高考橢圓幾種題型

第 1 頁 共 10 頁 高考橢圓幾種題型高考橢圓幾種題型 引言 在高考之中占有比較重要的地位 并且占的分數也多 分析歷年的高考試題 在選擇題 填空題 大題都有橢圓 的題 所以我們對知識必須系統(tǒng)的掌握 對各種題型 基本的解題方法也要有一定的了解 二二 橢圓的知識 一 定義 1 平面內與與定點 F1 F2的距離之和等于定長 2a 2a F1F2 的點的軌跡叫做橢圓 其中 F1 F2稱為橢圓的焦點 F1F2 稱為焦距 其復數形式的方程為 Z Z1 Z Z2 2a 2a Z1 Z2 2 一動點到一個定點 F 的距離和它到一條直線的距離之比是一個大于 0 小于 1 的常數 則這個動點的軌跡叫橢 圓 其中 F 稱為橢圓的焦點 l 稱為橢圓的準線 二 方程 1 中心在原點 焦點在 x 軸上 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 中心在原點 焦點在 y 軸上 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 3 參數方程 sin cos by ax 4 一般方程 0 0 1 22 BAByAx 三 性質 1 頂點 或 0 0 ba 0 0 ba 2 對稱性 關于 軸均對稱 關于原點中心對稱 xy 3 離心率 1 0 a c e 4 準線 c a y c a x 22 或 5 焦半徑 設為上一點 F1 F2為左 右焦點 則 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 01 exaPF 設為上一點 F1 F2為下 上焦點 則 02 exaPF 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 01 exaPF 02 exaPF 第 2 頁 共 10 頁 三三 橢圓題型橢圓題型 一 橢圓定義 一 橢圓定義 1 橢圓定義的應用橢圓定義的應用 例例 1 橢圓的一個頂點為橢圓的一個頂點為 其長軸長是短軸長的 其長軸長是短軸長的 2 倍 求橢圓的標準方程 倍 求橢圓的標準方程 02 A 分析 分析 題目沒有指出焦點的位置 要考慮兩種位置 解 解 1 當為長軸端點時 02 A2 a1 b 橢圓的標準方程為 1 14 22 yx 2 當為短軸端點時 02 A2 b4 a 橢圓的標準方程為 1 164 22 yx 說明 說明 橢圓的標準方程有兩個 給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置 是不能確定橢圓的橫豎的 因而要考慮兩 種情況 例例 2 已知橢圓已知橢圓的離心率的離心率 求 求的值 的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 分析 分析 分兩種情況進行討論 解 解 當橢圓的焦點在軸上時 得 由 得 x8 2 ka9 2 b1 2 kc 2 1 e4 k 當橢圓的焦點在軸上時 得 y9 2 a8 2 kbkc 1 2 由 得 即 2 1 e 4 1 9 1 k 4 5 k 滿足條件的或 4 k 4 5 k 說明 說明 本題易出現漏解 排除錯誤的辦法是 因為與 9 的大小關系不定 所以橢圓的焦點可能在軸上 8 kx 也可能在軸上 故必須進行討論 y 例例 3 已知方程已知方程表示橢圓 求表示橢圓 求的取值范圍的取值范圍 1 35 22 k y k x k 解 解 由得 且 35 03 05 kk k k 53 k4 k 滿足條件的的取值范圍是 且 k53 k4 k 第 3 頁 共 10 頁 說明 說明 本題易出現如下錯解 由得 故的取值范圍是 03 05 k k 53 kk53 k 出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件 當時 并不表示橢圓 0 baba 例例 4 已知已知表示焦點在表示焦點在軸上的橢圓 求軸上的橢圓 求的取值范圍 的取值范圍 1cossin 22 yx 0 y 分析 分析 依據已知條件確定的三角函數的大小關系 再根據三角函數的單調性 求出的取值范圍 解 解 方程可化為 因為焦點在軸上 所以 1 cos 1 sin 1 22 yx y0 sin 1 cos 1 因此且從而 0sin 1tan 4 3 2 說明 說明 1 由橢圓的標準方程知 這是容易忽視的地方 0 sin 1 0 cos 1 2 由焦點在軸上 知 3 求的取值范圍時 應注意題目中的條件y cos 1 2 a sin 1 2 b 0 例例 5 已知動圓已知動圓過定點過定點 且在定圓 且在定圓的內部與其相內切 求動圓圓心的內部與其相內切 求動圓圓心的軌跡方程 的軌跡方程 P 03 A 643 2 2 yxB P 分析 分析 關鍵是根據題意 列出點 P 滿足的關系式 解 解 如圖所示 設動圓和定圓內切于點 動點到兩定點 PBMP 即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑 03 A 03 B 即 點的軌跡是以 為兩焦點 8 BMPBPMPBPAPAB 半長軸為 4 半短軸長為的橢圓的方程 734 22 b1 716 22 yx 說明 說明 本題是先根據橢圓的定義 判定軌跡是橢圓 然后根據橢圓的標準方程 求軌跡的方程 這是求軌跡方程的一 種重要思想方法 2 關于線段長最值的問題一般兩個方法 一種是借助圖形 由幾何圖形中量的關系求最值 二是建立關于線段長最值的問題一般兩個方法 一種是借助圖形 由幾何圖形中量的關系求最值 二是建立 函數關系求最值 或用均值不等式來求最值 函數關系求最值 或用均值不等式來求最值 例 1 點 P 為為橢圓上一點 F1 F2是橢圓的兩個焦點 試求 取得最值時 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 21 PFPF 的點坐標 P 解 1 設 則 由橢圓第二定義知 00 yxP 0 aax 0020 2 1 2 0exaaexaPFaexe c a xPF 第 4 頁 共 10 頁 當時 取最大值 此時點 P 0 b 當時 21 PFPF 0 222 xea 0 0 x 21 PFPF 2 aax 0 取最小值 b2 此時點 P a 0 21 PFPF 二 二 焦半徑及焦三角的應用焦半徑及焦三角的應用 例例 1 已知橢圓方程已知橢圓方程 長軸端點為 長軸端點為 焦點為 焦點為 是橢圓上一點 是橢圓上一點 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 2 A 1 F 2 FP 求 求 的面積 用的面積 用 表示 表示 21PA A 21PF F 21PF F ab 分析 分析 求面積要結合余弦定理及定義求角的兩鄰邊 從而利用求面 CabSsin 2 1 積 解 解 如圖 設 由橢圓的對稱性 不妨設 由橢圓的對稱性 不妨設 yxP yxP 在P 第一象限 由余弦定理知 2 21F F 2 2 2 1 PFPF 1 2PF 2 2 4coscPF 由橢圓定義知 則得 aPFPF2 21 2 cos1 2 2 21 b PFPF 故 sin 2 1 21 21 PFPFS PFF sin cos1 2 2 1 2 b 2 tan 2 b 第 5 頁 共 10 頁 例例 2 已知橢圓已知橢圓內有一點內有一點 分別是橢圓的左 右焦點 點分別是橢圓的左 右焦點 點是橢圓上一點 是橢圓上一點 求求1 59 22 yx 1 1 A 1 F 2 FP 的最大值 最小值及對應的點的最大值 最小值及對應的點坐標 坐標 1 PFPA P 分析 分析 本題考查橢圓中的最值問題 通常探求變量的最值有兩種方法 一是目標函數當 即代數方法 二是數形 結合 即幾何方法 本題若按先建立目標函數 再求最值 則不易解決 若抓住橢圓的定義 轉化目標 運用數形結 合 就能簡捷求解 解 解 如上圖 設是橢圓上任一點 由 62 a 0 2 2 F2 2 AFP62 21 aPFPF 等號僅當時成 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 22 AFPFPA 立 此時 共線 PA 2 F 由 等號僅當 22 AFPFPA 262 22211 AFaAFPFPFPFPA 時成立 此時 共線 22 AFPFPA PA 2 F 建立 的直線方程 解方程組得兩交點A 2 F02 yx 4595 02 22 yx yx 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 1 P 2 14 15 7 5 2 14 15 7 9 2 P 綜上所述 點與重合時 取最小值 點與重合時 取最大值 P 1 P 1 PFPA 26 P 2 P 2 PFPA 26 第 6 頁 共 10 頁 三 三 直線與橢圓相交問題 直線與橢圓相交問題 1 常用分析一元二次議程解的情況 僅有常用分析一元二次議程解的情況 僅有 還不夠 且用數形結合的思想 還不夠 且用數形結合的思想 2 弦的中點 弦長等 利用根與系數的關系式 但弦的中點 弦長等 利用根與系數的關系式 但 0 這一制約條件不同意 這一制約條件不同意 a kAB 2 1 21 21 xx xx 例例 1 已知直線已知直線 過橢圓過橢圓的一個焦點 斜率為的一個焦點 斜率為 2 與橢圓相交于與橢圓相交于 M N 兩點 求弦兩點 求弦的長 的長 l7298 22 yxlMN 解 由得 7298 1 2 22 yx xy 091811 2 xx 方法一 由弦長公式 11 60 11 9114185 1 2 2 a kAB 方法二 2 212 2 1 2 xxaex c a ex c a NFMFMN 11 60 3 1 11 18 6 例例 2 已知長軸為已知長軸為 12 短軸長為 短軸長為 6 焦點在 焦點在軸上的橢圓 過它對的左焦點軸上的橢圓 過它對的左焦點作傾斜解為作傾斜解為的直線交橢圓于的直線交橢圓于 兩兩x 1 F 3 AB 點 求弦點 求弦的長 的長 AB 分析 分析 可以利用弦長公式求得 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 也可以利用橢圓定義及余弦定理 還可以利用焦點半徑來求 解 解 法法 1 利用直線與橢圓相交的弦長公式求解 利用直線與橢圓相交的弦長公式求解 因為 所以 因為焦點在軸上 21 2 1xxkAB 4 1 21 2 21 2 xxxxk 6 a3 b33 cx 所以橢圓方程為 左焦點 從而直線方程為 1 936 22 yx 0 33 F93 xy 由直線方程與橢圓方程聯立得 設 為方程兩根 所以 083637213 2 xx 1 x 2 x 13 372 21 xx 第 7 頁 共 10 頁 從而 13 836 21 xx3 k 13 48 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 法法 2 利用橢圓的定義及余弦定理求解利用橢圓的定義及余弦定理求解 由題意可知橢圓方程為 設 則 1 936 22 yx mAF 1 nBF 1 mAF 12 2 nBF 12 2 在中 即 21F AF 3 cos2 211 2 21 2 1 2 2 FFAFFFAFAF 2 1 362336 12 22 mmm 所以 同理在中 用余弦定理得 所以 34 6 m 21F BF 34 6 n 13 48 nmAB 法法 3 利用焦半徑求解 利用焦半徑求解 先根據直線與橢圓聯立的方程求出方程的兩根 它們分別是 的橫坐標 083637213 2 xx 1 x 2 xAB 再根據焦半徑 從而求出 11 exaAF 21 exaBF 11 BFAFAB 四 點差法點差法 解題 解題 設而不求設而不求 的思想 的思想 當涉及至平行法的中點軌跡 過定點弦的中點軌跡 過定點且被定點平分的弦所在直線方程 用當涉及至平行法的中點軌跡 過定點弦的中點軌跡 過定點且被定點平分的弦所在直線方程 用 點差法點差法 來求解來求解 步驟 1 設 A x1 y1 B x2 y2 分別代入橢圓方程 2 設為 AB 的中點 兩式相減 00 yxp 0 2 0 2 21 2 21 2 21 21 ya xb yya xxb xx yy 3 得出 21 21 xx yy k 注 一般的 對橢圓上弦及中點 有1 2 2 2 2 b y a x ABM 2 2 a b KK OMAB 說明 說明 1 有關弦中點的問題 主要有三種類型 過定點且被定點平分的弦 平行弦的中點軌跡 過定點的弦中點軌 跡 2 解法二是 點差法 解決有關弦中點問題的題較方便 要點是巧代斜率 3 有關弦及弦中點問題常用的方法是 韋達定理應用 及 點差法 有關二次曲線問題也適用 例例 1 已知橢圓已知橢圓 1 求過點 求過點且被且被平分的弦所在直線的方程 平分的弦所在直線的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 2 求斜率為 求斜率為 2 的平行弦的中點軌跡方程 的平行弦的中點軌跡方程 3 過 過引橢圓的割線 求截得的弦的中點的軌跡方程 引橢圓的割線 求截得的弦的中點的軌跡方程 12 A 第 8 頁 共 10 頁 4 橢圓上有兩點 橢圓上有兩點 為原點 且有直線為原點 且有直線 斜率滿足斜率滿足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求線段求線段中點中點的軌跡方程 的軌跡方程 PQM 分析 分析 此題中四問都跟弦中點有關 因此可考慮設弦端坐標的方法 解 解 設弦兩端點分別為 線段的中點 則 11 yxM 22 yxN MN yxR yyy xxx yx yx 2 2 22 22 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 得 02 21212121 yyyyxxxx 由題意知 則上式兩端同除以 有 21 xx 21 xx 02 21 21 2121 xx yy yyxx 將 代入得 02 21 21 xx yy yx 1 將 代入 得 故所求直線方程為 2 1 x 2 1 y 2 1 21 21 xx yy 0342 yx 將 代入橢圓方程得 符合題意 為所求 22 22 yx0 4 1 66 2 yy0 4 1 6436 0342 yx 2 將代入 得所求軌跡方程為 橢圓內部分 2 21 21 xx yy 04 yx 3 將代入 得所求軌跡方程為 橢圓內部分 2 1 21 21 x y xx yy 0222 22 yxyx 4 由 得 將 平方并整理得 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 21 22 2 2 1 24xxxxx 21 22 2 2 1 24yyyyy 將 代入 得 224 4 24 21 2 21 2 yyy xxx 再將代入 式得 即 2121 2 1 xxyy 2 2 1 242 21 2 21 2 xxyxxx1 2 1 2 2 y x 此即為所求軌跡方程 當然 此題除了設弦端坐標的方法 還可用其它方法解決 例例 2 已知中心在原點 焦點在已知中心在原點 焦點在軸上的橢圓與直線軸上的橢圓與直線交于交于 兩點 兩點 為為中點 中點 的斜率為的斜率為x01 yxABMABOM 0 25 橢圓的短軸長為 橢圓的短軸長為 2 求橢圓的方程 求橢圓的方程 第 9 頁 共 10 頁 解 解 由題意 設橢圓方程為 1 2 2 2 y a x 由 得 1 01 2 2 2 y a x yx 021 22 2 xaxa 2 2 21 1 2a axx xM 2 1 1 1 a xy MM 4 11 2 ax y k M M OM 4 2 a 為所求 1 4 2 2 y x 例例 5 分析 已知分析 已知是直線是直線 被橢圓被橢圓所截得的線段的中點 求直線所截得的線段的中點 求直線 的方程 的方程 2 4 Pl1 936 22 yx l 本題考查直線與橢圓的位置關系問題 通常將直線方程與橢圓方程聯立消去 或 得到關于 或 的一元二次yxxy 方程 再由根與系數的關系 直接求出 或 的值代入計算即得 21 xx 21x x 21 yy 21y y 并不需要求出直線與橢圓的交點坐標 這種 設而不求 的方法 在解析幾何中是經常采用的 解 解 方法一 方法一 設所求直線方程為 代入橢圓方程 整理得 4 2 xky 036 24 4 24 8 14 222 kxkkxk 設直線與橢圓的交點為 則 是 的兩根 11 yxA 22 yxB 1 x 2 x 14 24 8 2 21 k kk xx 為中點 所求直線方程為 2 4 PAB 14 24 4 2 4 2 21 k kkxx 2 1 k082 yx 方法二 方法二 設直線與橢圓交點 為