2018版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)選修系列14.2不等式選講第1課時(shí)絕對(duì)值不等式理.docx

選修系列 14.2 不等式選講 第1課時(shí) 絕對(duì)值不等式 理1絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想2含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)(1)如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a|b|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立(2)如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立1(2015山東改編)解不等式|x1|x5|2的解集解當(dāng)x1時(shí)，原不等式可化為1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.當(dāng)1x5時(shí)，原不等式可化為x1(5x)2，x4，1x4，當(dāng)x5時(shí)，原不等式可化為x1(x5)2，該不等式不成立綜上，原不等式的解集為(，4)2若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.3若不等式|2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)y|2x1|x2|當(dāng)x5；當(dāng)2x；當(dāng)x時(shí)，y3x1，故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為.因?yàn)椴坏仁絴2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范圍為1，.題型一絕對(duì)值不等式的解法例1(2015課標(biāo)全國(guó))已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x40，無(wú)解；當(dāng)1x0，解得x0，解得1x1的解集為.(2)由題設(shè)可得，f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，)思維升華解絕對(duì)值不等式的基本方法有：(1)利用絕對(duì)值的定義，通過(guò)分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式；(2)當(dāng)不等式兩端均為正號(hào)時(shí)，可通過(guò)兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式；(3)利用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解(1)解不等式|x1|x2|5的解集(2)若關(guān)于x的不等式|ax2|3的解集為x|x，求a的值解(1)當(dāng)x2時(shí)，不等式等價(jià)于(x1)(x2)5，解得x3；當(dāng)2x1時(shí)，不等式等價(jià)于(x1)(x2)5，即35，無(wú)解；當(dāng)x1時(shí)，不等式等價(jià)于x1x25，解得x2.綜上，不等式的解集為x|x3或x2(2)|ax2|3，1ax0時(shí)，x，與已知條件不符；當(dāng)a0時(shí)，xR，與已知條件不符；當(dāng)a0時(shí)，x，又不等式的解集為x|x，故a3.題型二利用絕對(duì)值不等式求最值例2(1)對(duì)任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值為3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值為5.思維升華求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種：(1)利用絕對(duì)值的幾何意義；(2)利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零點(diǎn)分區(qū)間法(1)(2016深圳模擬)若關(guān)于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解，求d的取值范圍(2)不等式|x|a2|sin y對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，y均成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)|2 014x|2 015x|2 014x2 015x|1，關(guān)于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解時(shí)，d1.(2)x(，22，)，|x|2，)，其最小值為2.又sin y的最大值為1，故不等式|x|a2|sin y恒成立時(shí)，有|a2|1，解得a1,3題型三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用例3(2017石家莊調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)|x3|x1|，xR.(1)解不等式f(x)1；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|xa|4，且g(x)f(x)在x2,2上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)|x3|x1|故由不等式f(x)3或解得x.(2)函數(shù)g(x)f(x)在x2,2上恒成立，即|xa|4|x3|x1|在x2,2上恒成立，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，如圖所示故當(dāng)x2,2時(shí)，若0a4時(shí)，則函數(shù)g(x)在函數(shù)f(x)的圖象的下方，g(x)f(x)在x2,2上恒成立，求得4a0，故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,0思維升華(1)解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)來(lái)解決(2)數(shù)形結(jié)合是解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的常用方法已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2xa對(duì)于一切xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由絕對(duì)值的幾何意義知：|x4|x5|9，則log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a對(duì)于一切xR恒成立，則需a0恒成立，即(|x3|x7|)minm，由于x軸上的點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)和點(diǎn)(7,0)的距離之和的最小值為4，所以要使不等式恒成立，則m4.5(2016江蘇)設(shè)a0，|y2|，求證：|2xy4|a.證明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.6已知關(guān)于x的不等式|2xm|1的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值為2，求關(guān)于x的不等式|x1|x3|m的解集解由不等式|2xm|1，可得x，不等式的整數(shù)解為2，2，解得3m5.再由不等式僅有一個(gè)整數(shù)解2，m4.本題即解不等式|x1|x3|4，當(dāng)x3時(shí)，不等式等價(jià)于x1x34，解得x4，不等式解集為x|x4綜上，原不等式解集為(，04，)7已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)在圖中畫(huà)出yf(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象，當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x或x5，故f(x)1的解集為x|1x3；f(x)1的解集為.8已知函數(shù)f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|a4|有解，求a的取值范圍解(1)f(x)|x3|x2|3，當(dāng)x2時(shí)，有x3(x2)3，解得x2；當(dāng)x3時(shí)，x3(x2)3，解得x；當(dāng)3x2時(shí)，有2x13，解得1x2.綜上，f(x)3的解集為x|x1(2)由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，|x3|x2|(x3)(x2)|5，則有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解，則|a4|5，解得1a9.所以a的取值范圍是1,99(2016全國(guó)丙卷)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3等價(jià)于|1a|a3.當(dāng)a1時(shí)，等價(jià)于1aa3，無(wú)解當(dāng)a1時(shí)，等價(jià)于a1a3，解得a2.所以a的取值范圍是2，)10已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式