高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.4 基本不等式課件 新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 1 2 3 1 重要不等式當(dāng)a b是任意實(shí)數(shù)時(shí) 有a2 b2 2ab 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí) 等號(hào)成立 名師點(diǎn)撥1 公式中a b的取值是任意的 a和b代表的是實(shí)數(shù) 它們既可以是具體的數(shù)字 也可以是比較復(fù)雜的代數(shù)式 因此其應(yīng)用范圍比較廣泛 今后有不少不等式的證明就是根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化 使之可以利用該公式來(lái)證明 2 公式中a2 b2 2ab常變形為ab 或a2 b2 2ab 4ab或2 a2 b2 a b 2等形式 要注意靈活掌握 1 2 3 2 基本不等式當(dāng)a 0 b 0時(shí) 有 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí) 等號(hào)成立 名師點(diǎn)撥基本不等式的常見(jiàn)變形 1 2 3 3 基本不等式與最值已知x y都是正數(shù) 1 若x y s 和為定值 則當(dāng)x y時(shí) 積xy取得最大值 2 若xy p 積為定值 則當(dāng)x y時(shí) 和x y取得最小值 1 2 3 練一練已知x 0 y 0 1 如果xy 4 則x y的最小值是 2 如果x y 4 則xy的最大值是 解析 1 x 0 y 0 xy 4 x y 2 4 當(dāng)且僅當(dāng)x y 2時(shí) 等號(hào)成立 x y的最小值為4 2 當(dāng)x y 4時(shí) xy 4 當(dāng)且僅當(dāng)x y 2時(shí) 等號(hào)成立 xy的最大值為4 答案 44 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一利用基本不等式證明不等式1 兩個(gè)不等式都具有放縮的功能 因此利用不等式可將數(shù)式放大或縮小 即可用來(lái)判斷大小關(guān)系 2 利用基本不等式證明不等式 1 利用基本不等式證明不等式時(shí) 可依據(jù)求不等式兩端的結(jié)構(gòu) 合理選擇基本不等式及其變形不等式來(lái)證 如a2 b2 2ab a b r 可變形為 a 0 b 0 可變形為ab 等 同時(shí)要從整體上把握基本不等式 如a4 b4 2a2b2 a2b2 b2c2 2 ab bc 都是對(duì) a2 b2 2ab a b r 的靈活應(yīng)用 2 在證明條件不等式時(shí) 要注意 1 的代換 另外要特別注意等號(hào)成立的條件 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題1 1 已知a b c為不全相等的正實(shí)數(shù) 求證 a b c 2 已知a b c為正實(shí)數(shù) 且a b c 1 思路分析 1 左邊是和式 右邊是帶根號(hào)的積式之和 所以用基本不等式 將和變積 并證得不等式 2 不等式右邊數(shù)字為8 使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式 可得三個(gè) 2 連乘 可由此變形入手 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法總結(jié)1 利用基本不等式證明不等式 關(guān)鍵是所證不等式中必須有 和 式或 積 式 通過(guò)將 和 式轉(zhuǎn)化為 積 式或?qū)?積 式轉(zhuǎn)化為 和 式 從而達(dá)到放縮的效果 2 注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到 3 解題時(shí)要注意技巧 當(dāng)不能直接利用不等式時(shí) 可將原不等式進(jìn)行組合 構(gòu)造 以滿足能使用基本不等式的形式 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二利用基本不等式求最值1 利用基本不等式求最值的方法和注意點(diǎn) 對(duì)于基本不等式 1 若a b為定值s 則 即ab有最大值 2 若ab為定值p 則a b 即a b有最小值2 應(yīng)用基本不等式可以求某些函數(shù)或代數(shù)式的最值 但要注意以下三點(diǎn) 1 a b一定為正數(shù) 2 a b與ab有一個(gè)為定值 才能求另一個(gè)的最值 3 等號(hào)必須能取到 以上三點(diǎn)可簡(jiǎn)記為 一正 二定 三相等 且三個(gè)條件缺一不可 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題2 1 若x 0 求f x 4x 的最小值 2 設(shè)02 求x 的最小值 4 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 思路分析 利用基本不等式求最值 當(dāng)積或和不是定值時(shí) 通過(guò)變形使其和或積為定值 再利用基本不等式求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 方法總結(jié)1 利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件 解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)?拆項(xiàng) 添項(xiàng) 配湊 變形 等 以創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件 2 等號(hào)取不到時(shí) 注意利用求函數(shù)最值的其他方法 如函數(shù)單調(diào)性 數(shù)形結(jié)合法 換元法 判別式法等 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練2 1 已知t 0 則函數(shù)的最小值為 2 已知x 0 y 0 且滿足 則xy的最大值為 探究一 探究二 探究三 探究四 解析 1 依題意得 當(dāng)且僅當(dāng)t 1時(shí) 等號(hào)成立 即函數(shù)的最小值是 2 2 因?yàn)閤 0 y 0 所以 當(dāng)且僅當(dāng) 即x y 2時(shí) 等號(hào)成立 即 1 解得xy 3 所以xy的最大值為3 答案 1 2 2 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí) 應(yīng)注意如下的思路和方法 1 先理解題意 設(shè)出變量 一般把要求最值的量定為函數(shù) 2 建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系 把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題 3 在定義域內(nèi) 求出函數(shù)的最大值或最小值 4 根據(jù)實(shí)際背景寫出答案 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例題3某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地 計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層 每層2000平方米的樓房 經(jīng)測(cè)算 如果將樓房建為x x 10 層 則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560 48x 單位 元 為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少 該樓房應(yīng)建為多少層 注 平均綜合費(fèi)用 平均建筑費(fèi)用 平均購(gòu)地費(fèi)用 平均購(gòu)地費(fèi)用 思路分析 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值 探究一 探究二 探究三 探究四 解 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f x 則f x 560 48x 560 48x x 10 x n 所以f x 560 48x 560 2 2000 當(dāng)且僅當(dāng)48x 即x 15時(shí) 等號(hào)成立 因此 當(dāng)x 15時(shí) f x 取最小值f 15 2000 即為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少 該樓房應(yīng)建為15層 探究一 探究二 探究三 探究四 變式訓(xùn)練3 陽(yáng)光蔬菜生產(chǎn)基地計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室 在溫室內(nèi) 沿左 右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道 沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地 當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí) 蔬菜的種植面積最大 最大種植面積是多少 探究一 探究二 探究三 探究四 解 設(shè)矩形溫室的一邊長(zhǎng)為xm 則另一邊長(zhǎng)為m 2 x 200 依題意得種植面積 當(dāng)且僅當(dāng) 4x 即x 20時(shí) 等號(hào)成立 即當(dāng)矩形溫室的一邊長(zhǎng)為20m 另一邊長(zhǎng)為40m時(shí)種植面積最大 最大種植面積是648m2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)不滿足等號(hào)成立的條件致錯(cuò)典型例題4 探究一 探究二 探究三 探究四 錯(cuò)因分析 錯(cuò)解中在用基本不等式求最值時(shí) 沒(méi)考慮到定理成立的條件 實(shí)際上不論x取何值 總有因此本題不能用基本不等式求解 正解 設(shè)t 則y t t 可以證明y t 在 上為增函數(shù) 則即ymin 此時(shí)t 則x 0 12345 1 已知00 x 1 x 當(dāng)且僅當(dāng)x 1 x 即x 時(shí) 等號(hào)成立 答案 b 12345 2 將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2 形狀為直角三角形的框架 在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中 選用最合理 夠用且浪費(fèi)最少 的是 a 6 5mb 6 8mc 7md 7 2m解析 設(shè)兩直角邊分別為a b 直角三角形框架的周長(zhǎng)為l 則ab 2 由于要求夠用且浪費(fèi)最少 故選c 答案 c 12345 3 已知函數(shù)f x 4x x 0 a 0 在x 3時(shí)取得最小值 則a 解析 由基本不等式 得4x 2 4 當(dāng)且僅當(dāng)4x 即x 時(shí) 等號(hào)成立 即 3 a 36 答案 36 12345 4 設(shè)x 3y 2 0 則函數(shù)z 3x 27y 3的最小值是 解析 x 3y