第二十六講數(shù)學(xué)歸納法、極限.doc

第二十六講：數(shù)學(xué)歸納法、極限1數(shù)學(xué)歸納法用于證明一個(gè)“關(guān)于正自然數(shù)n的命題對(duì)于從正自然數(shù)n0開始的所有正自然數(shù)n都成立”的問題。2能根據(jù)f(k)正確寫出f(k+1),并能指出f(k)與f(k+1)之間的關(guān)系，這往往是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的最關(guān)鍵的一步。舉例1已知，則=A+， B+，C- D+-解析：是從n+1開始的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，故是從n+2開始的n+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，即 =+-=+- 故選D。舉例2用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將5k+12k+1變形為 解析假設(shè)n=k時(shí)命題成立.即:5k2k 被3整除.當(dāng)n=k+1時(shí)，5k+12 k+1 =55k22 k=5(5k2k) 52k22k=5(5k2k) 32k鞏固1 用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí)，由nk (k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)是_。 A. 2 B. 21 C. 2 D. 21鞏固2用數(shù)學(xué)歸納法證明命題： (n1) (n2) (nn)=2n13(2n1) 新課程教育3數(shù)學(xué)歸納法公理：如果關(guān)于自然數(shù)n 的一個(gè)命題p(n)滿足下列條件 (1) p(n0)成立,即當(dāng)n=n0時(shí),命題成立，(2) 假設(shè)p(k)成立,則p(k+1)也成立；根據(jù)(1)(2)知命題p(n)對(duì)nn0的所有自然數(shù)n都成立。用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)遞推的過程，（1）是遞推的基礎(chǔ)，（2）是遞推的條件；二者缺一不可。4數(shù)學(xué)歸納法通常用于證明關(guān)于自然數(shù)n的等式、不等式、整除性等。用“歸納假設(shè)”即命題p(k)成立證明命題 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求證p(k+1)成立）是數(shù)學(xué)歸納法證明中最關(guān)鍵的一步；而明晰命題p(k)與命題 p(k+1)之間的關(guān)系又是實(shí)現(xiàn)這一步的前提。舉例1 已知為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；解析：視為關(guān)于的不等式，為參數(shù)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)椋宰筮呌疫?，原不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，于是在不等式兩邊同乘以得，來源:新課程教育所以即當(dāng)時(shí)，不等式也成立綜合（）（）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立舉例2設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有；（1）求，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)（07高考江西理22）解析：（1）據(jù)條件得 當(dāng)時(shí)，由，即有，解得因?yàn)闉檎麛?shù)，故當(dāng)時(shí)，由，解得，所以（2）由，猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由得因?yàn)闀r(shí)，所以，所以又，所以故，即時(shí)，成立由1，2知，對(duì)任意，鞏固1已知數(shù)列，；S為其前n項(xiàng)和，求S、S、S、S，推測S，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。鞏固2 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項(xiàng)和，求證： （07高考重慶理21）5若存在，則=，若=0，則一般“約分”（約去含的因式）后再求極限。若=A、=B，則= AB, =AB, = (B0).新課程教育舉例 .（07高考陜西理13）解析：=，=鞏固1 下列四個(gè)命題中，不正確的是（ ）來源:新課程教育A若函數(shù)在處連續(xù)，則B函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是和C若函數(shù)，滿足，則D （07高考湖南理7）鞏固2 _ 6若|1或-1, 則不存在。=(為常數(shù))；“ ”型的式子極限為0；“”型、“”型的極限不存在；“”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一個(gè)式子（包括“約分”）后再求極限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求極限。若=A、=B，則 ()= AB, ()=AB, = (B0).舉例1若 .解析：分母有理化新課程教育新課程教育舉例2已知和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且，則（ ）A0B1CD （07高考湖北理5）解析：=，選C。鞏固1把展開成關(guān)于的多項(xiàng)式，其各項(xiàng)系數(shù)和為，則等于（ ）ABCD2新課程教育鞏固2. 等于( ) A. 1 B. C. D.0新課程教育遷移設(shè)正數(shù)滿足，則（） （07高考重慶理8）7無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，稱為數(shù)列的無窮多項(xiàng)和或所有項(xiàng)和。求時(shí)，切不可分別求各項(xiàng)的極限后再求和；必須先求Sn，再求極限。若為等比數(shù)列，公比為q且|q|1，則=。舉例1若數(shù)列滿足: , 且對(duì)任意正整數(shù)都有, 則 （07高考湖南理2）新課程教育 A B C D 新課程教育P1P2Pn-1Q1Q2Qn-1Pn-2O解析：數(shù)列滿足: , 且對(duì)任意正整數(shù)都有，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。，選A.鞏固2如圖，拋物線與軸的正半軸交于點(diǎn)，將線段的等分點(diǎn)從左至右依次記為，過這些分點(diǎn)分別作軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為，從而得到個(gè)直角三角形當(dāng)時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為 解析：，；，記的面積為Sn，則S1=，S2=，Sn-1=; =.鞏固1數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn_鞏固2 如圖，等邊三角形ABC的面積等于1，連結(jié)這個(gè)三角形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)小三角形，又連結(jié)這個(gè)小三角形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)更小的來源:新課程教育三角形，如