2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽(A).doc

2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽一、 填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分。1. 設(shè)集合，則的元素個(gè)數(shù)為_(kāi).2. 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)在平面上，使得直線與所成角不小于且不大于，則這樣的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域的面積為_(kāi).3. 將隨機(jī)排成一行，記為，則是偶數(shù)的概率為_(kāi).4. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，橢圓的弦與分別平行于軸與軸，且相交于點(diǎn)。已知線段的長(zhǎng)分別為，則的面積為_(kāi).5. 設(shè)是定義在上的以為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，且滿足，則不等式組的解集為_(kāi).6. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，使得關(guān)于的方程有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)的和為_(kāi).7. 設(shè)為的外心，若，則的值為_(kāi).8. 設(shè)整數(shù)數(shù)列滿足，且，則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為_(kāi)。二、 解答題：本大題共3小題，滿分56分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。9. （本題滿分16分）已知定義在上的函數(shù)為設(shè)是三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿足，求的取值范圍。10. （本題滿分20分）已知實(shí)數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)，有，其中表示數(shù)列的前項(xiàng)和。證明：1）對(duì)任意正整數(shù)，有；2）對(duì)任意正整數(shù)，有。11. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是拋物線的過(guò)點(diǎn)的弦，的外接圓交拋物線于點(diǎn)（不同于點(diǎn)）。若平分，求的所有可能值。加試（A卷）一、 （本題滿分40分）設(shè)是正整數(shù)，均為正實(shí)數(shù)，滿足，且。二、 （本題滿分40分）如圖，為銳角三角形，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)和分別為的外接圓和的中點(diǎn)，為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，在線段上，滿足。證明：若，則。（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）三、 （本題滿分50分）設(shè)是正整數(shù)，滿足，且。設(shè)是的元子集。證明：區(qū)間中的每個(gè)整數(shù)均可表示為，其中。四、 （本題滿分50分）數(shù)列定義如下：是任意正整數(shù)，對(duì)整數(shù)，是與互素，