2.萬有引力定律

3.2 萬有引力定律一、太陽與行星間的引力1、引入：開普勒第一、第二定律的提出是在1609年；第三定律又用了十年的時間才發(fā)現(xiàn)的，提出是在1619年。上學(xué)期學(xué)過牛頓三定律，是牛頓在1687年發(fā)表在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一書中。牛頓說：慣性系中，物體不受力或者受到的合力為0，物體將保持靜止或者勻速直線運動。地球圍繞太陽做圓周運動，根據(jù)上章的知識，我們可以想到：太陽與地球之間一定有什么力，提供了地球圍繞太陽做圓周運動的向心力。那么，這種力的形式是什么呢？就是我們今天研究的問題。2、太陽對地球的引力：太陽對地球的引力用字母表示，它提供了地球做圓周運動的向心力，所以。這里出現(xiàn)了周期的平方。利用開普勒第三定律將周期代入，可得，其中k是一個與地球無關(guān)，只與太陽有關(guān)的常數(shù)。因此，可知太陽對地球的引力。3、地球?qū)μ柕囊Γ涸谔柵c地球之間的引力問題上，太陽與地球的地位完全對等，比如站在太陽上看，地球圍繞太陽轉(zhuǎn)動；站在地球上看，太陽圍繞地球轉(zhuǎn)動。因此，在它們之間的作用力表達形式上，各自質(zhì)量的地位也應(yīng)對等。根據(jù)前面的推導(dǎo)，有，依據(jù)對稱性，可以得到：。4、太陽與地球之間的引力：依據(jù)牛頓第三定律，。那么應(yīng)該正比于什么呢？可以猜到。這里有個難點，為什么不是正比于，而是正比于呢？比如有一個函數(shù)記為。從某一個方面，發(fā)現(xiàn)，括號中是與x、y無關(guān)的其它變量。從另一個方面，發(fā)現(xiàn)，括號中是與x、z無關(guān)的其它變量。那么還是呢？可以這樣看，式子的括號中一定包含一個z，但是不包含x了；式子的括號中一定包含一個y，但是不包含x；將兩個式子乘起來，得到，其中括號內(nèi)是與x、y、z都無關(guān)的變量。這時就能發(fā)現(xiàn)，而不是。將前面的看成x，看成y，看成z，就可以得到，而不是。還可以這樣類比，長方體的體積V正比于長*寬；V也正比于長*高。而我們知道體積V等于長*寬*高，而不是等于長2*寬*高。將太陽與地球的引力寫成等式形式，即。其中G是一個與地球和太陽無關(guān)的一個比例常數(shù)?！居懻摗浚禾柵c地球間的引力公式，這個形式可以不假思索的推廣到任意的兩個物體間嗎？即對任意兩個物體A、B，有沒有呢？具體點，（1）下標(biāo)A、B可以是太陽、火星嗎？（2）下標(biāo)A、B可以是地球、月亮嗎？（3）下標(biāo)A、B可以是地球和地面上的人或者蘋果嗎？【回答】：（1）可以。（2）不可以。因為剛才的推導(dǎo)中，使用了開普勒第三定律，是開普勒從行星的觀測數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)的，至少在當(dāng)時的開普勒心中，這個規(guī)律只是適用于行星與太陽之間。因此，地球和月亮之間，不能不假思索的認(rèn)為也有這個關(guān)系。（3）不可以。因為剛才的推導(dǎo)中，利用了圓周運動的向心力的表達式。地球和之上的人或者蘋果，沒有發(fā)生圓周運動，因此也不能直接的不假思索的認(rèn)為對地面和之上的人也是適合的。牛頓大膽的猜想，行星與太陽之間的這種引力是一切物體間都具有的。這種力的表達形式可以推廣到一切物體間。這個猜測很大膽，但是有一件事情讓牛頓對自己的這種猜測有了信心。二、月地檢驗月亮圍繞地球做圓周運動，周期T=27.3天，月地間距等于米，也就是等于60倍的地球半徑。由這些觀察數(shù)據(jù)可以得到月亮繞地球做圓周運動的向心加速度：。牛頓猜想1：如果提供向心力的這個月地間的引力是的形式，那么。牛頓猜想2：地面上物體受到的重力實際就是地球與這個物體間的萬有引力，因此有：，可得：。代入上式可得： 使用這樣的猜想，計算出的結(jié)果與觀測值相等，因此讓牛頓相信這個猜想是正確的。三、萬有引力定律1、萬有引力定律的內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都是相互吸引，引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，跟它們的距離r的二次方成反比。2、計算公式：其中G稱為萬有引力常數(shù)，為，是自然界中幾個最重要的常量之一。它的數(shù)值具體是多少，決定了我們這個宇宙是什么樣子的。它表示兩個質(zhì)量為1kg的物體相距1m時，之間的萬有引力為。3、意義：萬有引力讓我們知道，天上的力與地上的力是相同的，支配自然、宇宙的法則是簡單的，是可以被人類所認(rèn)識的。4、適用條件：（1）兩個質(zhì)點間的相互作用。比如，求地球和太陽間的萬有引力大小，可以把它們當(dāng)成質(zhì)點看待。（2）兩個質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩個球心間的距離比如，地面上的物體受到地球的萬有引力，這個物體相比地球可以看成質(zhì)點，但是地球不能看作質(zhì)點，不過地球可以看作是質(zhì)量均勻的球體，因此，r是此物體與地心間的距離。（3）當(dāng)研究物體不能看作質(zhì)點時，可以把物體假想分割成無數(shù)個質(zhì)點，求出每個質(zhì)點受到的引力，然后求合力。這種思想是牛頓發(fā)明的微積分的基本思想。他也正是使用這個思想，證明了兩個質(zhì)量分布均勻的球體，r應(yīng)該取作兩個球心間的距離。四、萬有引力常數(shù)的測量1798年，英國物理學(xué)家卡文迪許第一次在實驗室里利用扭秤裝置，比較準(zhǔn)確地測出了引力常量。下圖為實驗裝置圖。實驗原理扭秤裝置把微小力轉(zhuǎn)變成力矩來反映（一次放大），扭轉(zhuǎn)角度通過光標(biāo)的移動來反映（二次放大），從而確定物體間的萬有引力。T形架在兩端質(zhì)量為m的兩個小球受到質(zhì)量為m的兩大球的引力作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)，引力的力矩為FL。同時，金屬絲發(fā)生扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生一個相反的力矩，當(dāng)這兩個力的力矩相等時，T形架處于