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1 2 微積分的歷史地位若將整個數學比作一棵大樹 那么初等數學是樹根 名目繁多的數學分支是樹枝 而微積分就是樹干的主要部分 微積分堪稱是人類最偉大的成就之一 微積分 Calculus 是高等數學中研究函數的微分 Differentiation 積分 Integration 以及有關概念和應用的數學分支 它是數學的一個基礎學科 內容主要包括極限 微分學 積分學及其應用 微分學包括求導數的運算 是一套關于變化率的理論 它使得函數 速度 加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論 積分學 包括求積分的運算 為定義和計算面積 體積等提供一套通用的方法 3 4 5 十七世紀微積分的醞釀促使微積分產生的因素 第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的 即求即時速度的問題 第二類是求曲線的切線的問題 第三類是求函數的最大值最小值問題 第四類是求曲線長 曲線圍成的面積 曲面圍成的體積 物體的重心 一個體積相當大的物體作用于另一個物體上的引力等 6 意大利數學家卡瓦列里在其著作 用新方法促進的連續(xù)不可分量的幾何學 1635 中 發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法 卡瓦列里認為 線是由無限多個點組成 面是由無限多條平行線段組成 立體則是由無限多個平行平面組成 他分別把這些元素叫做線 面和體的 不可分量 卡瓦列里建立了一條關于這些不可分量普遍原理 后以 卡瓦列里原理 著稱 7 8 9 10 11 十八世紀微積分的發(fā)展從十七世紀到十八世紀的過渡時期 法國數學家羅爾在其論文 任意次方程一個解法的證明 中給出了微分學的一個重要定理 也就是我們下周所說的羅爾微分中值定理 伯努利兄弟雅各布和約翰 他們的工作構成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內容 其中 約翰給出了求未定式極限的一個定理 這個定理后由約翰的學生羅比達編入其微積分著作 無窮小分析 現(xiàn)在通稱為羅比達法則 12 13 14 15 常微分方程與動力系統(tǒng) 從17世紀末開始 擺的運動 彈性理論以及天體力學等實際問題引出了常微分方程 18世紀 有了明確的方向及目標 19世紀后半葉時 常微分方程在兩大方向上開拓了新局面 涉及到很多新的分支 混沌 分形 交叉等 偏微分方程 達朗貝爾發(fā)表的 張緊的弦振動時形成的曲線的研究 被看作是偏微分方程論的開端 變分法 起源于 最速降線 和其他一些類似的問題 最早由約翰 伯努利提出向其他數學家挑戰(zhàn) 歐拉對此給出了自己的解答 即后來的 歐拉方程 至今仍是變分法的基本方程 16 17 就數學本身發(fā)展的需求和解決問題的需要而言 僅僅考慮歐式空間中的微積分是不夠的 有必要把微積分的演出舞臺從歐式空間進一步拓展到一般的微分流形 微積分的發(fā)展歷史表明了人的認識是從生動的直觀開始 進而達到抽象思維 也就是從感性認識到理性認識的過程 人類對客觀世界的規(guī)律性的認識具有相對性 受到時

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