《“基本不等式”省優(yōu)質(zhì)課比賽教學(xué)設(shè)計(jì)及反思》.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)一 教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（5）（人教A版）第三章第4節(jié)第一課時(shí)，主要內(nèi)容為基本不等式的推導(dǎo)與簡(jiǎn)單應(yīng)用它以前面已學(xué)習(xí)的有關(guān)不等式的基本知識(shí)為依據(jù)，從利用基本不等式求最值這個(gè)側(cè)面來(lái)體現(xiàn)基本不等式的應(yīng)用，而且在基本不等式的推導(dǎo)過程中滲透了分析法的解題方法，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)推理與論證的內(nèi)容埋下伏筆，同時(shí)在公式推導(dǎo)過程中滲透數(shù)形結(jié)合等思想方法，此內(nèi)容都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)二學(xué)情分析學(xué)生有了不等式的基本知識(shí)作為鋪墊，對(duì)不等式的學(xué)習(xí)已具備基本的認(rèn)識(shí)，而基本不等式來(lái)自生活，是從生活中抽象而來(lái)的，只要我們選材得當(dāng)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也能夠較容易理解基本不等式的推導(dǎo)，且達(dá)到滲透數(shù)學(xué)思想、關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的三目標(biāo)分析教學(xué)目標(biāo)：1學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等2探索并了解基本不等式的證明過程，在基本不等式的證明過程體會(huì)從特殊到一般的思維過程，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3培養(yǎng)學(xué)生生活問題數(shù)學(xué)化，并注重運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生活中實(shí)際問題的意識(shí)，有利于數(shù)學(xué)生活化、大眾化，同時(shí)通過學(xué)生自身的探索研究，領(lǐng)略獲取新知的喜悅教學(xué)重難點(diǎn)：本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程教學(xué)難點(diǎn)是基本不等式等號(hào)成立條件四教學(xué)策略本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)教法: 問題引導(dǎo)、啟發(fā)探究和歸納總結(jié)相結(jié)合學(xué)法: 自主學(xué)習(xí)與合作討論相結(jié)合教學(xué)手段: 黑板板書為主結(jié)合多媒體輔助教學(xué)五教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境 引入課題填寫下表，與的大小關(guān)系 【問題1】觀察與的大小關(guān)系，從中你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？猜想得到結(jié)論：一般的，如果【問題2】你能給出它的證明嗎？證法1 用比較法證明： 作差 = 變形 = 判斷符號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取 取等條件證法2 用分析法證明：要證 (1)只要證 (2)要證（2），只要證 0 （3）要證（3），只要證 （4）顯然，（4）是成立的當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（4）中的等號(hào)成立設(shè)計(jì)意圖:通過引導(dǎo)，讓學(xué)生去證明猜想的結(jié)果，進(jìn)一步鞏固比較兩個(gè)代數(shù)式大小的方法，并讓學(xué)生明白歸納、猜想、證明是我們發(fā)現(xiàn)世界、認(rèn)知世界的重要的思維方法師歸納：（1）如果把看作是正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).（2）在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).自主探究 深化認(rèn)識(shí)1.認(rèn)識(shí)基本不等式的幾何背景【問題3】能否給基本不等式一個(gè)幾何解釋呢？探究：課本第110頁(yè)的“探究”在右圖中，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，,過點(diǎn)作垂直于的弦，連接、你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證，那么，即.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”設(shè)計(jì)意圖:通過展示均值不等式的幾何直觀解釋，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，并使抽象的問題更加直觀、形象，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)均值不等式的理解2.拓廣探究（展示并介紹古代弦圖）同學(xué)們現(xiàn)在看到的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中著名的一副圖，叫做弦圖它是由我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的早在1300多年以前，這位數(shù)學(xué)家就巧妙的利用弦圖中的面積關(guān)系證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一弦圖不僅造型美觀，而且蘊(yùn)藏著很多玄機(jī)（展示24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)）大家現(xiàn)在看到的是2002年在我們北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)這個(gè)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)源于古代弦圖它的色調(diào)明暗相間，使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，這不但象征中國(guó)人民的熱情好客，同時(shí)也充分展現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界所做出的重大貢獻(xiàn)今天咱們也來(lái)研究一下弦圖教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系1 探究圖形中的不等關(guān)系【問題4】請(qǐng)觀察會(huì)標(biāo)圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形?它們?cè)诿娣e上有哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系?將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形中四個(gè)全等的直角三角形設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為那么正方形的邊長(zhǎng)為這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：(利用多媒體演示會(huì)標(biāo)圖形的變化,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四個(gè)直角三角形的面積之和小于或等于正方形的面積)【問題5】大家看，這個(gè)圖形里還真有點(diǎn)奧妙我們從圖中找到了一個(gè)不等式這里、的取值有沒有什么限制條件? 不等式中的等號(hào)什么時(shí)候成立呢？當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有2得到結(jié)論：一般的，如果3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因?yàn)?當(dāng)所以，即師歸納：（1）從上述兩個(gè)不等式中，可以發(fā)現(xiàn)，如果, 對(duì)于不等式，我們用分別、代替，可得，通常我們把上式寫作：（2）以上，我們是從數(shù)和形兩個(gè)角度充分分析了這個(gè)不等式.可見，數(shù)與形是一個(gè)事物的兩個(gè)方面設(shè)計(jì)意圖: 通過問題情境的設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力；其次，簡(jiǎn)略介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的生平，滲透數(shù)學(xué)思想、關(guān)注數(shù)學(xué)文化實(shí)際運(yùn)用 強(qiáng)化新知【例題】（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大最大面積是多少？分析：（1）當(dāng)長(zhǎng)和寬的乘積確定時(shí)，問周長(zhǎng)最短就是求長(zhǎng)和寬和的最小值（2）當(dāng)長(zhǎng)和寬的和確定時(shí)，求長(zhǎng)與寬取何值時(shí)兩者乘積最大解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 ,寬為,則 籬笆的長(zhǎng)為2（）由 ，可得 2（）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為10時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40(2)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為,寬為,則2（）=36，=18，矩形菜園的面積為，由 可得 ,可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生初步運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題, 通過對(duì)實(shí)際問題的解決讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活回顧反思 拓展延伸1.課堂小結(jié)組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)基本不等式認(rèn)識(shí)的再次深化體會(huì)從特殊到一般的研究方法；體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；體會(huì)歸納、猜想、證明的思維方法；掌握基本不等式，理解它的幾何背景，并能運(yùn)用它解決實(shí)際問題設(shè)計(jì)意圖:小結(jié)的目的一方面讓學(xué)生再次回顧本節(jié)課的活動(dòng)過程，重點(diǎn)和難點(diǎn)所在，另一方面，更是對(duì)探索過程的再認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的升華，對(duì)思維的反思，可為學(xué)生以后解決問題提供經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)2.作業(yè)布置必做題:P.1131、2、3、4選做題：1.已知都是正數(shù)，求證：（1）如果積是定值，那么和有最小值，此時(shí)；（2）如果和是定值，那么積有最大值，此時(shí)2.當(dāng)時(shí)不等式成立，若，則有不等式成立研究性作業(yè)：（1）設(shè)，稱為的調(diào)和平均數(shù)如圖，為線段上的點(diǎn)，且，為中點(diǎn)，以為直徑作半圓過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連結(jié),則圖中線段 的長(zhǎng)度是的算術(shù)平均數(shù)，線段 的長(zhǎng)度是的幾何平均數(shù)，線段 的長(zhǎng)度是的調(diào)和平均數(shù)（2）已知都是正數(shù)，證明：設(shè)計(jì)意圖:分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，發(fā)揮自己的潛能六教學(xué)反思新課程的理念倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展，但這必須是在教師的引領(lǐng)之下，否則學(xué)生很容易誤入歧途教師應(yīng)該盡力做好學(xué)生探究活動(dòng)的引路人在設(shè)計(jì)這節(jié)課