D8_3 多變量函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù)ppt課件

.,第八章第三節(jié),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,二、多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),三、高階偏導(dǎo)數(shù),多變量函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù),第八章,一、多變量函數(shù)的微分,.,一、多變量函數(shù)的微分,.,是,的線性主部。,定理8.3.1如果f(x,y)在M0(x0,y0)處可微，則f(x,y)在M0(x0,y0)處連續(xù)。,.,定義8.3.1.,在點(diǎn),存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為,的某鄰域內(nèi),則稱此極限為函數(shù),極限,設(shè)函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,注意:,二、多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),.,同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x,則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為,偏導(dǎo)數(shù),記為,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,或y偏導(dǎo)數(shù)存在,.,例1.求,解法1:,解法2:,在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例2.設(shè),證:,例3.求,的偏導(dǎo)數(shù).,解:,求證,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè),例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說明:,(R為常數(shù)),不能看作,分子與分母的商!,此例表明,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,整體記號(hào),.,若在(x,y)處可微，則,偏導(dǎo)數(shù)也叫偏微商，這種叫法源于其本質(zhì)上是一個(gè)一元函數(shù)微商，但對(duì)于二元函數(shù)而言不具有商的性質(zhì)，只是一種記號(hào)。,.,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,是曲線,在點(diǎn)M0處的切線,對(duì)x軸的斜率.,在點(diǎn)M0處的切線,斜率.,是曲線,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,對(duì)y軸的,.,函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然,例如,注意：,但在該點(diǎn)不一定連續(xù).,上節(jié)例目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!,.,二元函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在。但偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定可微。,定理8.3.2如果z=f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在M0(x0,y0)處都是連續(xù)的，則f(x,y)在M0(x0,y0)處可微。,.,例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的,可微與偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(請(qǐng)自己寫出),可微的定義為,.,.,三、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是z=f(x,y),的二階偏導(dǎo)數(shù).,按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,數(shù):,.,類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z=f(x,y)關(guān)于x的n1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,偏導(dǎo)數(shù)為,.,例6.求函數(shù),解:,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,.,例如,二者不等,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例7.證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證：,利用對(duì)稱性,有,方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,則,證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,證:令,則,令,定理.8.3.3.,.,同樣,.,在點(diǎn),連續(xù),得,.,例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:,本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有,而初等,.,把區(qū)域D中有n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)全體記作,把區(qū)間I中有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的一元函數(shù)全體記作,.,作業(yè),第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,P66681（3）,2（9）,9（1）；11；13；17。,.,第四節(jié),一元復(fù)合函數(shù),求導(dǎo)法則,微分法則,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,復(fù)合函數(shù)的微分法,第八章,.,本節(jié)內(nèi)容:,一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,二*、Jacobi矩陣,三、方向?qū)?shù)和梯度,四、全微分的不變性,五、例題,.,一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,寫成矩陣形式：,.,一般地，設(shè)可微，而,.,例1.設(shè),解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例2.,解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例3.證明函數(shù)u=1/r滿足方程,其中。,Laplace方程，調(diào)和函數(shù),.,若函數(shù),處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù),證:設(shè)t取增量t,則相應(yīng)中間變量,且有鏈?zhǔn)椒▌t,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,有增量u,v,.,(全導(dǎo)數(shù)公式),(t0時(shí),根式前加“”號(hào)),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,若定理中,說明:,例如:,易知:,但復(fù)合函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為,偏導(dǎo)數(shù)存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,則定理結(jié)論不一定成立.,.,中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有,注意:,這里,表示固定y對(duì)x求導(dǎo),表示固定v對(duì)x求導(dǎo),口訣:,分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo),與,不同,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例4.設(shè),求全導(dǎo)數(shù),解:,注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與,機(jī)