第六章-數(shù)字控制器的直接設計PPT課件

1 第六章數(shù)字控制器的直接設計 2 內容與要求 重點掌握 數(shù)字控制器的離散化設計方法 設計步驟 算法實現(xiàn) 一般掌握 最少拍系統(tǒng)的特性 設計方法及其局限性 了解內容 擾動作用下計算機控制系統(tǒng)的設計 復合控制系統(tǒng)設計等 3 計算機控制系統(tǒng)設計就是根據系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能指標要求 在已知被控對象的前提下 確定控制器的數(shù)學模型 控制器設計分為模擬化數(shù)字設計和直接數(shù)字化設計兩種方法 前面所學數(shù)字PID控制器的設計就屬于模擬化數(shù)字設計 模擬化數(shù)字設計方法的主要缺點是采樣周期的值不能取得過大 否則 會使系統(tǒng)性能變差 而直接數(shù)字化設計方法則克服了這個缺點 本章主要學習控制器的直接數(shù)字化設計方法 6 0控制器設計概述 4 離散化設計法是首先將系統(tǒng)中被控對象加上保持器一起構成的廣義對象離散化 得到相應的以Z傳遞函數(shù) 差分方程或離散系統(tǒng)狀態(tài)方程表示的離散系統(tǒng)模型 然后利用離散控制系統(tǒng)理論 直接設計數(shù)字控制器 由于離散化設計法直接在離散系統(tǒng)的范疇內進行 避免了由模擬控制系統(tǒng)向數(shù)字控制器轉化的過程 也繞過了采樣周期對系統(tǒng)動態(tài)性能產生嚴重影響的問題 是目前采用較為廣泛的計算機控制系統(tǒng)設計方法 5 圖6 0是數(shù)字控制系統(tǒng)的原理框圖 系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 誤差脈沖傳遞函數(shù)和控制器的傳遞函數(shù)如下 6 6 1最少拍計算機控制系統(tǒng)的設計 最少拍設計 是指系統(tǒng)在典型輸入信號 如階躍信號 速度信號 加速度信號等 作用下 經過最少拍 有限拍 使系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差為零 圖6 1所示是最少拍控制系統(tǒng)結構圖 系統(tǒng)性能指標是調整時間最短 7 6 1 1G z 是穩(wěn)定的且不包括純滯后環(huán)節(jié)有波紋最少拍系統(tǒng)設計 有波紋最少拍控制系統(tǒng)是在最少的幾個采樣周期內達到在采樣時刻輸出無誤差的系統(tǒng) 在系統(tǒng)設計需要考慮的性能指標和約束條件包括 1 穩(wěn)定性 閉環(huán)系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的 2 準確性 系統(tǒng)對典型輸入是無靜差的 3 快速性 在各種使系統(tǒng)在有限拍內到達穩(wěn)態(tài)設計中 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤輸入 4 物理可實現(xiàn)性 D z 必須是物理可實現(xiàn)的 8 首先來設計G z 是穩(wěn)定的且不含純滯后環(huán)節(jié)的有波紋最少拍系統(tǒng)設計 上述條件等價于如下三個條件 1 G z 在單位圓上和圓外無極點 1 j0 點除外 2 G z 在單位圓上和圓外無零點 3 G0 s 中不含純滯后 q是T的整數(shù)倍 9 1 閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為了選擇適當?shù)臄?shù)字控制器D z 可以先將性能指標要求表達成閉環(huán)Z傳遞函數(shù) z 或者閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù) e z 或者開環(huán)Z傳遞函數(shù)D z G z 然后再根據G z 反求出D z 這樣 求得的D z 只要滿足物理可實現(xiàn)的條件 那么D z 就是所要求的數(shù)字控制器 閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為 10 閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)為其中 G z 是已知的 D z 是待求的 而 z e z 是由性能指標確定的 為了確定 z 或 e z 討論在單位階躍 單位速度 單位加速度三種典型輸入信號作用下無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的 z 或 e z 應具有的形式 根據終值定理得 11 對于以上三種典型輸入信號R z 分別為單位階躍 單位速度 單位加速度 可統(tǒng)一表達為 式A z 中為不含因子的z 1的多項式 12 對于單位階躍 m 1 單位速度 m 2 單位加速度 m 3 則有若要求穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件是 e z 應具有如下形式則其中F z 是待定的不含因子 1 z 1 的關于z 1的有理分式或的有限項多項式 m是R z 的分母 1 z 1 的階數(shù) 13 為使穩(wěn)態(tài)誤差最快衰減到零 即為最少拍系統(tǒng) 就應使 e z 最簡單 即階數(shù)n最小 即完全可以想象若取F z 1 則 e z 最簡單 則得到無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的希望閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)就應為希望閉環(huán)Z傳遞函數(shù)應為 14 對于不同輸入 e z z 形式如下 單位階躍 單位速度 單位加速度 由上式可知 使誤差衰減到零或輸出完全跟蹤輸入所需的調整時間 即為最少拍數(shù)對應于m 1 2 3分別為1拍 2拍 3拍 2 D z 的確定根據給定的G z 可由滿足性能指標要求的希望開環(huán)Z傳遞函數(shù)直接求解出對應于m 1 2 3時的數(shù)字控制器D z 15 由于則 16 3 有波紋最少拍系統(tǒng)分析 1 單位階躍輸入時也就是說 系統(tǒng)經過1拍 輸出就可以無差地跟蹤上輸入的變化 即此時系統(tǒng)的調節(jié)時間ts T T為系統(tǒng)采樣時間 誤差及輸出系列如圖6 2所示 17 0T2T 1 e kT kT 0T2T3T4T5T 1 y kT kT 圖6 2單位階躍輸入時的誤差及輸出序列 18 2 單位速度輸入時也就是說 系統(tǒng)經過2拍 輸出就可以無差地跟蹤上輸入的變化 即此時系統(tǒng)的調節(jié)時間ts 2T T為系統(tǒng)采樣時間 誤差及輸出系列如圖6 3所示 19 20 3 單位加速度輸入時也就是說 系統(tǒng)經過3拍 輸出就可以無差地跟蹤上輸入的變化 即此時系統(tǒng)的調節(jié)時間ts 3T T為系統(tǒng)采樣時間 誤差及輸出系列如圖6 4所示 21 0T2T3T e kT kT 0T2T3T4T 8T26T24T22T2 y kT kT 圖6 4單位加速度輸入時的誤差及輸出序列 22 由上面討論可以看出 最少拍控制器設計時 e z 或 z 的選取與典型輸入信號的形式密切相關 即對于不同的輸入R z 要求使用不同的閉環(huán)Z傳遞函數(shù) 所以這樣設計出的控制器對各種典型輸入信號的適應能力較差 若運行時的輸入信號與設計時的輸入信號形式不一致 將得不到期望的最佳性能 例6 1對于圖6 1所示的系統(tǒng) 設T 1s 輸入為單位速度函數(shù) 要求系統(tǒng)為無穩(wěn)態(tài)誤差和過渡過程時間為最少拍 試確定數(shù)字控制器D z 解 23 為滿足等速度輸入時無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍要求 則應選則得到驗證所求D z 能否滿足性能指標要求 24 輸出和誤差變化的動態(tài)過程如圖6 3所示 從圖中可以看出 系統(tǒng)在單位等速度信號輸入作用下 系統(tǒng)經過了兩個采樣周期以后 系統(tǒng)在采樣點上的過渡過程結束 調整時間為2拍 且在采樣點上 系統(tǒng)的輸出完全跟蹤輸入 穩(wěn)態(tài)誤差為零 因此 所求得數(shù)字控制D z 完全滿足設計指標要求 上例是針對等速度信號輸入下設計的無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D z 那么所設計的系統(tǒng)在單位階躍或在單位加速度輸入作用時 系統(tǒng)的輸出情形如何 25 對于單位階躍信號輸入 則由此可知 也是經過2拍后過渡過程結束 但在第一個采樣時刻時 有100 的超調量 其輸出變化的動態(tài)過程如圖6 6 a 所示 26 對于單位加速度信號輸入 則由此可知 過渡過程仍為2拍 但有恒定的穩(wěn)態(tài)誤差 其輸出變化的動態(tài)過程如圖6 6 b 所示 27 28 6 1 2任意廣義對象的最少拍控制器設計 上面所設計的最少拍控制系統(tǒng)是在滿足三個假設 1 G z 在單位圓上和圓外無極點 1 j0 點除外 2 G z 在單位圓上和圓外無零點 3 G0 s 中不含純滯后 q是T的整數(shù)倍 條件下進行的 29 當三個假設條件不滿足時 如何進行設計 問題一 如圖6 1所示的系統(tǒng)得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)如果G z 中含有Z平面單位圓外或圓上的極點 在系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)中 D z 一般總是和G z 成對出現(xiàn) 那么能否用當D z 的相關零點去抵消G z 中所含Z平面單位圓外或圓上的極點呢 30 問題二 又得到當G z 中含有Z平面單位圓外或圓上的零點時 該零點將成為控制變量U z 的不穩(wěn)定極點 從而使控制變量U z 輸出不穩(wěn)定 造成整個閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 那么又如何消除G z 中Z平面上單位圓外或圓上的零點對控制變量的影響呢 31 問題三 D z 的一般表達式為 要求n m 若n m 則分子會出現(xiàn)z的正冪項 另外 要求a0 0 否則相當于分母降低了一階 也會使分子出現(xiàn)z的正冪項 如果被控對象含有純滯后z p 若按式求取的D z 將會含zp的因子 故物理上不能實現(xiàn) 那么又該如何辦呢 32 為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 當G z 中含有Z平面單位圓外或圓上的零 極點時 用D z 的零點或極點抵消G z 的極點或零點是不允許的 這是因為 若要是使G z 在單位圓上和圓外的零點抵消掉 D z 分母中必然含有相應的不穩(wěn)定極點 從而使D z 不穩(wěn)定 另外 如果D z 抵消了G z 的不穩(wěn)定極點 則D z 必然包含相應的單位圓上和圓外的零點 這樣 在理論上可以得到一個穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng) 但這種穩(wěn)定是建立在零極點準確抵消的基礎上 在實際控制系統(tǒng)中 由于存在對系統(tǒng)參數(shù)辨識的誤差及參數(shù)受外界環(huán)境影響及隨時間的變化 這種零極點抵消是不可能準確實現(xiàn)的 從而系統(tǒng)不能真正穩(wěn)定 33 因此 要使系統(tǒng)補償成穩(wěn)定系統(tǒng) 就必須采取其它方法 即必須在確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) z 時增加附加條件 由可知 要避免G z 在單位圓上或圓外的零極點與D z 的極點和零點抵消 則必須使得 1 當G z 有單位圓上或圓外的極點時 在 e z 表達式中應把這些極點作為其零點而保留 問題一 2 當G z 有單位圓上或圓外的零點時 在 z 表達式中應把這些零點作為其零點而保留 問題二 3 G z 有滯后環(huán)節(jié)時 z 應包含之 問題三 具體實現(xiàn)如下面所示 34 設最少拍系統(tǒng)廣義Z傳遞函數(shù)為其中 b1 b2 bu是G z 的u個不穩(wěn)定零點 a1 a2 av是G z 的v個不穩(wěn)定極點 是G z 中不包含Z平面單位圓外或圓上的極 零點時的部分 z N為G z 中含有的純滯后環(huán)節(jié) 35 為避免發(fā)生D z 與G z 的不穩(wěn)定零極點對消 應滿足如下穩(wěn)定性條件 1 e z 的零點應包含G z 中全部不穩(wěn)定的極點 其中 F1 z 是關于z 1的多項式且不包含G z 中的不穩(wěn)定極點aj 除 1 j0 外 36 2 G z 在單位圓上或圓外的零點應全部包含在閉環(huán)Z傳遞函數(shù) z 的零點中 其中 是關于z 1的多項式且不包含G z 中的不穩(wěn)定零點bi 37 3 如果G z 中含有純滯后的環(huán)節(jié)即z N N為整數(shù) 則G z 分子中的z 1因子應全部包含在 z 分子中 這會使系統(tǒng)過渡過程時間延長 其中 F2 z 是關于z 1的多項式且不包含G z 中的純滯后的環(huán)節(jié)和不穩(wěn)定零點bi 因此 滿足了上述穩(wěn)定性條件后的D z 不再包含G z 的Z平面單位圓上或單位圓外零極點和純滯后的環(huán)節(jié) 38 要滿足上述限制條件 e z 1 z 1 mF z 中的F z 不能簡單地使F z 1 而應選F z 的零點中含G z 的全部不穩(wěn)定極點 并使 e z 為最簡單形式 使E z 含z 1因子的多項式的項數(shù)最少 使誤差以最快速度衰減到零 綜上所述 得到滿足上述限制條件的閉環(huán)Z傳遞函數(shù) z 和閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù) e z 的一般形式為其中k為常系數(shù) 39 其中例6 3對于圖6 1所示的系統(tǒng) 設 T 1s試求數(shù)字控制器D z 使系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下 無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍 40 解 G z 中含有一個單位圓外的零點 1 14 一個z 1因子 沒有不穩(wěn)定的極點 m 1 u 1 v 0 N 1 根據上述條件 得 41 42 得調整時間2拍 無超調 如果輸入為單位速度函數(shù) 則 43 44 6 2無波紋最少拍計算機控制系統(tǒng)設計 按最少拍控制系統(tǒng)設計出來的閉環(huán)系統(tǒng) 在有限拍后即進入穩(wěn)態(tài) 這時閉環(huán)系統(tǒng)輸出在采樣時刻精確地跟蹤輸入信號 然而 進一步研究可以發(fā)現(xiàn)雖然在采樣時刻閉環(huán)系統(tǒng)輸出與所跟蹤的參考輸入一致 但是在兩個采樣時刻之間 系統(tǒng)的輸出存在著紋波或振蕩 這種紋波不但影響系統(tǒng)的控制性能 產生過大的超調和持續(xù)振蕩 而且還增加了系統(tǒng)功率損耗和機械磨損 下面通過實例說明最少拍系統(tǒng)波紋的存在 45 例6 4對于圖6 7所示的系統(tǒng) 設T 1s 輸入為單位階躍信號 試確定最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D z 并分析系統(tǒng)輸出響應 46 解 G z 中沒有單位圓上或單位圓外的零極點 所以利用廣義Z變換 可求出系統(tǒng)的輸出響應 47 設 0 5 則其輸出響應如圖6 8所示 可以看出系統(tǒng)輸出存在波紋 48 進一步分析可知 產生波紋的原因是數(shù)字控制器D z 輸出序列u t 在系統(tǒng)輸出y t 過渡過程結束后 還在圍繞其平均值不停地波動 49 其輸出如圖6 9所示 50 由于系統(tǒng)在采樣點上是閉環(huán)控制 采樣點之間產生的波紋不能反映在采樣點信號上 也就是對采樣點之間的信號不能形成閉環(huán)控制 在最少拍控制系統(tǒng)設計中 雖然考慮了可實現(xiàn)性和穩(wěn)定性問題 但是在設定 z 時 考慮了被控對象G z 在單位圓上和單位圓外的零點 而對G z 在單位圓內的零點沒有考慮 在典型信號輸入下 控制器的z傳遞函數(shù)由下式可得可見G z 在單位圓內的零點成為D z 的極點 位于單位圓內的負實軸上或第二 第三象限內 控 51 制輸出U z 必有振蕩衰減 由以上分析可見 要得到最少拍無波紋系統(tǒng)設計 其閉環(huán)z傳遞函數(shù) z 必須包含被控對象G z 的所有零點 設計的控制器D z 中消除了引起波紋振蕩的所有極點 采樣點之間的波紋也就消除了 此時 系統(tǒng)的閉環(huán)z傳遞函數(shù) z 中的z 1的冪次增高 系統(tǒng)的調整時間增長了 因此 最少拍無波紋設計要求 z 的零點包含G z 的全部零點 這就是最少拍無波紋設計與最少拍有波紋設計唯一不同之處 52 設最少拍系統(tǒng)廣義Z傳遞函數(shù)為其中 b1 b2 bu是G z 的u個零點 a1 a2 av是G z 的v個不穩(wěn)定極點 f1 f2 fw是G z 的w個穩(wěn)定極點 k1為常系數(shù) z 1為G z 中含有的純滯后環(huán)節(jié) 53 則可得其中k為常系數(shù) 其中由此得到數(shù)字控制器 54 例6 5對于圖6 7所示的系統(tǒng) 設T 1s 試按輸入為單位階躍信號 確定無波紋最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D z 解 55 數(shù)字控制器的輸出為 系統(tǒng)在采樣點的輸出為 可見D z e z 為關于z 1的有限多項式 并且u t 經過2拍后過渡過程結束 同時 經過兩拍后y t 的過渡過程也結束了 也就是u t 與y t 同時結束過渡過程 56 在上例中 如果按輸入為單位速度信號 來確定無波紋最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D z 則有 57 6 3在擾動作用下計算機控制系統(tǒng)的設計 實際的控制系統(tǒng)中 除了有參考輸入之外 常常還有擾動作用 干擾幾乎在任何處即可進入系統(tǒng) 為了便于討論 可將干擾歸并在零階保持器和被控制對象之間 如圖6 15所示 現(xiàn)在產生的問題是 針對參考輸入而設計的系統(tǒng) 是否能有效地克服干擾f t 所產生的影響 在很多情況下 針對參考輸入而設計的系統(tǒng) 對抑制較弱的干擾作用所產生的影響 也有較好的效果 這正是負反饋控制系統(tǒng)所具有優(yōu)點之一 然而 如果干擾作用較嚴重 或設計的著眼點主要是針對干擾所產生的影響 則必須研究新的設計方法 58 由于負反饋控制系統(tǒng)的自動調節(jié)作用的優(yōu)點 按前面方法只針對參與輸入所設計的數(shù)字控制器D z 或閉環(huán)Z傳遞函數(shù) z 對抑制弱擾動作用的影響是很有效的 這種情況下不必修改原設計的D z 或 z 但在強擾動作用下 一般就須修改原設計 59 6 3 1針對擾動作用的設計 輸入為零 假設存在擾動的控制系統(tǒng)如圖6 15所示 當只存在擾動作用時 此時r t 0 擾動系統(tǒng)的等效圖如圖6 16所示 60 根據線性系統(tǒng)的迭加原理 系統(tǒng)只存在擾動時的輸出響應為取Z變換得 其中得到 61 系統(tǒng)輸出對擾動的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為 于是得到數(shù)字控制器 62 針對擾作用的系統(tǒng)的設計方法是 1 根據系統(tǒng)運行的實際情況 確定設計中所針對的干擾輸入作用F z 2 根據消除干擾所引起的輸出響應的要求 例如無穩(wěn)態(tài)誤差 最快速的瞬變響應 穩(wěn)定性等 以及D z 物理可實現(xiàn)的約束 確定輸出對擾動的閉環(huán)Z傳遞函數(shù) f z 所采用的方法與前幾節(jié)介紹的方法基本相同 3 確定數(shù)字控制器D z 并編寫控制算法程序 63 6 3 2抑制擾動作用的設計 擾動和輸入 再來研究既有參考輸入R s 又有擾動作用F s 的系統(tǒng)的設計方法 對于圖6 15所示的系統(tǒng) 設計分兩步進行 1 首先針對參考輸入 確定閉環(huán)Z傳遞函數(shù) z 2 然后考慮系統(tǒng)對干擾F s 的抑制作用 修改設計的結果 有時不需要修改 如果系統(tǒng)要抑制擾動的影響 則對 f z 的要求是 對于設計中的擾動作用 不產生穩(wěn)態(tài)響應 64 不失一般性 設擾動信號具有以下形式 則在擾動作用下產生穩(wěn)態(tài)響應可由終值定理求得若要求Yf 0 則要求擾動的閉環(huán)Z傳遞函數(shù) f z 具有以下形式 其中 Ff z 為不含 1 z 1 因子的關于z 1的有限多項式 由此可得到以下結論 若系統(tǒng)的擾動的閉環(huán)Z傳遞函數(shù) f z 可以表示成以上的形式 則就不必修改針對參考輸入所確定的數(shù)字控制器D z 否則就要修改原先設計的D z 65 例6 7對于圖6 15所示的系統(tǒng) 設T 0 025s r t 1 t f t 1 t 設計無穩(wěn)態(tài)誤差有波紋最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D z 解 根據最少拍系統(tǒng)設計原則則得到 66 由此可見 f z 不能滿足 則需要修改原設計 進一步分析可知 顯然不符合設計要求 必須修改原先設計的D z 67 則其中得解得 則 68 6 4復合控制系統(tǒng)設計 在一個計算機控制系統(tǒng)中 組合使用反饋與前饋兩種控制 稱之復合控制 復合控制的最大優(yōu)點是易于構成抗外部干擾能力較強的系統(tǒng) 下述復合控制系統(tǒng)的設計特點是可以將希望的控制規(guī)律設計和抗干擾設計分開來進行 圖6 17所示的是既有開環(huán)控制 又有閉環(huán)控制的復合計算機控制系統(tǒng) D1 z 與D2 z 是待確定的數(shù)字控制器 其前饋是引自參考輸入r t 69 70 對于線性系統(tǒng) 參考輸入r t 與擾動作用f t 所引起的輸出響應Yr z 和Yf z 分別為從上式可知 由于擾作用所引起的輸出yf t 與前饋數(shù)字控制器D2 z 無關 因此 我們首先根據消除擾動所引起的輸出響應的要求 確定輸出對擾動的Z傳遞函數(shù) f z 再按上節(jié)介紹的方法 確定數(shù)字控制器D1 z 71 其次 根據對參考輸入所引起的輸出響應的要求 確定閉環(huán)Z傳遞函數(shù) z 再按下式 確定數(shù)字控制器D2 z 由此可見 已把對參考輸入的設計與對擾動作用的設計分離成兩步 進一步分析圖6 17所示的復合計算機控制系統(tǒng) 如果選擇數(shù)字控制器D2 z 為則系統(tǒng)閉環(huán)Z傳遞函數(shù) z 1 這意味著對每一采樣時刻 輸出都完全復現(xiàn)任意輸入 達到抗干擾的目的 72 但是 被控制對象G0 s 總是有慣性的 因此 連續(xù)部分的Z傳遞函數(shù)G z 總是有瞬變滯后的 G z 一般可表為 則因此 前面確定的數(shù)字控制器D2 z 是物理不可實現(xiàn)的 73 為此 再來研究圖6 18所示的復合計算機控制系統(tǒng) 與圖6 17的系統(tǒng)相比 本系統(tǒng)為此增加了數(shù)字控制器D3 z 則系統(tǒng)對參考輸入的輸出響應為 74 若選擇則說明 z 與D1 z 無關 當不考慮擾動作用時 有E z D3 z R z z R z 說明若不存在擾動時 反饋回路可以不參與運行 只有前饋部分參與工作 當存在擾動時 E z G0F z 此時反饋回路參與運行 以消除擾動的影響 75 由此可知 圖6 18所示的復合控制系統(tǒng) 開環(huán)控制部分 即數(shù)字控制器D2 z 和D3 z 負責系統(tǒng)的