xù)進行探究，將圖中AOB繞AO的中點C(2，1)逆時 針旋轉(zhuǎn)90得到AOB，設(shè)OB交OA于D，OA交軸于E此時A、O和B的坐標分別為(1，3)、(3，1)和(3，2)，且OB 經(jīng)過B點在剛才的旋轉(zhuǎn)過程中，小玲和小惠發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的三角形與AOB重疊部分的面積不斷變小，旋轉(zhuǎn)到90時重疊部分的面積(即四邊形CEBD的面積)最小，求四邊形CFBD的面積； （3）在（2)的條件一下，AOB外接圓的半徑等于 解：（1） 31分A1 (-2，4)2分B1 (0，3)3分(2)解法一：作CGBD 于GC（2，1）、B（3，0）、O(3，1)CG = 32 = 14分GB = BO= 1又EBCGEB為CGO的中位線5分設(shè)直線OA的解析式為：把A (4，2)代入，得點D在直線OA上把x = 3代入，得y = 6分D的坐標為(3，)DO= S四邊形CEBD = SCODSEOB = 7分解法二：作CGBD于G，CHx軸于HB、B的橫坐標相等，BBx軸四邊形CHBG為矩形又CG = CH = 1，矩形CHBG為正方形 4分HCG = 90ECD = 90，HCE =GCD 5分在HCE 和GCD中，HCE GCD6分S四邊形CEBD = S正方形CHBG = 17分(3) 9分7（13宿遷27題）（本題滿分12分）如圖，的半徑為，正方形頂點坐標為，頂點在上運動(1)當點運動到與點、在同一條直線上時,試證明直線與相切；(2)當直線與相切時，求所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；第27題(3)設(shè)點的橫坐標為，正方形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值與最小值解：(1) 四邊形為正方形 、在同一條直線上 直線與相切；第27題圖1(2)直線與相切分兩種情況: 如圖1, 設(shè)點在第二象限時,過作軸于點,設(shè)此時的正方形的邊長為,則,解得或(舍去)由得第27題圖2，故直線的函數(shù)關(guān)系式為；如圖2, 設(shè)點在第四象限時,過作軸于點,設(shè)此時的正方形的邊長為,則,解得或(舍去)由得，故直線的函數(shù)關(guān)系式為.(3)設(shè),則,由得.8（13泰州29題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點（1，0），（-3，0），（0，）。（1）求二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標系中作出這個函數(shù)的圖像；（5分）（2）若反比例函數(shù)圖像與二次函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于點A（x0,y0）, x0落在兩個相鄰的正整數(shù)之間。請你觀察圖像，寫出這兩個相鄰的正整數(shù)；（4分）（3）若反比例函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)的交點為A，點A的橫坐標為滿足23，試求實數(shù)k的取值范圍。（5分）解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x+3)1分（只要設(shè)出解析式正確，不管是什么形式給1分）將（0，）代入，解得a=.拋物線解析式為y=x2+x- 3分（無論解析式是什么形式只要正確都得分）畫圖（略）。（沒有列表不扣分）5分（2）正確的畫出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像7分由圖像可知，交點的橫坐標x0 落在1和2之間，從而得出這兩個相鄰的正整數(shù)為1與2。9分（3）由函數(shù)圖像或函數(shù)性質(zhì)可知：當2x3時，對y1=x2+x-, y1隨著x增大而增大，對y2= （k0），y2隨著X的增大而減小。因為A（X0，Y0）為二次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點，所心當X0=2時，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)上方得y2y1，即22+2-，解得K5。11分同理，當X0=3時，由二次函數(shù)數(shù)圖象在反比例上方得y1y2，即32+3，解得K18。13所以K的取值范圍為5 K1814分9（13無錫27題）（本小題滿分10分）如圖，已知點從出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿軸向正方向運動，以為頂點作菱形，使點在第一象限內(nèi)，且；以為圓心，為半徑作圓設(shè)點運動了秒，求：（1）點的坐標（用含的代數(shù)式表示）；（2）當點在運動過程中，所有使與菱形的邊所在直線相切的的值27解：（1）過作軸于，點的坐標為（2分）BADOPCxy圖1（2）當與相切時（如圖1），切點為，此時，yxBCPOAE圖2，（4分）當與，即與軸相切時（如圖2），則切點為，過作于，則，（5分），（7分）當與所在直線相切時（如圖3），設(shè)切點為，交于，則，（8分）yxAFCBPOGH圖3過作軸于，則，化簡，得，解得，所求的值是，和（10分）10（13無錫28題）（本小題滿分8分）一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km現(xiàn)要求：在一邊長為30km的正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個城市問：（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預(yù)設(shè)的要求？（2）至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由（下面給出了幾個邊長為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時選用）圖4圖3圖2圖1解：（1）將圖1中的正方形等分成如圖的四個小正方形，將這4個轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個小正方形對角線的交點處，此時，每個小正方形的對角線長為，每個轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個小正方形區(qū)域，故安裝4個這種裝置可以達到預(yù)設(shè)的要求（3分）（圖案設(shè)計不唯一）（2）將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處，設(shè)，則，由，得，即如此安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達到預(yù)設(shè)要求（6分）或：將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，使得，是的中點，將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處，則， ，即如此安裝三個這個轉(zhuǎn)發(fā)裝置，能達到預(yù)設(shè)要求（6分）要用兩個圓覆蓋一個正方形，則一個圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩個頂點如圖3，用一個直徑為31的去覆蓋邊長為30的正方形，設(shè)經(jīng)過，與交于，連，則，這說明用兩個直徑都為31的圓不能完全覆蓋正方形所以，至少要安裝3個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達到預(yù)設(shè)要求（8分）評分說明：示意圖（圖1、圖2、圖3）每個圖1分BFDAEHO圖2圖3DCFBEAOADCB圖111（13徐州28題）28.如圖1，一副直角三角板滿足ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q【探究一】在旋轉(zhuǎn)過程中，（1） 如圖2，當時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.（2） 如圖3，當時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由.（3） 根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為_,其中的取值范圍是_(直接寫出結(jié)論，不必證明)【探究二】若，AC30cm，連續(xù)PQ，設(shè)EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由.（2） 隨著S取不同的值，對應(yīng)EPQ的個數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍.解：【探究一】（1）作于點M，作于點N，連接BE為的平分線-1分若點M、P重合，顯然若點M、P不重合， 綜上，-2分（2）作于點M，作于點NEMBCAMEABC同理，-3分若點M、P重合，顯然若點M、P不重合， 綜上，-4分（3）， -5分(結(jié)論正確但未化簡，算對)-6分【探究二】（1）設(shè)EQ = x，則SEPQ=，其中當cm時，SEPQ取得最小值50 cm2； 當cm時，SEPQ取得最大值75 cm2-8分（2）當cm時，SEPQ = 62.5 cm2故當時，對應(yīng)EPQ有2個，-9分當時，對應(yīng)EPQ有1個-10分S = 50時 S = 62.5時S = 75時12（13鹽城28題）28（本題滿分12分）如圖甲，在ABC中，ACB為銳角點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF解答下列問題：（1）如果AB=AC，BAC=90當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為 ，數(shù)量關(guān)系為 第28題圖圖甲圖乙圖丙當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？ （2）如果ABAC，BAC90，點D在線段BC上運動試探究：當ABC滿足一個什么條件時，CFBC（點C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由（畫圖不寫作法）（3）若AC，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值解：（1）CF與BD位置關(guān)系是 垂 直、數(shù)量關(guān)系是相 等；當點D在BC的延長線上時的結(jié)論仍成立由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=90BAC=90，DAF=BAC ， DAB=FAC，又AB=AC ，DABFAC ， CF=BD ACF=ABDBAC=90， AB=AC ，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD圖?。?）畫圖正確當BCA=45時，CFBD（如圖?。?理由是：過點A作AGAC交BC于點G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD圖戊（3）當具備BCA=45時，過點A作AQBC交BC的延長線于點Q，（如圖戊）DE與CF交于點P時， 此時點D位于線段CQ上，BCA=45，可求出AQ= CQ=4設(shè)CD=x ， DQ=4x，容易說明AQDDCP， ， ， 0x3 當x=2時，CP有最大值113（13揚州26題）26（本題滿分14分）已知：矩形ABCD中，AB=1，點M在對角線AC上，直線l過點M且與AC垂直，與AD相交于點E。（1）如果直線l與邊BC相交