江蘇高考數(shù)學復習數(shù)列推理與證明第38課直接證明與間接證明教師用書.docx

第38課 直接證明與間接證明最新考綱內(nèi)容要求ABC分析法與綜合法反證法1直接證明(1)綜合法定義：從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結論為止，這種證明方法常稱為綜合法框圖表示：思維過程：由因導果(2)分析法定義：從問題的結論出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止這種證明方法常稱為分析法框圖表示：思維過程：執(zhí)果索因2間接證明(1)反證法：假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立的證明方法(2)反證法的步驟：反設假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真；歸謬從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果；存真由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)綜合法的思維過程是由因導果，逐步尋找已知的必要條件()(2)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件()(3)用反證法證明時，推出的矛盾不能與假設矛盾()(4)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)(2)(3)(4)2用反證法證明命題：“已知a，b為實數(shù)，則方程x2axb0至少有一個實根”時，要做的假設是_方程x2axb0沒有實根“方程x2axb0至少有一個實根”的反面是“方程x2axb0沒有實根”3要證明2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是_(填序號)綜合法；分析法；反證法； 歸納法要證明b，則與的大小關系是_0，.5(教材改編)在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_三角形等邊由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形綜合法如圖381所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD底面ABCD，且PAPDAD.(1)求證：平面PAB平面PCD；(2)求三棱錐DPBC的體積圖381解(1)因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA.因為PAPDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.又CDPDD，所以PA平面PCD又PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD.(2)取AD的中點O，連接OP，如圖因為PAPD，所以POAD.因為平面PAD平面ABCD，平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD.即PO為三棱錐PBCD的高，由PAPDAD，知OP1.因為底面ABCD是正方形，所以SBCD222.所以V三棱錐DPBCV三棱錐PBCDPOSBCD12.規(guī)律方法綜合法是“由因導果”的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，常與分析法結合使用，用分析法探路，綜合法書寫，但要注意有關定理、性質、結論題設條件的正確運用變式訓練1已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象在交點(0,0)處有公共切線(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)g(x). 【導學號：62172205】解(1)f(x)，g(x)bxx2，由題意得解得a0，b1.(2)證明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)h(x)x2x1.所以h(x)在(1,0)上為增函數(shù)，在(0，)上為減函數(shù)h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x).分析法已知a0，求證：a2.證明要證a2，只需要證2a.因為a0，故只需要證22，即a244a2222，從而只需要證2，只需要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立規(guī)律方法1.當已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，?？紤]用分析法2分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，逐步尋找結論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質或已經(jīng)證明成立的結論等，通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性變式訓練2已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.反證法設an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導an的前n項和公式；(2)設q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設an的前n項和為Sn，當q1時，Sna1a1a1na1；當q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明：假設an1是等比數(shù)列，則對任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設不成立，故an1不是等比數(shù)列規(guī)律方法用反證法證明問題的步驟：(1)反設：假定所要證的結論不成立，而設結論的反面成立；(否定結論)(2)歸謬：將“反設”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導矛盾)(3)立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設”的謬誤既然原命題結論的反面不成立，從而肯定了原命題成立(命題成立)變式訓練3已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實根. 【導學號：62172206】證明假設三個方程都沒有實數(shù)根，則a1.這與已知a1矛盾，所以假設不成立，故原結論成立思想與方法1綜合法與分析法的關系：分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件的關系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉使用2反證法證題的實質是證明它的逆否命題成立反證法證明的關鍵：準確反設；從否定的結論正確推理；得出矛盾易錯與防范1用分析法證明數(shù)學問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數(shù)學問題成立2利用反證法證明數(shù)學問題時，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的課時分層訓練(三十八)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1下列表述：綜合法是由因導果法；綜合法是順推法；分析法是執(zhí)果索因法；分析法是逆推法；反證法是間接證法其中正確的個數(shù)有_(填序號)由分析法、綜合法、反證法的定義知都正確2用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)的一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理實數(shù)根，則a，b，c中至少有一個是偶數(shù)下列假設中正確的是_(填序號)假設a，b，c至多有一個是偶數(shù)；假設a，b，c至多有兩個偶數(shù)；假設a，b，c都是偶數(shù)；假設a，b，c都不是偶數(shù)“至少有一個”的否定為“一個都沒有”，即假設a，b，c都不是偶數(shù)3若a，b，c為實數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是_. 【導學號：62172207】ac2abb2；.a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，即a2abb2.4分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設abc，且abc0，求證0; ac0；(ab)(ac)0; (ab)(ac)0.由題意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.5用反證法證明“若x210，則x1或x1”時，應假設_x1且x1“x1或x1”的否定是“x1且x1”6設ab0，m，n，則m，n的大小關系是_mn法一(取特殊值法)：取a2，b1，得mn.法二(分析法)：a0，顯然成立7下列條件：ab0，ab0，b0，a0，b0，且0，即a，b不為0且同號即可，故有3個8設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1x20，則f(x1)f(x2)_0.(填“”“”或“”) 【導學號：62172208】0，x1x2，又f(x)是奇函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞減，故f(x)在R上單調(diào)遞減，故f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，求證：2a3b32ab2a2b.證明要證明2a3b32ab2a2b成立，只需證：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.12設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？ 【導學號：62172209】解(1)證明：假設數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當q1時，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當q1時，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾綜上，當q1時，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當q1時，數(shù)列Sn不是等差數(shù)列B組能力提升(建議用時：15分鐘)1設x，y，z0，則三個數(shù)，_.(填序號)都大于2; 至少有一個大于2；至少有一個不小于2; 至少有一個不大于2.因為x0，y0，z0，所以6，當且僅當xyz時等號成立，則三個數(shù)中至少有一個不小于2.2如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則下列說法正確的是_(填序號)A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形；A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形；A1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形；A1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形；由條件知，A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，假設A2B2C2是銳角三角形由得那么，A2B2C2，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾所以假設不成立，又顯然A2B2C2不是直角三角形所以A2B2C2是鈍角三角形3已知數(shù)列an滿足a1，且an1(nN)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設bnanan1(nN)，數(shù)列bn的前n項和記為Tn，證明：Tn0，所以Tn.4若f(x)的定義域為a，