平面向量基本概念與運算法則及相對應練習題(含答案).doc

平面向量1一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小沒有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。回答下列問題：(1) .數(shù)量與向量有何區(qū)別？(2) .如何表示向量？(3) .有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？(4) .長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？1. 數(shù)量和向量的區(qū)別： 數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大?。幌蛄坑蟹较?、大小，不能比較大小。2.向量的表示方法：用有向線段表示；用字母a、b(黑體)等表示；用有向線段的起點與終點字母表示：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|。3. 有向線段： 具有方向的線段叫做有向線段，三要素：起點、方向、長度。 向量與有向線段的區(qū)別： 向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量； 有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向，也是不同的有向線段。4. 零向量、單位向量概念： 長度為0的向量叫零向量，記作。 長度為1個單位長度的向量，叫做單位向量。 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。5. 滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量？相等向量的定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量。說明：向量與相等，記作=； 零向量與零向量相等； 任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。6. 平行向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行。說明：綜合才是平行向量的完整定義； 向量平行，記作。2、 向量的運算法則 1.向量的加法問題：數(shù)可進行加法運算：1+2=3，那么向量的加法是怎樣定義的？長度是1的向量與長度是2的向量相加是一定是長度為3的向量呢？某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和：；若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，則兩次的位移和；某人從A到B，再從B改變方向到C，則兩次的位移和。向量的加法： 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。三角形法則：四邊形法則：練習：化簡2.向量的減法探究：1.向量是否有減法？ 2.向量的減法是否與數(shù)的減法有類似的法則？相反向量：與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。 ； 任一向量與其相反向量的和是零向量，即：； 如果是互為相反的向量，則：。向量的減法： 向量加上的相反向量，叫做和的差。即 向量減法法則：兩向量起點相同，則差向量就是連結(jié)兩向量終點，指向被減向量終點的向量。 注意：起點相同；指向被減向量的終點。例1.平行四邊形ABCD中，用、表示向量。例2.已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的向量分別為、，試用向量、表示。3. 向量的數(shù)乘運算 實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：；當0時，的方向與的方向相同；當0時，的方向與的方向相反；特別的，當=0或=時，=。注意：實數(shù)與向量，可以做積，但不可以做加減法，即+，-是無意義的。 實數(shù)與向量的積的運算律：設、為任意向量，為任意實數(shù)，則有： ； 例1.計算； ； 例2.計算 (1). (2).結(jié)論：向量與非零向量共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，是的=。例3.向量是否共線？例4.平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且,你能用表示嗎？2、 向量運算法則的應用向量的加法、減法、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為響亮的線性運算，對任意實數(shù)，恒有。1. 有關(guān)向量共線問題例1.已知向量滿足，求證：向量共線。例2.已知,試判斷是否共線？定理的應用： (1).有關(guān)向量共線問題； (2).證明三點共線：三點共線； (3).證明兩直線平行問題。 例3.已知任意兩個非零向量，試作，你能判斷三點間的位置關(guān)系嗎？為什么？ 例4 .在四邊形中，求證：四邊形為梯形。同步練習（一）1.下列命題中，正確的是（ ）A若，則 B對于任意向量，有C若，則或 D對于任意向量，有2（2007北京理)已知是所在平面內(nèi)一點，為邊中點，且，那么（ ） 3(2008廣東理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 若, ,則（ ） AB. C. D. （二） 1.(2006上海理)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D）2（2007湖南文）若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（ ） A B. C. D. 3（2003遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則（ ）ABCD4.(2008遼寧理)已知O，A，B是平面上的三個點,直線AB上有一點C，滿足,則（ ） ABCD5（2003江蘇；天津文、理）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足的軌跡一定通過的( )（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心6（2005全國卷理、文）已知點，設的平分線與相交于，那么有，其中等于( )（A） （B） （C） （D）7設是兩個不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則k=_.8.（2007江西理）如圖，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若 m，n，則mn的值為 9（2005全國卷理）的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)m = 10.（2007陜西文、理）如圖，平面內(nèi)有三個向量、，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且1，.若的值為 .（三）11、（2006全國卷理）設平面向量、的和。如果向量、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）A B C DAOMPB12. （2006湖南理）如圖2,OMAB,點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍