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1.1.1集合的概念教學(xué)目標(biāo):(1)使學(xué)生初步理解集合的概念,知道常用數(shù)集的概念及其記法(2)使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義(3)使學(xué)生初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義教學(xué)重點(diǎn):集合的基本概念教學(xué)過(guò)程:1引入(1)章頭導(dǎo)言(2)集合論與集合論的創(chuàng)始者-康托爾(有關(guān)介紹可引用附錄中的內(nèi)容)2講授新課閱讀教材,并思考下列問(wèn)題:(1)有那些概念?(2)有那些符號(hào)?(3)集合中元素的特性是什么?(4)如何給集合分類?(一)有關(guān)概念:1、集合的概念(1)對(duì)象:我們可以感覺(jué)到的客觀存在以及我們思想中的事物或抽象符號(hào),都可以稱作對(duì)象.(2)集合:把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體,就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合.(3)元素:集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示,如A、B、C、元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示,如a、b、c、2、元素與集合的關(guān)系(1)屬于:如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于A,記作aA(2)不屬于:如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于A,記作要注意“”的方向,不能把a(bǔ)A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě). 3、集合中元素的特性(1)確定性:給定一個(gè)集合,任何對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的了.(2)互異性:集合中的元素一定是不同的.(3)無(wú)序性:集合中的元素沒(méi)有固定的順序.4、集合分類根據(jù)集合所含元素個(gè)屬不同,可把集合分為如下幾類:(1)把不含任何元素的集合叫做空集(2)含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集(3)含有無(wú)窮個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集注:應(yīng)區(qū)分,0等符號(hào)的含義5、常用數(shù)集及其表示方法(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集):全體非負(fù)整數(shù)的集合.記作N(2)正整數(shù)集:非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集.記作N*或N+(3)整數(shù)集:全體整數(shù)的集合.記作Z(4)有理數(shù)集:全體有理數(shù)的集合.記作Q(5)實(shí)數(shù)集:全體實(shí)數(shù)的集合.記作R注:(1)自然數(shù)集包括數(shù)0. (2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集.記作N*或N+,Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集,也這樣表示,例如,整數(shù)集內(nèi)排除0的集,表示成Z*課堂練習(xí):教材第5頁(yè) 練習(xí)A、B小結(jié):本節(jié)課我們了解集合論的發(fā)展,學(xué)習(xí)了集合的概念及有關(guān)性質(zhì)課后作業(yè):第十頁(yè) 習(xí)題1-1B第3題附錄:集合論的誕生韓雪濤集合論是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支:微積分.在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果.其推進(jìn)速度之快使人來(lái)不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ).十九世紀(jì)初,許多迫切問(wèn)題得到解決后,出現(xiàn)了一場(chǎng)重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng).正是在這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中,康托爾開(kāi)始探討了前人從未碰過(guò)的實(shí)數(shù)點(diǎn)集,這是集合論研究的開(kāi)端.到1874年康托爾開(kāi)始一般地提出“集合”的概念.他對(duì)集合所下的定義是:把若干確定的有區(qū)別的(不論是具體的或抽象的)事物合并起來(lái),看作一個(gè)整體,就稱為一個(gè)集合,其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.康托爾的不朽功績(jī)前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲曷宸蛟u(píng)價(jià)康托爾的工作時(shí)說(shuō):“康托爾的不朽功績(jī)?cè)谟谒驘o(wú)窮的冒險(xiǎn)邁進(jìn)”.因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對(duì)無(wú)窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會(huì)真正明白他工作的價(jià)值之所在和眾多反對(duì)之聲之由來(lái).數(shù)學(xué)與無(wú)窮有著不解之緣,但在研究無(wú)窮的道路上卻布滿了陷阱.因?yàn)檫@一原因,在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中,數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無(wú)窮,并盡可能回避這一概念.但試圖把握無(wú)限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路.他把無(wú)窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué),從而進(jìn)入了一片未開(kāi)墾的處女地,開(kāi)辟出一個(gè)奇妙無(wú)比的新世界.對(duì)無(wú)窮集的研究使他打開(kāi)了“無(wú)限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子.下面就讓我們來(lái)看一下盒子打開(kāi)后他釋放出的是什么.“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱作自然數(shù)集,用字母N來(lái)表示.”學(xué)過(guò)集合那一章后,同學(xué)們應(yīng)該對(duì)這句話不會(huì)感到陌生.但同學(xué)們?cè)诮邮苓@句話時(shí)根本無(wú)法想到當(dāng)年康托爾如此做時(shí)是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無(wú)窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延伸著的,一種變化著成長(zhǎng)著的東西來(lái)解釋.無(wú)限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中,永遠(yuǎn)完成不了,是潛在的,而不是實(shí)在.這種關(guān)于無(wú)窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無(wú)限.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).用他的話說(shuō),就是“我反對(duì)將無(wú)窮量作為一個(gè)實(shí)體,這在數(shù)學(xué)中是從來(lái)不允許的.所謂無(wú)窮,只是一種說(shuō)話的方式”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí),他是把無(wú)限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西,這樣他就肯定了作為完成整體的無(wú)窮,這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無(wú)限思想.由于潛無(wú)限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利,康托爾的實(shí)無(wú)限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊是無(wú)足為怪的.然而康托爾并未就此止步,他以完全前所未有的方式,繼續(xù)正面探討無(wú)窮.他在實(shí)無(wú)限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論,創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論.這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的奇特的無(wú)限世界.最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對(duì)無(wú)窮集元素個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究.他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則來(lái)比較無(wú)窮集元素的個(gè)數(shù).他把元素間能建立一一對(duì)應(yīng)的集合稱為個(gè)數(shù)相同,用他自己的概念是等勢(shì).由于一個(gè)無(wú)窮集可以與它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也就是說(shuō)無(wú)窮集可以與它的真子集等勢(shì),即具有相同的個(gè)數(shù).這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無(wú)窮集的特征.在此意義上,自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個(gè)數(shù),他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì),因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來(lái)當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)注集合也是可數(shù)集時(shí),一個(gè)很自然的想法是無(wú)窮集是清一色的,都是可數(shù)集.但出乎意料的是,他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢(shì)大于自然數(shù)集.這不但意味著無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù),而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟,如同有人描述的那樣:“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星;而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成.”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時(shí),人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個(gè)而已.這是何等令人震驚的結(jié)果!然而,事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)打開(kāi)就無(wú)法再合上,盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個(gè)無(wú)窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識(shí)到無(wú)窮集之間存在著差別,有著不同的數(shù)量級(jí),可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在所有的無(wú)窮集之間還存在著無(wú)窮多個(gè)層次.他取得了成功,并且根據(jù)無(wú)窮性有無(wú)窮種的學(xué)說(shuō),對(duì)各種不同的無(wú)窮大建立了一個(gè)完整的序列,他稱為“超限數(shù)”.他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母“阿列夫”來(lái)表示超限數(shù)的精靈,最終他建立了關(guān)于無(wú)限的所謂阿列夫譜系 它可以無(wú)限延長(zhǎng)下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論,描繪出一幅無(wú)限王國(guó)的完整圖景.可以想見(jiàn)這種至今讓我們還感到有些異想天開(kāi)的結(jié)論在當(dāng)時(shí)會(huì)如何震動(dòng)數(shù)學(xué)家們的心靈了.毫不夸張地講,康托爾的關(guān)于無(wú)窮的這些理論,引起了反對(duì)派的不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對(duì)他的理論.有人嘲笑集合論是一種“疾病”,有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”,稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”.作為對(duì)傳統(tǒng)觀念的一次大革新,由于他開(kāi)創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域,提出又回答了前人不曾想到的問(wèn)題,他的理論受到激烈地批駁是正常的.當(dāng)回頭看這段歷史時(shí),或許我們可以把對(duì)他的反對(duì)看作是對(duì)他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種褒揚(yáng)吧.公理化集合論的建立集合論提出伊始,曾遭到許多數(shù)學(xué)家的激烈反對(duì),康托爾本人一度成為這一激烈論爭(zhēng)的犧牲品.在猛烈的攻擊下與過(guò)度的用腦思考中,他得了精神分裂癥,幾次陷于精神崩潰.然而集合論前后經(jīng)歷二十余年,最終獲得了世界公認(rèn).到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同.數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了.他們樂(lè)觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā),借助集合論的概念,便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈.在1900年第二次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上,著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了.今天,我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了.”然而這種自得的情緒并沒(méi)能持續(xù)多久.不久,集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界.這就是1902年羅素得出的羅素悖論.羅素構(gòu)造了一個(gè)所有不屬于自身(即不包含自身作為元素)的集合R.現(xiàn)在問(wèn)R是否屬于R?如果R屬于R,則R滿足R的定義,因此R不應(yīng)屬于自身,即R不屬于R;另一方面,如果R不屬于R,則R不滿足R的定義,因此R應(yīng)屬于自身,即R屬于R.這樣,不論何種情況都存在著矛盾.這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡(jiǎn)單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地.絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中.這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī).危機(jī)產(chǎn)生后,眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去.1908年,策梅羅提出公理化集合論,后經(jīng)改進(jìn)形成無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng),簡(jiǎn)稱ZF公理系統(tǒng).原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上,從而避免了悖論的出現(xiàn).這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段:公理化集合論.與此相對(duì)應(yīng),在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論.公理化集合論是對(duì)樸素集合論的嚴(yán)格處理.它保留了樸素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論,因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī).公理化集合論的建立,標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利,他大聲疾呼:沒(méi)有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂(lè)園中趕出去.從康托爾提出集合論至今,時(shí)間已經(jīng)過(guò)去了一百多年,在這一段時(shí)間里,數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化,包括對(duì)上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等.而這一切都是與康托爾的開(kāi)拓性工作分不開(kāi)的.因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時(shí),我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家對(duì)他的集合論的評(píng)價(jià)作為我們的總結(jié).它是對(duì)無(wú)限最深刻的洞察,它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品,是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一.超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物,在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最
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