相似三角形典型例題精選.doc

啟真學(xué)堂相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用經(jīng)典題型考點(diǎn)一：相似三角形的判定與性質(zhì)：例1、如圖，PCD是等邊三角形，A、C、D、B在同一直線上，且APB=120.求證：PACBPD； CD2 =ACBD.例2、如圖,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個動點(diǎn)(不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使ADE=45（1）求證：ABDDCE；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系式及自變量x值范圍，并求出當(dāng)x為何值時AE取得最小值？（3）在AC上是否存在點(diǎn)E，使得ADE為等腰三角形？若存在，求AE的長；若不存在，請說明理由？例3、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFE=B：1）求證：ADFDEC； 2）若AB=4，,AE=3，求AF的長。ABCDEF考點(diǎn)二：射影定理：例4、如圖，在RtABC中，ACB=90,CDAB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的長。例5、如圖，已知正方形ABCD，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，且AF=AD，EGCF于點(diǎn)G，（1）求證：AEFBCE； （2）試說明：EG2=CGFG.例6、已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連結(jié)AF和CE（）求證：四邊形AFCE是菱形；（）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長；（）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2ACAP？若存在，請說明點(diǎn)的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由考點(diǎn)三：相似之共線線段的比例問題：例7、已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，過P的直線與AD、BC、CD的延長線、AB的延長線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.求證：例8、如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長，交AD于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)F（1）求證：PC2=PEPF；（2）若菱形邊長為8，PE=2，EF=6，求FB的長例9、如圖，CD是RtABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延長線于F求證：BDCF=CDDF例10、如圖：已知在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、BC延長線上的點(diǎn)，且BD=CE，直線CD與AE相交于點(diǎn)F（1）求證：DC=AE；（2）求證：AD2=DCDF例11、如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EFAE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，BGAC，垂足為G，BG交AE于點(diǎn)H（1）找出與ABH相似的三角形，并證明；（2）若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB，AB=2，求EM的長例12、如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N求證：（1）AE=CG；（2）ANDN=CNMN例13、如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DHBM且與AC的延長線交于點(diǎn)E求證：（1）AEDCBM； （2）AECM=ACCD例14、如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F（1）求證：FD2=FBFC；（2）若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由例15、如圖，四邊形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.(1)ACF與ACG相似嗎？說說你的理由.(2)求1+2的度數(shù).考點(diǎn)四：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用：例16、如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上（1）若這個矩形是正方形，那么邊長是多少？（2）若這個矩形的長PQ是寬PN的2倍，則邊長是多少？例17、已知左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m。一個身高1.6m的人沿著正對著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看見右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C？例18、兩顆樹的高度分別為AB=6m，CD=8m，兩樹的根部間的距離AC=4m，小強(qiáng)沿著正對這兩棵樹的方向從左向右前進(jìn)，如果小強(qiáng)的眼睛與地面的距離為1.6m，當(dāng)小強(qiáng)與樹AB的距離小于多少時，就不能看到樹CD的樹頂D？例19、小亮想利用太陽光下的影子測量校園內(nèi)一棵大樹的高，小亮發(fā)現(xiàn)因大樹靠近學(xué)校圍墻，大樹的影子不全落在地面上，如圖所示，經(jīng)測量，墻上影高CD=1.5m，地面影長BC=10m若此時1米高的標(biāo)桿的影長恰好為2m請你求出這棵大樹AB的高度例20、如圖，九年級的數(shù)學(xué)活動課上，小明發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD與地面成30角，且此時測得1米桿的影長為2米，求電線桿的高度例21、如圖，有一路燈桿AB（底部B不能直接到達(dá)），在燈光下，小明在點(diǎn)D處測得自己的影長DF=3m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測得自己得影長FG=4m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿AB的高度考點(diǎn)五：相似三角形中的動點(diǎn)問題：例22、在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動時間（0t6），那么當(dāng)t為何值時，APQ與ABD相似？說明理由 例23、如圖，在ABC中，B=90，AB=6米，BC=8米，動點(diǎn)P以2米/秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動同時，動點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，它們都停止移動設(shè)移動的時間為t秒（1）當(dāng)t=2.5秒時，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時，寫出t的值。例24、如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x（1）當(dāng)x為何值時，PQBC；（2）當(dāng)SBCQ:SABC=1:3 ，求SBPQ:SABC的值；（3）APQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由例25、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（6，0），（6，8）動點(diǎn)M、N分別從O、B同時出發(fā)，都以每秒1個單位的速度運(yùn)動，其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)N作NPBC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知動點(diǎn)運(yùn)動了x秒（1）用含x的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)（直接寫出答案）；（2）設(shè)y=S四邊形OMPC，求y的最小值，并求此時x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由例26、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過P作PFAE于F（1）求證：PFAABE；（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動時，設(shè)PA=x，是否存在實(shí)數(shù)x，使以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形也與ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由例27、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x27x+12=0的兩根（OAOB），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位