高考數(shù)學(xué)真題——坐標(biāo)系與參數(shù)方程

2018年數(shù)學(xué)全國(guó)1卷在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的直角坐標(biāo)方程；（2）若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程.【解析】（1）由，得的直角坐標(biāo)方程為（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓由題設(shè)知，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)學(xué)#科網(wǎng)當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)綜上，所求的方程為2017年數(shù)學(xué)全國(guó)1卷在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.（1）若a=1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a.（1）曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以.綜上，或.、2016年數(shù)學(xué)全國(guó)1卷在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a0）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：=4cos .（I）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為=0，其中0滿足tan 0=2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.【答案】（I）圓，；（II）1【解析】試題分析：（）把化為直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程；（）聯(lián)立極坐標(biāo)方程進(jìn)行求解.試題解析：解：（）消去參數(shù)得到的普通方程.是以為圓心，為半徑的圓.將代入的普通方程中，得到的極坐標(biāo)方程為.（）曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若，由方程組得，由已知，可得，從而，解得（舍去），.時(shí)，極點(diǎn)也為的公共點(diǎn)，在上.所以.2013年數(shù)學(xué)全國(guó)1卷已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（）?！窘馕觥繉⑾?shù)，化為普通方程，即：，將代入得，的極坐標(biāo)方程為；（）的普通方程為，由解得或，與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（），.2012年數(shù)學(xué)全國(guó)1卷已知曲線的參數(shù)方程式（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程式.正方形的頂點(diǎn)都在上，且依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.（）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）點(diǎn)的極坐標(biāo)為 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 （2）設(shè)；則 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為，則又由得，故，于是直線的斜率在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線上，求面積的最大值（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為，M的極坐標(biāo)為，由題設(shè)知由得的極坐標(biāo)方程因此的直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知,于是OAB面積當(dāng)時(shí)，S取得最大值所以O(shè)AB面積的最大值為在直線坐標(biāo)系xoy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25. （I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；（II）直線l的參數(shù)方程是x=tcos，y=tsin，（t為參數(shù)）,l與C交于A、B兩點(diǎn)，AB=10，求l的斜率?！敬鸢浮浚ǎ唬ǎ?【解析】試題分析：（I）利用，可得C的極坐標(biāo)方程；（II）先將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再利用弦長(zhǎng)公式可得的斜率試題解析：（I）由可得的極坐標(biāo)方程（II）在（I）中建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為由所對(duì)應(yīng)的極徑分別為將的極坐標(biāo)方程代入的極坐標(biāo)方程得于是由得，所以的斜率為或.考點(diǎn)：圓的極坐標(biāo)方程與普通方程互化， 直線的參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離(02)當(dāng)時(shí)，d0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)（1）求的取值范圍；學(xué).科網(wǎng)（2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程解析】（1）的直角坐標(biāo)方程為當(dāng)時(shí)，與交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，記，則的方程為與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或綜上，的取值范圍是（2）的參數(shù)方程為為參數(shù)，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，且，滿足于是，又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos+sin)-=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑解：（1）消去參數(shù)t得l1的普通方程；消去參數(shù)m得l2的普通方程設(shè)P（x,y）,由題設(shè)得，消去k得.所以C的普通方程為（2）C的極坐標(biāo)方程為聯(lián)立得.故，從而代入得，所以交點(diǎn)M的極徑為.在平面坐標(biāo)系中xOy中，已知直線l的參考方程為（t為參數(shù)）,曲線C的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）。設(shè)p為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值解：直線的普通方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，設(shè)，從而點(diǎn)到直線的的距離，當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，曲線上點(diǎn)到直線的距離取到最小值.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).【答案】【解析】試題分析：將參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式或兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng).試題解析：解：橢圓的普通方程為，將直線的參數(shù)方程，代入，得，即，解得，.所以. 已知圓C的極坐標(biāo)方程為，求圓C的半徑.【答案】考點(diǎn)：圓的極坐標(biāo)方程，