第8講.競賽123班.教師版

對(duì)真理的追求比對(duì)真理的占有更為可貴。 萊辛 不定方程第八講教學(xué)目標(biāo)在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中。在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位。因此在小學(xué)階段打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，無疑很重要。1 不定方程的試值技巧2 不定方程的經(jīng)典題例不定方程是指未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且對(duì)解有一定限制(比如要求解為正整數(shù)等)的方程。數(shù)論中最古老的分支之一。古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。研究不定方程要解決三個(gè)問題：判斷何時(shí)有解。有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù)。求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個(gè)不定方程組問題，公元世紀(jì)的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標(biāo)志中國對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。設(shè)，分別表雞翁、母、雛的個(gè)數(shù)，則此問題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解，這是一個(gè)三元不定方程組問題。經(jīng)典精講基本題型【例1】 廟里有若干個(gè)大和尚和若干個(gè)小和尚，已知個(gè)大和尚每天共吃個(gè)饅頭，個(gè)小和尚每天共吃個(gè)饅頭，平均每個(gè)和尚每天恰好吃一個(gè)饅頭。問：廟里至少有多少個(gè)和尚?【分析】設(shè)有個(gè)大和尚，個(gè)小和尚，則共吃個(gè)饅頭。由“平均每個(gè)和尚每天恰好吃一個(gè)饅頭”，可列方程：，化簡為。當(dāng)，時(shí)和尚最少，有（個(gè)）。【例2】 把拆成兩個(gè)數(shù)的和，一個(gè)是的倍數(shù)（要盡量?。粋€(gè)是的倍數(shù)（要大），求這兩個(gè)數(shù)?！痉治觥窟@是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題?？闪惺剑屓∽畲笾?，可把式子變形為，當(dāng)時(shí)，。則的拆的兩個(gè)數(shù)一是，。這種不定方程的變形求解是較實(shí)用的方法。或者直接把除以余，不是的倍數(shù)，只能退出若干個(gè)，與余數(shù)合起來是，直到出現(xiàn)的倍數(shù)為止?！纠?】 馬小富在甲公司打工，幾個(gè)月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金元，乙公司每月付給他薪金元年終，馬小富從兩家公司共獲薪金元他在甲公司打工_個(gè)月，在乙公司兼職_個(gè)月?！痉治觥吭O(shè)馬小富在甲公司打工月，在乙公司兼職月(，、都是不大于的自然數(shù))，則有。若為偶數(shù)，則的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字必為，這時(shí)但時(shí)，這與矛盾，所以必為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字為，或但時(shí)同樣會(huì)導(dǎo)出，與矛盾所以，。于是馬小富在甲公司打工個(gè)月，在乙公司兼職個(gè)月?！纠?】 小花狗和波斯貓是一對(duì)好朋友，它們在早晚見面時(shí)總要叫上幾聲表示問候。若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲。細(xì)心的小娟對(duì)它們的叫聲統(tǒng)計(jì)了天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面在這天內(nèi)它們共叫了聲。問：波斯貓至少叫了多少聲? 【分析】 早晨見面小花狗和波斯貓共叫聲，晚上見面共叫聲。設(shè)早晨見面次，晚上見面次。根據(jù)題意有 （，）。可以湊出，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。因?yàn)樾』ü饭步?聲，越大，小花狗叫得越多，波斯貓叫得越少，所以，時(shí)波斯貓叫得最少，共叫(聲)?！纠?】 藍(lán)天小學(xué)舉行“迎春”環(huán)保知識(shí)大賽，一共有名男女選手參加初賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的人選。已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的，而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多。參加決賽的男、女選手各有多少人？【分析】由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時(shí)女選手人數(shù)的，所以參加初賽的男選手應(yīng)是的倍數(shù)，參加初賽的女選手應(yīng)是的倍數(shù)。設(shè)參加初賽的男生為人，參加初賽的女生為人。根據(jù)題意可列方程。解得，或。又因?yàn)閰⒓記Q賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多。所以第一組解不合適，只有，。故參加決賽的男選手為人，女選手為人?！纠?】 若用相同漢字表示相同數(shù)字，不同漢字表示不同數(shù)字，則在等式“”，“”表示的六位數(shù)最少是_?！痉治觥吭O(shè)“”?！啊薄Ｓ谑?。即，亦即。從而整除，并且整除，為使?jié)M足條件的“”盡可能小，我們應(yīng)該取，但此時(shí)有相同的數(shù)字，不符合題意；再取，此時(shí)滿足條件，于是所求為?！纠?】 某市電話號(hào)碼原為位數(shù)，第一次升位是在首位和第二位數(shù)字之間加上成為一個(gè)位數(shù)，第二次升位是在首位數(shù)字前加上成為一個(gè)位數(shù)，某人發(fā)現(xiàn)他家中的電話號(hào)碼升位后的八位數(shù)恰好位原來的六位數(shù)的電話號(hào)碼的倍，那么原來的電話號(hào)碼是_?！痉治觥吭O(shè)原來的電話號(hào)碼的第一位數(shù)是，后五位數(shù)是。根據(jù)題意列方程即因?yàn)闉閿?shù)字，的位數(shù)不超過，推算得，所以原來的電話號(hào)碼是?！纠?】 某男孩在年月日說：“我活過的月數(shù)以及我活過的年數(shù)之差”，到今天為止正好就是?！闭?qǐng)問：他是在哪一天出生？【分析】設(shè)男孩的年齡為個(gè)年和個(gè)月，即個(gè)月，由此有方程式成立，也就是，所以，而且，從年月日那天退回年和個(gè)月就是他的生日。年月日?！就卣埂咳舾蓪W(xué)生搬一堆磚，若每人搬塊，則剩下塊未搬走，若每人搬塊，則最后一名學(xué)生只搬塊，那么學(xué)生共有_人。【分析】設(shè)有個(gè)學(xué)生，根據(jù)磚的數(shù)量可得方程，。因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，所以和中一個(gè)是，另一個(gè)是，因?yàn)椋?。學(xué)生人數(shù)為人。不定方程求解小結(jié) 含有兩個(gè)未知數(shù)的整系數(shù)不定方程求解的方法一般有兩種： （1）嘗試枚舉法：首先確定其中一個(gè)未知數(shù)的取值范圍，再將符合條件的未知數(shù)的值逐個(gè)代入方程，求出對(duì)應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值，最后檢驗(yàn)該組解是否符合題目條件。一般來說，不定方程中（、都是整數(shù)），較大系數(shù)（或）所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)可取得的值較少，所以以該未知數(shù)的值進(jìn)行嘗試枚舉比較方便。 （2）整除判斷法，將其中一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)來表示，通過整除和余數(shù)的性質(zhì)判斷另一未知數(shù)可以取得哪些值。多個(gè)未知數(shù)不定方程是由于聯(lián)立方程的條件“不足”而出現(xiàn)的，從一般情況來說，有無數(shù)多個(gè)解。不過，我們要注意到它的“預(yù)定義”條件，比如未知項(xiàng)是自然數(shù)，比如在數(shù)位上的數(shù)碼不僅是自然數(shù)，而且是一位數(shù)等等，甚至題干中直接給出限制條件，這樣，就使得不定方程的解“定”下來了。這種情況也不排除它的取值不止一種。不定方程解的情況比較復(fù)雜，有時(shí)無法得出方程的解，有時(shí)又會(huì)出現(xiàn)多個(gè)解。如果考慮到題中以一定條件所限制的范圍，會(huì)有可能求出唯一的解或幾種可能的解（而這類題的限制范圍往往與整數(shù)的分拆有很大關(guān)系）。解答這類方程，必須要對(duì)題中明顯或隱含的條件加以判斷、推理，才能正確求解。 當(dāng)不定方程（組）中所包含的未知數(shù)超過個(gè)時(shí)，通過聯(lián)立各條方程，進(jìn)行消元，將多元方程組轉(zhuǎn)化為二元整系數(shù)不定方程進(jìn)行處理?！纠?】 有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需天，乙單獨(dú)做需要天完成，丙單獨(dú)做需要天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了_天?！痉治觥吭O(shè)這項(xiàng)工程用了天，丙休息了天。，。由上式，因?yàn)榕c都是的倍數(shù)，所以必須是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，在 的條件下，只有，一組解，即丙休息了天?！纠?0】 頭牛賣個(gè)金幣，頭豬賣個(gè)金幣，只羊賣個(gè)金幣。有人用個(gè)金幣買了三種牲畜共頭（只），問牛、豬、羊各買了多少頭（只）？【分析】如果用未知數(shù)、分別表示所買的牛、豬、羊的頭（只）數(shù)，則可以根據(jù)它們的總數(shù)是頭（只）和三種牲畜的總價(jià)之和是個(gè)金幣，分別列出方程。由，得。即。因、都是自然數(shù)，所以可取、，相應(yīng)地，的取值是、。把、,、分別代入，依次可取、。因此有三種買法：牛頭，豬頭，羊只；牛頭，豬頭，羊只；牛頭，豬頭，羊只。注：題說“有人用個(gè)金幣買了三種牲畜共頭”表示三種牲畜都買了，所設(shè)的、 必不包括?！纠?1】 某次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了支鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生，原計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā)給支，二等獎(jiǎng)每人發(fā)給支，三等獎(jiǎng)每人發(fā)給支，后來改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)支，二等獎(jiǎng)每人發(fā)支，三等獎(jiǎng)每人發(fā)支那么獲二等獎(jiǎng)的有_人?！痉治觥?（法一）根據(jù)“后來改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)支”，可以確定獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)小于。否則僅一等獎(jiǎng)就要發(fā)不小于支鉛筆，已超過支，這是不可能的。分別考慮一等獎(jiǎng)有人或者人的情況：獲一等獎(jiǎng)有人時(shí)，改變后這人共多得支。而每個(gè)二等獎(jiǎng)與每個(gè)三等獎(jiǎng)的合在一起，仍然共得支鉛筆，這表明三等獎(jiǎng)應(yīng)比二等獎(jiǎng)多人，他們少得的鉛筆數(shù)正好是一等獎(jiǎng)多得的，但 ，所以這種情況不可能發(fā)生。 獲一等獎(jiǎng)有1人時(shí)，類似前種情況的討論，可以確定獲三等獎(jiǎng)的人數(shù)比二等獎(jiǎng)多人，獲二等獎(jiǎng)的有(人)。經(jīng)檢驗(yàn)，獲一等獎(jiǎng)人，獲二等獎(jiǎng)人，獲三等獎(jiǎng)人符合題目要求。 （法二）設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別有、人，則有方程組：將消元，則有，顯然的該屆方程的正整數(shù)解只有，繼而可得到。所以獲一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別有、人?！纠?2】 某次聚餐，每一個(gè)男賓付元，每一位女賓付元，每帶一個(gè)孩子付元，現(xiàn)在的 成人各帶一個(gè)孩子，總共收了元，問：這活動(dòng)共有多少人參加（成人和孩子）？【分析】設(shè)男賓有人，女賓有人，則由題意得方程，即，有四組解：，和，但能被整除，只能取后兩組。所以，這活動(dòng)共有人或人參加。【拓展】單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有三分之一的職工各帶一個(gè)孩子參加。男職工每人種棵樹，女職工每人種棵樹，每個(gè)孩子都種棵樹，他們一共種了棵樹，那么其中有多少名男職工？【分析】因有的職工各帶一個(gè)孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是的倍數(shù)。設(shè)男職工有人，女職工人。則職工總?cè)藬?shù)是人，孩子是人。得到方程：?；喌茫?。因男職工與女職工的人數(shù)都是整數(shù)。所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，。，是的倍數(shù)。符合題意。，不是的倍數(shù)。不合題意。所以其中有12名男職工。【拓展】有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍。如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么乙一隊(duì)將是第二堆的倍。問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【分析】設(shè)第一堆磚有塊，則第二堆磚有塊。再設(shè)從第二堆中取出塊放在第一堆，第一堆將是第二堆的倍，可列方程，。因?yàn)槭钦麛?shù)，與互質(zhì)，所以應(yīng)是的倍數(shù)，最小是。推知最小是，所以，磚頭最少有塊。附加題目【例1】 碼頭在碼頭的的上游，遙控艦?zāi)拇a頭出發(fā)，在兩個(gè)碼頭之間往返航行，已知艦?zāi)Ｔ陟o水中的速度是每分鐘米，水流的速度是每分鐘米，出發(fā)后分鐘，艦?zāi)Ｎ挥诖a頭的下游米。問：碼頭和碼頭之間的距離是多少米？【分析】艦?zāi)拇a頭順流而下米，航行時(shí)間（分鐘），（分鐘）。因此，艦?zāi)３霭l(fā)后第分鐘又回到碼頭。所以，在這分鐘中，艦?zāi)ｍ樍餍旭偟穆烦膛c逆流行駛的路程相同。設(shè)在分鐘中，艦?zāi)ｍ樍骱叫械臅r(shí)間為，逆流航行的時(shí)間是，順流航行的速度為（米/分鐘），應(yīng)當(dāng)有，解得（分鐘）。因此，出發(fā)分鐘后艦?zāi)５目偟暮匠淌牵祝?。?）設(shè)兩個(gè)碼頭的距離是米，則，其中是整數(shù)，則。由于，所以，即，米。所以兩個(gè)碼頭之間的距離為米。【例2】 如圖，小明家和小強(qiáng)家相距千米，小強(qiáng)家與公園相距千米小明從家騎車出發(fā)去公園，小強(qiáng)從家出發(fā)，步行去公園當(dāng)小明到達(dá)學(xué)校時(shí)，他立即棄車步行；又過了一會(huì)兒，當(dāng)小強(qiáng)到達(dá)學(xué)校時(shí)，他立即開始騎車兩人同時(shí)于下午到達(dá)公園如果兩人步行速度相同，騎車速度也相同，那么學(xué)校與公園相距多少千米?【分析】設(shè)相距千米，騎車速度和步行速度為和。那么有：三個(gè)未知數(shù)有兩個(gè)方程，顯然要么無解，要么有無數(shù)組解。事實(shí)上只要注意到：方程滿足時(shí)，取任意值，都成立。但是步行速度和騎車速度是不可能相等的。兩方程相加得到：，,代入第一條方程：。因式分解：，因?yàn)?，所以千米?！纠?】 如圖是一種電腦射擊游戲的示意圖：線段，和的長度都是厘米，分別是它們的中點(diǎn)，并且位于同一條線段上，厘米，已知上的小圓環(huán)的速度是每秒厘米，上小圓環(huán)的速度是每秒厘米，上小圓環(huán)的速度是每秒厘米。零時(shí)刻，上各有一個(gè)小圓環(huán)從左端點(diǎn)同時(shí)開始在線段上往返運(yùn)動(dòng)。問：此時(shí)，從點(diǎn)向發(fā)射一顆子彈，要想穿過三個(gè)圓環(huán)，子彈的速度最大為每秒多少厘米？【分析】設(shè)子彈速度是。則有：子彈穿過CD上的圓環(huán)：； 子彈穿過EF上的圓環(huán)：； 子彈穿過GH上的圓環(huán)： 這里都是正整數(shù)。解，得到 或 代入，得到： ； 代入，得到： ，和互質(zhì)，并且，要求速度最大，則正整數(shù)應(yīng)當(dāng)盡可能小，所以，代入，得到最大速度是。鞏固精練1. 小龍的儲(chǔ)蓄罐里有角、角、元三種硬幣，正好是元，他的儲(chǔ)蓄罐里硬幣的總枚數(shù)有多少種可能？【答案】（種）。2. 袋子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字，和，小明從中摸出幾個(gè)球，它們的數(shù)字之和是。問：小明最多摸出幾個(gè)標(biāo)有數(shù)字的球？【分析】設(shè)摸出標(biāo)有數(shù)字，和的球分別為,，個(gè)，于是有，得由于，都是正整數(shù)，因此在中，取時(shí)取最大值。3. 個(gè)大、中、小號(hào)鋼珠共重克，大號(hào)鋼珠每個(gè)重克，中號(hào)每個(gè)重克，小號(hào)每個(gè)重克。問：大、中、小號(hào)鋼珠各多少個(gè)?【解】設(shè)大、中號(hào)鋼珠分別有，個(gè)，則小號(hào)鋼珠有個(gè)。由題意可得，化簡得。可求出正整數(shù)解，。4. 張師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，李師傅每天能縫制件上衣或件裙褲，兩人天共縫制上衣和裙褲件，那么其中上衣是多少件？【分析】如果天都縫制上衣，共件，這就要把上衣?lián)Q成裙褲，張每天可多換件，李每天可多換件，設(shè)張縫制裙褲天，李縫制裙褲天，則，整數(shù)解只有，。因此共縫裙褲件，上衣共件。 籃球運(yùn)動(dòng)起源于年，由美國的體育教師詹姆士奈史密斯博士發(fā)明。年柏林奧運(yùn)會(huì)上，男子籃球比賽第一次被列為正式比賽項(xiàng)目。女子籃球到年蒙特利爾奧運(yùn)會(huì)上才被正式納入。奧運(yùn)會(huì)上只設(shè)男子和女子團(tuán)隊(duì)兩塊金牌。在過去的屆男子籃球和屆女子籃球奧運(yùn)會(huì)比賽中，美國