第六章 定積分的幾何應(yīng)用.ppt

定積分的幾何應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1直角坐標(biāo)系,作為一般情況討論，設(shè)平面圖形由a,b上連續(xù)的兩條曲線y=f(x)與y=g(x),及兩條直線x=a,x=b所圍成,在a,b上任取典型小區(qū)間x,x+dx,與它相對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形的面積為局部量dA,dA可用高為,底為dx的矩形面積,近似表示,即,故,a,b,當(dāng)dx很小時(shí),所圍成的圖形的面積,解,為確定圖形的存在區(qū)間,由聯(lián)立方程組解得交點(diǎn),A（-1，1）B（1，1）,故,例1求兩曲線,所圍圖形的面積,解,首先定出圖形所在的范圍,解得交點(diǎn)為（2，-2）和（8，4）,若取x為積分變量在x,x+dx上取部分量,則對(duì)于x的不同值局部量的位置不同其上、下曲邊有多種情況運(yùn)用上述公式計(jì)算較為復(fù)雜,如下圖,例2計(jì)算,以y為變量計(jì)算將會(huì)簡(jiǎn)單,在-2,4上任取一小區(qū)間,其上相應(yīng)的窄條左、右曲邊分別為,但若將這一面積看作是分布在區(qū)間-2，4上,由此可見(jiàn)在面積計(jì)算中應(yīng)根據(jù)平面區(qū)域的具體特征恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量找出相應(yīng)的面積微元可使計(jì)算簡(jiǎn)化,上述問(wèn)題的一般情況是,平面區(qū)域由c,d上連續(xù)的曲線,及直線y=c,y=d所圍成,則其面積為,c,d,當(dāng)直角坐標(biāo)系下的平面區(qū)域的邊界曲線由參數(shù)方程的形式給出時(shí)，只須對(duì)面積計(jì)算公式作變量代換即可。,計(jì)算時(shí)應(yīng)注意積分限在換元中應(yīng)保持與原積分限相對(duì)應(yīng)。,例3,求橢圓,的面積,解,由對(duì)稱性面積A等于橢圓在第一象限內(nèi)的部分的面積的4倍,即,設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)有,證明,存在唯一的,使曲線f（x）與兩直線,所圍圖形的面積,是y=f(x)與兩直線,所圍圖形面積,的3倍,證,例4,故由零點(diǎn)定理知,又,令,2極坐標(biāo)系,某些平面圖形，用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算是比較方便的,若曲線由極坐標(biāo)方程,給出,極坐標(biāo)系下研究面積的基本圖形不是曲邊梯形,而是由射線,所圍成的稱為曲邊扇形的區(qū)域,可用半徑為,圓心角為,由于曲邊扇形的面積分布,故面積元素為,的圓扇形的面積來(lái)近似,解,由對(duì)稱性知總面積=4倍第一象限部分面積,解,利用對(duì)稱性知,通過(guò)以上幾例可見(jiàn)在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)充分利用所求量的對(duì)稱性和等量關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。,二、平面曲線弧長(zhǎng)的概念,直角坐標(biāo)情形,弧長(zhǎng)元素,弧長(zhǎng),解,所求弧長(zhǎng)為,解,曲線弧為,弧長(zhǎng),參數(shù)方程情形,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對(duì)稱性,第一象限部分的弧長(zhǎng),證,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知,故原結(jié)論成立.,極坐標(biāo)情形,曲線弧為,弧長(zhǎng),解,求心形線,的全長(zhǎng),解,由對(duì)稱性,例12,求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.,（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）,平面曲線弧長(zhǎng)的概念,弧微分的概念,求弧長(zhǎng)的公式,直角坐標(biāo)系下,參數(shù)方程情形下,極坐標(biāo)系下,小結(jié),思考題,兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),積分得,思考題1解答,所以