中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法概述和教學(xué)策略分析.doc

中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法概述趙澤鵬東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2008級(jí)四班中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法概述趙澤鵬東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2008級(jí)四班摘 要數(shù)學(xué)的教學(xué)過程不應(yīng)該僅僅是知識(shí)的傳授，更應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想的傳授和延續(xù)。本文主要介紹了集中重要的數(shù)學(xué)思想及例子，探討中學(xué)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)策略關(guān)鍵字：中學(xué)數(shù)學(xué)思想 函數(shù)思想 集合思想 轉(zhuǎn)化思想1 引言數(shù)學(xué)思想方法一詞已經(jīng)存在很久了，在很多學(xué)科中，都已被廣泛使用。數(shù)學(xué)的各種知識(shí)無不反映著數(shù)學(xué)思想方法。但是，究竟什么是數(shù)學(xué)思想方法呢？一般地說，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)產(chǎn)生發(fā)展過程中必須依賴的東西。數(shù)學(xué)思想不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步抽象和概括，也是解決數(shù)學(xué)問題的手段，是人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和反思。應(yīng)該這么說，數(shù)學(xué)思想從某種層面上講，是一種數(shù)學(xué)文化，是數(shù)學(xué)學(xué)科的哲學(xué)意義。中學(xué)數(shù)學(xué)是對(duì)大眾的教育，其中涉及的數(shù)學(xué)思想也是日常生活中很常見的思想。這些思想在解決數(shù)學(xué)問題和其他生活問題中有著重要的作用。二中學(xué)生由于自身認(rèn)知水平限制，很難在高層及解決和看待數(shù)學(xué)思想，這就要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的教育。在中學(xué)階段，常見的數(shù)學(xué)思想有：化歸思想、集合思想、轉(zhuǎn)換思想、參數(shù)思想、歸納思想、類比思想、演繹思想、模型思想、函數(shù)方程思想等。這些思想貫穿著中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和實(shí)踐過程。2中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法概述2.1中學(xué)代數(shù)中的基本思想 2.1.1 集合思想集合的思想是指應(yīng)用集合論的觀點(diǎn)來分析問題、認(rèn)識(shí)問題和解決問題的思想。集合論是德國數(shù)學(xué)家康托（G.Cantor）于19世紀(jì)末創(chuàng)立的，因其表達(dá)簡(jiǎn)便，容易理解，被廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)、物理等各個(gè)領(lǐng)域。集合是指具有某種共同特性的事物的全體（高夯 中學(xué)數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)），例如：“某班級(jí)的全體女生”，“十二生肖”等。在中學(xué)階段，集合有三條重要的性質(zhì)：確定性，無序性，互異性。這就對(duì)我們所指的領(lǐng)域進(jìn)行了一個(gè)分類，也就簡(jiǎn)化了我們對(duì)事物的理解和認(rèn)識(shí)。 集合思想大體包括集合的概念、運(yùn)算，映射的概念等。我們周圍的事物是紛繁復(fù)雜的，利用集合的思想，就可以很快的將這些事物分類的處理，例如在排隊(duì)的時(shí)候，將男女生分開管理，按大小個(gè)排隊(duì)，就是運(yùn)用集合的知識(shí)來解決問題。2.1.2 函數(shù)思想函數(shù)可以用來刻畫事物運(yùn)動(dòng)變化相互聯(lián)系、相互制約的規(guī)律。什么是函數(shù)呢？嚴(yán)格地講，設(shè)A，B是實(shí)數(shù)集R（笛卡兒集Rn）的非空子集時(shí)，f是笛卡兒集AB的子集，且對(duì)任意xA,存在唯一的yB,使（x，y）f，稱f是定義在A上在B中取值的函數(shù)。而在中學(xué)階段是這樣定義的：如果在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量，例如x和y對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量（數(shù)學(xué)（八年級(jí)上） 華東師范大學(xué)出版社）。函數(shù)的基本思想是對(duì)應(yīng)，從函數(shù)的角度出發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的規(guī)律和聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。我們都知道每天股票的走勢(shì)問題都近似的描繪成一個(gè)函數(shù)圖像，從函數(shù)圖像，分析函數(shù)的走勢(shì)，來進(jìn)行決策什么時(shí)候適合買入，什么時(shí)候賣出。2.1.3數(shù)形結(jié)合思想有時(shí)，代數(shù)的表示是很抽象的，而幾何的表示就更加直觀一下。所以數(shù)形結(jié)合在一起，能將抽象的數(shù)量關(guān)系賦予形象的幾何直觀，也能克服幾何圖形問題的數(shù)量關(guān)系不明確的特點(diǎn)。在中學(xué)代數(shù)中應(yīng)用這一思想方法的內(nèi)容非常廣泛，如函數(shù)及其圖像；不等式的解集；向量等；在概率中，對(duì)數(shù)據(jù)分析時(shí)應(yīng)用的頻率直方圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖等。尤其在分析數(shù)據(jù)時(shí)，利用統(tǒng)計(jì)圖，能很快的看清各個(gè)部分的大小。2.1.4轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化的思想就是把未知問題轉(zhuǎn)化為在已知的問題的一種思想，是學(xué)習(xí)新知識(shí)，探索新內(nèi)容的重要途徑。在中學(xué)階段，轉(zhuǎn)化的思想體現(xiàn)得淋漓盡致。僅以解方程為例，無論多次還是多元方程，其基本思想是轉(zhuǎn)化為一元一次方程，無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程，分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程。在轉(zhuǎn)化的過程中，應(yīng)該注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，即轉(zhuǎn)化后的方程與原方程是等價(jià)的，只有這樣的轉(zhuǎn)化才能保證轉(zhuǎn)化前后的方程是同解的。但在不等式中其證明方法放縮法就不是等價(jià)的。等價(jià)的轉(zhuǎn)化主要是尋找原命題成力的充要條件，而不等價(jià)轉(zhuǎn)化主要是尋找原題結(jié)論成立的充分條件，這是轉(zhuǎn)化的區(qū)別。2.2中學(xué)幾何中的基本思想2.2.1 幾何公理化體系 在中學(xué)階段，我們研究的主要是歐式幾何。歐幾里德給出的五個(gè)公設(shè)：1.由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可以做直線。2.一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)。3.以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫圓。4.凡直角都相等。5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線經(jīng)無限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交。平面幾何，立體幾何，解析幾何都是源于幾何公理體系，在幾何公理體系下，很多運(yùn)算都是很簡(jiǎn)便的。正是因?yàn)閹缀喂砘w系的存在，才使得很多幾何上的定理定義出現(xiàn)。例如過直線外一點(diǎn)，能做且只能做一條直線與已知直線垂直。2.2.2變換思想 在研究幾何的時(shí)候，我們往往在就幾何對(duì)象在連續(xù)變化下保持不表的性質(zhì)。我們知道在現(xiàn)實(shí)世界的物體是處于不斷發(fā)展變化中的，由此抽象出來的幾何圖形的位置、形狀、大小也就不斷變化。有了變換思想，我們可以從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來考慮幾何問題，使原來靜止的圖形“動(dòng)”起來。例如全等、相似、中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等，我們都可以看作一個(gè)圖形進(jìn)行了某個(gè)變換，變成了另一個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形的關(guān)系。在中考中，?？嫉囊环N題型，是動(dòng)點(diǎn)動(dòng)面動(dòng)線問題。在直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)固定的圖形，還有移動(dòng)的點(diǎn)，或線面，并用函數(shù)知識(shí)解決問題。2.2.3化歸思想我們都知道三角形是平面幾何中最基礎(chǔ)的圖形，任何一個(gè)圖形都可以分解成三角形的組合。所以在考慮圖形的有關(guān)問題時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為三角形。如求多邊形內(nèi)角和時(shí)，就可以將多邊形分解成多個(gè)三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和來球多邊形的內(nèi)角和。這就體現(xiàn)了向基本特殊的圖形轉(zhuǎn)化的思想。在解決立體幾何問題時(shí)，如求二面角，我們將起化歸到一個(gè)三角形中，然后利用三角函數(shù)來解決這個(gè)問題。3.總結(jié)歸納 中學(xué)思想方法不僅僅本文列舉的這幾種，對(duì)于中學(xué)生來講，要掌握很多數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，還要深刻理解數(shù)學(xué)的深意，這就需要教師深層次的理解數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，還要能夠漸漸地滲透思想，讓學(xué)生達(dá)到質(zhì)的飛躍參