計算N階行列式的若干方法

網(wǎng)上搜集的計算行列式方法總結(jié), 還算可以.計算n階行列式的若干方法舉例閔 蘭摘 要：線性代數(shù)是理工科大學學生的一門必修基礎(chǔ)數(shù)學課程。行列式的計算是線性代數(shù)中的難點、重點，特別是n階行列式的計算，學生在學習過程中，普遍存在很多困難，難于掌握。計算n階行列式的方法很多，但具體到一個題，要針對其特征，選取適當?shù)姆椒ㄇ蠼?。關(guān)鍵詞：n階行列式 計算方法n階行列式的計算方法很多，除非零元素較少時可利用定義計算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計算，特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方法，值得注意的是，同一個行列式，有時會有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例說明。1利用行列式定義直接計算例1 計算行列式解 Dn中不為零的項用一般形式表示為.該項列標排列的逆序數(shù)t（n1 n21n）等于，故 2利用行列式的性質(zhì)計算例2 一個n階行列式的元素滿足則稱Dn為反對稱行列式，證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零. 證明 由知，即故行列式Dn可表示為由行列式的性質(zhì) 當n為奇數(shù)時，得Dn =Dn，因而得Dn = 0.3化為三角形行列式若能把一個行列式經(jīng)過適當變換化為三角形，其結(jié)果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。例3 計算n階行列式 解 這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不變，得4降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡，使行列式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開。例4 計算n階行列式解 將Dn按第1行展開.5遞推公式法遞推公式法：對n階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn與Dn1, Dn2之間的一種關(guān)系稱為逆推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出Dn的方法稱為遞推公式法。例5 證明 證明 將Dn按第1列展開得 由此得遞推公式：，利用此遞推公式可得6利用范德蒙行列式例6 計算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例7 計算n階行列式 解 （箭形行列式） 8數(shù)學歸納法例8 計算n階行列式解 用數(shù)學歸納法. 當n = 2時 假設(shè)n = k時，有 則當n = k+1時，把Dk+1按第一列展開，得由此，對任意的正整數(shù)n，有9拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以利計算。例9 計算行列式 解 上面介紹了計算n階行列式的常見方法