談反證法在分析學中的應用文獻綜述

談反證法在分析學中的應用XXX（莆田學院數(shù)學學院 指導教師: XXX）一、 研究背景及動態(tài)反證法的應用是分析學中的一個非常重要的課題，它不但是高等數(shù)學和數(shù)學分析中許多問題的解題基礎，并且它也為許多數(shù)學分支，如微分幾何、常微分方程、泛函分析等的進一步研究提供了堅實的理論依據(jù).目前國內(nèi)外已經(jīng)有很多學者研究反證法在分析學中的應用這個課題。 一般而言，在現(xiàn)在的大學學習階段，對于反證法的應用提及的不少，但只是說到一些表面的應用，而且沒有針對反證法的應用進行分類歸納。而現(xiàn)行的數(shù)學專業(yè)教材中則很少對此作出總結(jié)，文獻綜述也較為分散，本課題是在前人學者研究的基礎之上針對教材相關知識點的概括和升華。對以后解決相關的命題可能會起到不可替代的作用，為我們進一步學習和掌握相關內(nèi)容提供了更好更全的方法。二、 評述從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。反證法是一種十分重要的數(shù)學證明方法，它的使用可以上溯到畢達哥拉斯學派，與無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)密切相關。法國數(shù)學家阿達瑪（J.Hamdamard,18651963）對反證法的實質(zhì)做過概況：“若肯定定理的假設而否定其結(jié)論，就會導致矛盾”。英國數(shù)學家牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧薄Ｕ怯捎谇叭藢W者對于反證法的重視和研究，也是由于反證法的重要性，以至于現(xiàn)在我們不得不重新審視反證法，對于反證法的應用再次進行歸納總結(jié)和推廣。陳艷凌、陳繼龍、張銳梅幾位學者在“關于數(shù)學分析中宜用反證法證明的問題”一文中指出，運用反證法證明的習題類型及規(guī)律是：1.證明“函數(shù)某個特定常數(shù)”；2.在已知極限存在貨易證出極限存在的前提下，證明“極限等于零”或“極限等于某個特定常數(shù)”；3.證明有關“不存在”的題目；4.證明“至少有一點”的題目，對于題設中函數(shù)不具連續(xù)條件者，有時適宜用實數(shù)理論找點，再用反證法證明為所求；5.證明集合個數(shù)為“有限個”；6.證明“函數(shù)有界限”；7.證明“最多只有”的題目；8.證明“唯一性”。徐秀娟在“反證法在高等數(shù)學證明題中的應用”中通過對于具體例題的分析，歸納出一些多采用反證法證明的命題，如命題結(jié)論涉及“否定”含義；命題結(jié)論涉及“無限”；命題結(jié)論出現(xiàn)“至少”、“至多”、“僅有”形式等，采用反證法證明較易的問題。我國學者郭建在“分析學中的邏輯方法”一文中指出，分析學中，關于唯一性的各種命題的論證，多用反證法。并闡述了反證法的兩種形式歸謬法和窮舉法。在數(shù)學邏輯的角度對反證法的應用進行了說明。學者殷堰工在“數(shù)學分析中的反證法”一文中指出反證法對于那些抽象程度高而且用直接證法難于達到目的的數(shù)學命題常常奏效。同時通過對大量的反證法處理的命題進行分析、歸納、總結(jié)出一些適用反證法的規(guī)律性問題。孟紅玲、趙遠在“反證法在高等數(shù)學中的應用舉例”中說明了反證法的含義，及用反證法證明的嚴密性，反證法的證明步驟，及適宜用反證法證明的問題。同時本文的一些經(jīng)典例題參考自孫濤的“數(shù)學分析經(jīng)典習題解析”以及李明振的“數(shù)學方法與解題研究”。參考了大量的關于此類命題研究的文章，選取了對筆者啟發(fā)比較大比較有代表性的一些文章進行參考。隨著歷史的車輪時間的腳步，通過前人學者的研究我們可以發(fā)現(xiàn)，反證法的定義大致上沒有什么改變，但是在對于細節(jié)上日臻完善。同樣在對反證法在分析學中的應用，前人學者也都各自有著自己的看法和見解?？偨Y(jié)分類方面也不盡相同，筆者就是在前人的研究基礎之上，進行了再一次的探究和論證，希望對以后的學者在對反證法在分析學中的應用方面有著更好的認識，能夠抓住要點，掌握精髓。三、 結(jié)論總體上來看，在分析學中宜用反證法證明的命題形式分為幾種：1、結(jié)論為否定形式的命題；2、結(jié)論為以“至少”、“至多”、“任一”、“惟一”、“無一”、“全部”等形式出現(xiàn)的命題；3、結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)或涉及“無限”性質(zhì)的命題；4、關于存在性的命題；5、已知條件少或從已知出發(fā)所能推出結(jié)論甚少的命題，以及其他的一些方面等，筆者就是從前人學者的基礎上進行再次總結(jié)，并對接觸到的關于反證法在分析學中應用的新的形式或題型進行了總結(jié)和例舉。由于水平知識有限，所以文章存在著這樣那樣的漏洞和缺點，希望大家能幫忙改正。參考文獻：1陳艷凌,陳繼龍,張銳梅. 關于數(shù)學分析中宜用反證法證明的問題J. 齊齊哈爾師范高等?？茖W校學報,2007,03:125-126.2徐秀娟. 反證法在高等數(shù)學證明題中的應用J. 河北理工學院學報(社會科學版),2005,04:115-117.3孟紅玲,趙遠. 反證法在高等數(shù)學中的應用舉例J. 洛陽大學學報,2002,04:110-112.4郭健. 分析學中的邏輯方法J. 商洛師專學報,1995,0