材料力學(xué)--彎曲變形

27.04.2020,.,1,第六章彎曲變形,1明確撓曲線、撓度和轉(zhuǎn)角的概念，深刻理解梁撓曲線近似微分方程的建立。2掌握計算梁變形的積分法和疊加法。3了解梁的剛度條件。,基本要求,27.04.2020,.,2,6-1引言,一工程實際中的彎曲變形,27.04.2020,.,3,1撓曲線：梁在彎矩作用下發(fā)生彎曲變形。如果在彈性范圍內(nèi)加載，梁的軸線在梁彎曲后變成一連續(xù)光滑曲線。這一連續(xù)光滑曲線稱為彈性曲線（elasticcurve），或撓度曲線（deflectioncurve），簡稱彈性線或撓曲線。,二基本概念,27.04.2020,.,4,2撓度與轉(zhuǎn)角,梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移。梁的位移包括三部分：,27.04.2020,.,5,撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：,規(guī)定：向上的撓度為正，向下的撓度為負。逆時針轉(zhuǎn)角為正，順時針轉(zhuǎn)角為負。,撓曲線方程：,w=w（x）,轉(zhuǎn)角方程：,q=q（x）,27.04.2020,.,6,在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：,在小變形條件下，撓曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有,27.04.2020,.,7,力學(xué)中的曲率公式,數(shù)學(xué)中的曲率公式,6-2撓曲線的微分方程,27.04.2020,.,8,小撓度情形下,彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負號與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。,27.04.2020,.,9,由于規(guī)定撓度向上為正，有,撓曲線微分方程,僅適用于線彈性范圍內(nèi)的小變形的平面彎曲問題。,27.04.2020,.,10,6-3用積分法求彎曲變形,對于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：,其中C、D為積分常數(shù)。,轉(zhuǎn)角方程,撓度方程,27.04.2020,.,11,彈簧變形,積分常數(shù)C、D由邊界條件和梁段間光滑連續(xù)條件或中間絞鏈連續(xù)條件確定。,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,27.04.2020,.,12,確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段,分段建立撓度微分方程,微分方程的積分,利用約束條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù),確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角,分段寫出彎矩方程,分段點：集中力、集中力偶、分布載荷起止點、EI不同,積分法求解步驟,27.04.2020,.,13,例6-1已知：懸臂梁受力如圖示，F(xiàn)、l、EI均為已知。求：梁的撓曲線、轉(zhuǎn)角方程及最大撓度和轉(zhuǎn)角,27.04.2020,.,14,解：,由邊界條件：,得：,27.04.2020,.,15,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：,27.04.2020,.,16,例6-2已知：簡支梁受力如圖示。F、EI、l、a、b均為已知。試：討論這一梁的彎曲變形。,27.04.2020,.,17,解：,27.04.2020,.,18,由連續(xù)和光滑條件：,得：,得：,由邊界條件：,27.04.2020,.,19,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：,AC段,CB段,最大轉(zhuǎn)角：,當(dāng)ab時，qB為最大轉(zhuǎn)角。,27.04.2020,.,20,AC段,CB段,最大撓度：,當(dāng)q=0時，w為極值。,當(dāng)ab時，q=0的截面在AC段。,27.04.2020,.,21,6-4用疊加法求彎曲變形,在材料服從胡克定律和小變形的條件下，由小撓度曲線微分方程得到的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。因此，當(dāng)梁承受復(fù)雜載荷時，可將其分解成幾種簡單載荷，利用梁在簡單載荷作用下的位移計算結(jié)果，疊加后得到梁在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。,疊加方法（superpositionmethod）,疊加原理,載荷疊加、變形疊加,27.04.2020,.,22,例6-3已知：簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC；B截面的轉(zhuǎn)角B,27.04.2020,.,23,27.04.2020,.,24,例6-4已知：外伸梁受力如圖示，F(xiàn)、l、a、EI均為已知。求：C、D截面的撓度和轉(zhuǎn)角。（D為AB中點）,27.04.2020,.,25,27.04.2020,.,26,AB段撓曲線和轉(zhuǎn)角方程：,得：,27.04.2020,.,27,例6-5已知：F、l、EI均為已知。求：B截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,27.04.2020,.,28,27.04.2020,.,29,27.04.2020,.,30,例6-6已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C,27.04.2020,.,31,方法一：,27.04.2020,.,32,方法二：,27.04.2020,.,33,例6-7已知：圖示組合梁，F(xiàn)=qa，EI為已知。求：截面B的撓度和截面A的轉(zhuǎn)角。,27.04.2020,.,34,例6-8已知：懸臂梁受力如圖，Me=Fa/2。試畫出撓曲線的大致形狀。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。,27.04.2020,.,35,例6-9圖示剛架結(jié)構(gòu)。試求C點的水平和垂直位移。,27.04.2020,.,36,例6-10圖示等截面剛架，自由端承受集中載荷F的作用，試求自由端的鉛垂位移。設(shè)彎曲剛度EI與扭轉(zhuǎn)剛度GIt均為已知常數(shù)。,27.04.2020,.,37,6-5簡單超靜定梁,27.04.2020,.,38,3相當(dāng)系統(tǒng)在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，得到受力和變形與靜不定梁完全相同的相當(dāng)系統(tǒng)。,2靜定基將靜不定梁上的多余約束除去后所得到的“靜定基本系統(tǒng)”。,1靜不定梁約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁。,一靜不定梁的概念,27.04.2020,.,39,3在靜定基上計算多余約束處的變形后，代入變形協(xié)調(diào)條件，建立補充方程，解出多余約束反力。,2建立變形協(xié)調(diào)條件；將相當(dāng)系統(tǒng)與靜不定梁相比較，在多余約束處，找到變形協(xié)調(diào)條件。,1判斷梁的靜不定次數(shù)，解除多余約束，建立靜定基；,二靜不定梁的解法,27.04.2020,.,40,例6-11一懸臂梁AB，承受集中載荷F作用，因其剛度不夠，用一短梁加固，如圖所示。試計算梁AB的最大撓度的減少量。設(shè)二梁各截面的彎曲剛度均為EI。,27.04.2020,.,41,解：加固前，AB梁的最大撓度,加固后,由wC1=wC2，得,此時AB梁的最大撓度：,僅為前者的60.9%。,27.04.2020,.,42,w許用撓度q許用轉(zhuǎn)角,梁的剛度條件,27.04.2020,.,43,例6-12已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P=20kN，a=lm，l=2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角q=0.5。,試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。,B,27.04.2020,.,44,中心架,1、如卸荷裝置、中心架（或跟刀架）,卸荷帶輪,一改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩的數(shù)值。,6-6提高彎曲剛度的一些措施,27.04.2020,.,45,3、縮小跨距,2、合理安排梁的約束與加載方式,選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的剛度。但是，對于各種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差甚微，因而與一般鋼材相比，選用高強度鋼材并不能提高梁的剛度。,二選擇合理的截面形狀。,三合理選擇材料,27.04.2020,.,46,本章小結(jié),1撓度和轉(zhuǎn)角的正負方向確定,2掌握用積分法求梁的撓曲線和轉(zhuǎn)角方程,積分常數(shù)根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件確定。,