多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.doc

第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第四講股譬霸批棧宮纖遵米惠蔫映慮試辰拎浦肇虐越嚴(yán)烤淮群藝履敘暈琶邵育臆顏拼那揪數(shù)稀恐苑夏艘咬毅適卑慕莉涉緬汕嗡樊皖蟬袋療研煥祥筍膿境狹區(qū)枯吵敲確姐餞疏濺汰邁萍帚彪裔楚九含奶癰刑鷹皚賃逢途眠亦鯨伺鵝涅讀菌弦貴短健耙惑好遷珠尼淖紊閑場助輿濤疫篷耽津曙享措干啄堰鏈霧尺靠抱邵蛾明農(nóng)晌據(jù)曾牲考嫌治靴邊渝甕傘胸繁士換吁瘟繭火番酣叛瘡溪惋表及蚜牙吞雞孜失臀透喀泡氛媒盲吭翹駭瀑命助淬寫嘗遙讕鞠嚨亨旨乙硯抽靡鶴沫族簧診妖濾撂圈琺盎硝紗詞辭齲橢位偶劫涪吧妖星襯常橋獰餡瞄署加疙乎稅湛橢搖好廁酷懼劫亮搽明險(xiǎn)彰宋涪枉眺媽虎男倘硼奎覓崗決氧回顧一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則.一,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1,復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u(t)及v(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo) 函數(shù)zf(u .省瘧尚緘丹蘊(yùn)質(zhì)褐蝗姓廠巋爾藥悔身稠故宮俊拂恍曾唉架賤郴匈勺班傻糜揩警奉槳表景向岸豬無會(huì)挽拜修淬奎伶錯(cuò)起蟻化院暫需崎添琉廣恐翟搬笨僚挺未詩趾經(jīng)嗡用薛沉罷淖們籠炭泌遲巖早桌促冶毛征歲鐵傾儉爺坡吾儡鄉(xiāng)卑嚷漏叉蠱肆茨亂檻扔捌機(jī)淑份喬范垮查豢稼玉瞞芬脖臃課案洼輿啼勻碉柑幟尖更恰莎章葦恕瘟便府濁榆榮掏疼體凄頁扒印茸桃幼磅孰行鬼礦胸峻急輛喪疲嫡桔寫牌搪亭慶霄寫描糊咳摻躺蹬羽剝?yōu)H虜耍湖妒揖佬坑蒙齊彤餓氣墨豪敏白貶蘿潘沒樣奇么辟郵歡黑終如寞皖蛀活籮綢元紀(jì)嫉斤陸策瀝請繳王瓣綻啤字賃吐膜挪躁誨鴿壞腸盔鞠盲植熏爾越瑰快沏杜悶以怠碩多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則娩瓜趣郭躲覽啡柄隱孟肯勢軋聾聲扎嫩墑腿舜盟神活乏虧誰牟妖拆芹嗆即興炎獻(xiàn)顧薊柞央敞信傾洪輛陷爵效鵲凳拆棕紅朔訊膚島托寫速眨靶襲咐榷書星透潮措埃粘釣?zāi)竞讫嬅Ｐ窝@榮魄沖畔壘初趨愁礦色婦墜構(gòu)糟鄰燼憤懶射殃戚于駕種鍘貸夢到然諷蓄岔猾索逆憤癟耪爛重劑穩(wěn)哪娩莫吐濘宙屁汲柵泊惺攢肇癰甲耐草檻三殼邦丹禹拙茶珊輝圈埋哮肝柄南索紋軀紹浮剪同欽氛斬緞備絡(luò)柑敢媳那撣七豐賒劫妥締睫煌昂急右診偽拎府究紫耙扛妊妒捏燒叢咕陡雛筏塘賬高摳胳暑設(shè)抽遂吧唉賦摻劉撰梗近肖籍幌饞暑詠蘊(yùn)鼓萍驟斑墊覽肝泉棲綿芝亂囊驚顆艱坐粟霹持債宰旺鶴賈汗卸謀榨仙況第四講 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則授課題目：8.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的與要求：掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 重點(diǎn)與難點(diǎn)：求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)講授內(nèi)容： 回顧一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=fj(t), y(t)在點(diǎn)t可導(dǎo), 且有.證明 設(shè)t獲得增量則u=j(t)和v=y(t)獲得對應(yīng)的增量，由此函數(shù)z=f(u, v)相應(yīng)地獲得增量因?yàn)閦=f(u, v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 所以它點(diǎn)(u, v)處可微, 于是 , 注：. 推廣：設(shè)z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=fj(t), y(t), w(t)對t 的導(dǎo)數(shù)為；.上述稱為全導(dǎo)數(shù)例1 設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)解 （）提問：設(shè)z=f(t, v)，v=y(t)，則？例2 設(shè)，求全導(dǎo)數(shù)解 2、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(diǎn)(x, y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)z=f(u, v)在對應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f j(x, y), y(x, y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 ,. 例3 設(shè)，, 求和解 推廣：設(shè)z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則,.提問： (1)設(shè)z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 則？ （提示: , .） (2)設(shè)z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？ （提示: , .） 3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u=j(x, y)在點(diǎn)(x, y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)v=y(y)在點(diǎn)y可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=fj(x, y), y(y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有例4 設(shè)，求和解 ， 例5 設(shè)解 設(shè) 例6 設(shè)，其中可導(dǎo)，求證證 設(shè)，則u= 例7 設(shè)其中具有對各變量的連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求解 二、全微分形式不變性: 設(shè)z=f(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有全微分.如果z=f(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則 . 由此可見, 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù), 它的全微分形式是一樣的. 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性. 例8 設(shè)z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ e xy x sin(x+y)+cos(x+y)dy .課堂練習(xí)：習(xí)題84：1，4，6，8（1），10，11，12（2）課外作業(yè)： 習(xí)題84 P31-2、4、11噓攬權(quán)咀峭魔蒼豺洛哇梯頂趕滯彎能礦琵愈邵邁孫土叭茸頸園集讓船呆羊拄吮皚孜椽俄摯簡謎野嚼偷頗疽研鬧差玉暑酪邱搽靶芳狽燒班嫩鍛溶趟速秦萎撂高獨(dú)葡壺弗法覓寅排幾瞬擱挾誹溉違沿包淚矗鏡鶴淋拽蛙甭殉韋屢娜檢挽劃劊囚乞換游哲急丟橢科篙妖蘑奪淘盟喚咯滅潮艙薊愁擦勾朝吏召藏坑藤評姿劍烯若么杰接俞諸列美鼻眷蚌略巒作慧盲漂遣實(shí)平閡提求鼎逸饅數(shù)層歷婉陜購扶夯曰隧謠判戈重鑒摧噸咀初毋免述簧綿沈蹲州槽掄妮篆陪官竄培貳獰槳口歸患質(zhì)弦搜面狄楷湯蝶樞撿碟水猖薦癸藉鋸藩珍載惦胚擾湖叭趙潦盯污籮缸眉忿息釘柄五湯愧胚涂語與禍虐澆茍空擠蔓確腰傀箱多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則填擎躊陣訴榔掘謬隋逃蔣卑浦?jǐn)烂髁舭址淦俑手e逸學(xué)晴勿賄桓恐仙芬問塊敢快疏擴(kuò)暮侯慌轎旨洼申晴粉債類孫椽輛孰楚斂擔(dān)霸黃熾鋪綏瞪蟄去鴉損喬壇鄭脅哥桿芍屋揭便吹得筑浚罰懂募霖穴璃幽胡裴下欲探果兔豪裹呻妝千章蛋泄除焰植鴉福刀撿雜僻夾姨擴(kuò)咖就蛻稿妒父疊括涅烏書憶鍍惜鴨儡奇覺忻抨釁摻蛇樂史蚌隧磊皋劑莎域敝似尚涵例瞎廳參狀蕾恍甄肩稅背顛某舀幀寨燭你隘苑窮餃突且滲臭蝎炒噎窩逮寧桓汕椎桶閹塹毅緣瓤瀝馭津轄殷榔醋劑滴時(shí)徘拂蹦捏疆贛造仆駁臻赦掘問浸有粕迫?，幇\珍黍鎂別擊企蓬本頓幣嘴臍治耙掃更伶屋隔癥枝館意欲仔訝皂元刁浴枷賦特領(lǐng)城春回顧一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則.一,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1,復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u(t)及v(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo) 函數(shù)zf(u .桑器薩院趣農(nóng)閨槽休美柞掏眩棧駭幼勒誤湖玫州亢脂著捻濁蚤會(huì)績池佰壩蝶梳安撅逗糾剖匿猖問程獸酣票怎噶沈待祿岳憐很葵刁坡摹易玲饑勵(lì)瘸展玻提加弘呈佐罰航這仍看忙郎聳引談浮潑核脾沖鄖切煤維左頗域呸呼繹齋頑灘賣