汽車及發(fā)動機(jī)優(yōu)化設(shè)計練習(xí)及答案.doc

一、填空題1 目標(biāo)函數(shù) 是設(shè)計變量的標(biāo)量函數(shù)。2.組成優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的三要素是 設(shè)計變量 、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件 。3.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的一般過程中， 建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型 是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。4設(shè)計空間中的一個點就是一種 設(shè)計方案 。5設(shè)計空間是 所有設(shè)計方案 的集合6下降迭代算法中的三個要素是：搜索方向 、搜索步長 、收斂準(zhǔn)則 。7方向?qū)?shù)是函數(shù)在某點 沿指定方向的變化率 。8約束條件可以用數(shù)學(xué) 等式 或 不等式 來表示。9.目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1, 空間中描述出來，為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用 目標(biāo)函數(shù)等值面 的方法。10.二元函數(shù)在某點處取得極值的必要條件是 充分條件是 該點處的海賽矩陣正定11多元函數(shù)F(x)在x*處梯度F(x*) = 0是極值存在的 必要 條件。12.拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將 等式約束 優(yōu)化問題變成 無約束 優(yōu)化問題，這種方法又被稱為 升維 法。13.數(shù)值解法的一般迭代公式是 ，其核心是 建立搜索方向， 和 計算最佳步長 14公式表示了數(shù)值迭代搜索法由K到點（K1）間的搜索情況，式中表示 搜索方向 ，表示 搜索步長 。15由于函數(shù)極值點的必要條件是函數(shù)在這一點的梯度值的模為 0 ，因此當(dāng)?shù)c的函數(shù)梯度的模已充分小時，則認(rèn)為 迭代可以終止 。16凸規(guī)劃的一個重要性質(zhì)是：凸規(guī)劃的任何局部極小解一定是 全局最優(yōu)解 。17.函數(shù)在點處的梯度為，海賽矩陣為18函數(shù)變化率最大的方向是 梯度方向 ，函數(shù)變化率最大的數(shù)值是 梯度的模。19函數(shù)F(x)= 3x12+x22- 2x1 x2+2在點(1，0)處的梯度為 (6,-2)T 。20黃金分割法又叫 0.618 法是一種 等比例 縮短區(qū)間的直接搜索方法。21在單峰搜索區(qū)間a,b內(nèi),任取兩個試算點a1,a2,若兩點的函數(shù)值F(a1) F(a2),則縮小后的區(qū)間 a1,b 。22.最速下降法以 負(fù)梯度 方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為 梯度法，其收斂速度較 慢 。23. 改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴(kuò)張，收縮，壓縮 24各種多維優(yōu)化方法之間的主要差異是在于構(gòu)造的 搜索方向 。二、單項選擇題1（ D ）更適合表達(dá)優(yōu)化問題的數(shù)值迭代搜索求解過程。A曲線或曲面 B曲線或等值面 C曲面或等值線 D等值線或等值面 2機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計問題多屬于（ C ）優(yōu)化問題。 A. 約束線性 B. 無約束線性 C. 約束非線性 D. 無約束非線性3當(dāng)設(shè)計變量數(shù)目（ B ）時，該設(shè)計問題稱為中型優(yōu)化問題。 A. n10 B. n1050 C. n50 D. n50 4梯度方向是函數(shù)具有（ D ）的方向。 A. 最速下降 B. 最速上升 C. 最小變化 D. 最大變化率。 5若矩陣A的各階順序主子式均大于零，則該矩陣為（ A ）矩陣A. 正定 B. 正定二次型 C. 負(fù)定 D. 負(fù)定二次型6為了確定函數(shù)單峰區(qū)間內(nèi)的極小點，可按照一定的規(guī)律給出若干試算點，依次比較各試算點的函數(shù)值大小，直到找到相鄰三點的函數(shù)值按（ A ）變化的單峰區(qū)間為止。 A. 高低高 B. 高低低 C. 低高低 D. 低低高。7梯度法和牛頓法可看作是（C）的一種特例。 A. 共軛梯度法B. 共軛方向法 C. 變尺度法 D. 復(fù)合形法8. 數(shù)F(X)為在區(qū)間10，20內(nèi)有極小值的單峰函數(shù)，進(jìn)行一維搜索時，取兩點13和16，若F(13)F(16)，則縮小后的區(qū)間為（ A ）。 A10，16 B10，13 C13，16 D16，209目標(biāo)函數(shù)F(x)= x12+x22-x1 x2，具有等式約束，其等式約束條件為h(x)= x1+ x2 -1=0，則目標(biāo)函數(shù)的極小值為（ C ）。 A1 B0.5 C0.25 D0.110一個多元函數(shù)F(x)在x*附近偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則該點為極小值點的充要條件是（ C ）。 A.F(x*) = 0 C.F(x*) = 0, G(x*) 正定 B. G(x*) = 0 D.F(x*) = 0, G(x* 負(fù)定11對于多元函數(shù)的無約束優(yōu)化問題，判斷其最優(yōu)點可以根據(jù)（ A）。 A目標(biāo)函數(shù)的梯度判定 C目標(biāo)函數(shù)的形態(tài)判定B目標(biāo)函數(shù)的凹凸性判定 D目標(biāo)函數(shù)值的大小判定 12若矩陣A的所有奇數(shù)階主子式小于零，而所有偶數(shù)階主子式大于零，則該矩陣為（C ）矩陣。 A正定 B正定二次型 C負(fù)定 D負(fù)定二次型13求多維優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)的極值時，迭代過程每一步的格式都是從某一定點xk出發(fā)，沿著某一使目標(biāo)函數(shù)（ D ）的規(guī)定方向S(K)搜索，以找出此方向的極小點X（K1）。 A正定 B負(fù)定 C上升 D下降140.618法是一種（ C ）縮短區(qū)間的直接搜索方法。 A等和 B等差 C等比 D等積15海森矩陣H(X(0)其逆矩陣H(X(0)1為（ B ）。 A B C D 16多元函數(shù)F(X)在X*處存在極大值的充分必要條件是：在X*處的Hessian矩陣（ C ）。 A等于零 B大于零 C負(fù)定 D正定17對于一個無約束優(yōu)化問題,若其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)易計算,且設(shè)計變量不多(n 20),宜選用的優(yōu)化方法是（ A ）。 A擬牛頓法 B變尺寸法 C0.618法 D二次插值法18機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中，凡是可以根據(jù)設(shè)計要求事先給定的獨立參數(shù)，稱為（ C ）。 A設(shè)計變量 B目標(biāo)函數(shù) C設(shè)計常量 D約束條件19當(dāng)設(shè)計變量數(shù)目（ A ）時，該設(shè)計問題稱為小型優(yōu)化問題。 An10 Bn1050Cn50 Dn5020當(dāng)滿足（ A ）條件時，矩陣A為正定矩陣。A各階順序主子式均大于零 C各階順序主子式均小于零B所有偶數(shù)階主子式大于零 D所有奇數(shù)階主子式小于零21在任何一次迭代計算過程中，當(dāng)起步點和搜索方向確定后，求系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)的極小值關(guān)鍵就在于求出（ C ）的最優(yōu)值問題。 A約束 B等值線 C步長 D可行域22在設(shè)計空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)值相等點的連線，對于三維以上問題，構(gòu)成了（ D ）。A等值域 C同心橢圓族B等值面 D等值超曲面23在下列無約束優(yōu)化方法中，（ C ）需要計算Hessian矩陣。 Apowell法 C牛頓法 B.梯度法 D共軛梯度法24優(yōu)化設(shè)計的自由度是指（ A ）。A 設(shè)計空間的維數(shù) C 可選優(yōu)化方法數(shù)B 所提目標(biāo)函數(shù)數(shù) D 所提約束條件數(shù)25. 對于函數(shù)F(x)=x12+2x22,從初始點x(0)=1，1T出發(fā)，沿方向s(0)= -1，-2T進(jìn)行一維搜索，最優(yōu)步長因子為（ B ）。 A10/16 B5/9 C9/34 D1/226函數(shù)在點處的梯度是（ C ）。 A B C D 27優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型中，設(shè)計變量是一組（ C ）的基本參數(shù)。 A相互依賴 B互為因果關(guān)系 C相互獨立 D相互約束28在設(shè)計空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)值相等點的連線，對于二維問題，構(gòu)成了（ A ）。 A等值線 B等值面 C同心橢圓族 D等值超曲面29工程優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是求解（ A ）的極限值。 A多變量非線性函數(shù) C多變量線性函數(shù) B少變量非線性函數(shù) D多常量線性函數(shù)30函數(shù)f(X)在給定點X(K)的梯度向量是函數(shù)等值線在該點X(K)的（ D ）方向。 A趨近線方向 B平行線方向 C切線方向 D法線方向31f(X1，X2)在點X處存在極小值的充分條件是：要求函數(shù)在X處的Hessian矩陣H(X)為（ B ）。 A負(fù)定 B正定 C各階方子式小于零D各階方子式等于零32利用黃金分割法選取內(nèi)分點原則是每次舍棄的區(qū)間是原區(qū)間的（ C ）倍。A0.618 B0.5 C0.382 D0.7533已知函數(shù)F(X)=x12+x22-3x1x2+x1-2x2+1，則其Hessian矩陣是（ A ）。A B C D 34n元函數(shù)在點附近沿著梯度的正向或反向按給定步長改變設(shè)計變量時，目標(biāo)函數(shù)值（ A ）。 A變化最大 B變化最小 C近似恒定 D變化不確定35當(dāng)設(shè)計變量數(shù)目（ D ）時，該設(shè)計問題稱為大型優(yōu)化問題。 An10 Bn1050Cn50 Dn50 36工程優(yōu)化設(shè)計問題大多是（ C ）規(guī)劃問題。 A多變量無約束的非線性 C多變量有約束的非線性 B多變量無約束的線性 D多變量有約束的線性37函數(shù)的梯度是一個（ B ）。 A標(biāo)量 B向量 CT階偏導(dǎo)數(shù)D一階偏導(dǎo)數(shù)38黃金分割法是一種等比的縮短區(qū)間的（ B ）方法。 A間接搜索 B直接搜索 C下降搜索 D上升搜索39實際工程中約束問題的最優(yōu)值f(X*)不一定是目標(biāo)函數(shù)的自然最小值，但它卻是（ C ）的最小值。 A函數(shù)可行域內(nèi) B約束條件限定下C約束條件限定的可行域內(nèi) D轉(zhuǎn)化為無約束下40利用0.618法在搜索區(qū)間a,b內(nèi)確定兩點a1=0.382,b1=0.618，由此可知區(qū)間a,b的值是（ D ）。A 0,0.382 C 0.618,1 B 0.382,1 D 0,141約束極值點的庫恩塔克條件為F(X)=，當(dāng)約束條件gi(X)0(i=1,2,m) 和i0時，則q應(yīng)為（ B ）。 A等式約束數(shù)目 B起作用的等式約束數(shù)目 C不等式約束數(shù)目 D起作用的不等式約束數(shù)目42n元函數(shù)F(X)在點X處梯度的模為（ D ）。 A|F|= B|F|= C|F|= D|F|=43已知函數(shù)F(X)=-x1x2+1，則其Hessian矩陣是（ A ）。 A B C D44在設(shè)計空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)值相等點的連線，對于四維以上問題，構(gòu)成了（ D ）。A等值域 B等值面 C同心橢圓族 D等值超曲面45一維優(yōu)化方程可用于多維優(yōu)化問題在既定方向上尋求（ C ）的一維搜索。 A最優(yōu)方向B最優(yōu)變量 C最優(yōu)步長 D最優(yōu)目標(biāo)46凡在可行域內(nèi)的任一設(shè)計點都代表了一允許采用的方案，這樣的設(shè)計點稱為（ D ）。 A邊界設(shè)計點 B極限設(shè)計點 C外點 D可行點47當(dāng)滿足（ B ）條件時，矩陣A為負(fù)定矩陣。A各階順序主子式均大于零 C各階順序主子式均小于零B所有參數(shù)階主子式小于零 D所有參數(shù)階主子式大于零48（ A ）的主要優(yōu)點是省去了Hessian矩陣的計算，被公認(rèn)為是求解無約束優(yōu)化問題最有效的算法之一。A變尺度法 C懲罰函數(shù)法B復(fù)合形法 D坐標(biāo)輪換法 三、簡答題 1什么是內(nèi)點懲罰函數(shù)法？什么是外點懲罰函數(shù)法？他們適用的優(yōu)化問題是什么？在構(gòu)造懲罰函數(shù)時，內(nèi)點懲罰函數(shù)法和外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子的選取有何不同？ 1）內(nèi)點懲罰函數(shù)法是將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內(nèi)點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。 內(nèi)點懲罰函數(shù)法的懲罰因子是由大到小，且趨近于0的數(shù)列。相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為 為懲罰因子的縮減系數(shù)，其為小于1的正數(shù)，通常取值范圍在2）外點懲罰函數(shù)法簡稱外點法，這種方法新目標(biāo)函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子，它是由小到大，且趨近于的數(shù)列。懲罰因子按下式遞增，式中為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常取2共軛梯度法中，共軛方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？試畫圖說明。. 對于二次函數(shù)，,從點出發(fā)，沿G的某一共軛方向作一維搜索，到達(dá)點，則點處的搜索方向應(yīng)滿足，即終點與始點的梯度之差與的共軛方向正交。3為什么說共軛梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)？.答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個共軛向量都依賴于迭代點處的負(fù)梯度構(gòu)造出來的。共軛梯度法的第一個搜索方向取負(fù)梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法的實質(zhì)是對最速下降法的一種改進(jìn)。5.算法的收斂準(zhǔn)則由哪些？試簡單說明。略6.優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型一般有哪幾部分組成？簡單說明。略7簡述復(fù)合形法的基本思路略三、計算題1試用牛頓法求的最優(yōu)解，設(shè)。（迭代一次即可）初始點為，則初始點處的函數(shù)值和梯度分別為 ，沿梯度方向進(jìn)行一維搜索，有 為一維搜索最佳步長，應(yīng)滿足極值必要條件 ，從而算出一維搜索最佳步長 則第一次迭代設(shè)計點位置和函數(shù)值，從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進(jìn)行下去，便可求得最優(yōu)解。2、試用黃金分割法求函數(shù)的極小點和極小值，設(shè)搜索區(qū)間（迭代一次即可）解：顯然此時，搜索區(qū)間，首先插入兩點，由式計算相應(yīng)插入點的函數(shù)值。因為。所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，即。第一次迭代：插入點，相應(yīng)插入點的函數(shù)值，由于，故消去所以消去區(qū)間，得到新的搜