江蘇省南京市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)研考試（5月）試題VIP

江蘇省南京市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)研考試（5月）試題(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)20205一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 已知集合Ux|1x0.若x1，x2是方程f(x)2的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且|x1x2|的最小值為，則當(dāng)x0，時(shí)，f(x)的最小值為_(kāi)10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的平行線，交另一條漸近線于點(diǎn)P.若線段PF的中點(diǎn)恰好在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為_(kāi)11. 有一個(gè)體積為2的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)、寬、高依次為a，b，1.現(xiàn)將它的長(zhǎng)增加1，寬增加2，且體積不變，則所得新長(zhǎng)方體高的最大值為_(kāi)12. 已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a，b是夾角為60的兩個(gè)單位向量若向量c滿足c(a2b)5，則|c|的最小值為_(kāi)13. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知MN是圓C：(x1)2(y2)22的一條弦，且CMCN，P是MN的中點(diǎn)當(dāng)弦MN在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l：x3y50上存在兩點(diǎn)A，B，使得APB恒成立，則線段AB長(zhǎng)度的最小值是_14. 已知函數(shù)f(x)x2aln xx，對(duì)任意x1，)，當(dāng)f(x)mx恒成立時(shí)實(shí)數(shù)m的最大值為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15. (本小題滿分14分)已知a，b，c分別是ABC三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足acos Bbcos A.(1) 求證：AC；(2) 若b2，且1，求sin B的值16. (本小題滿分14分)在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，AB1，BC2，ABC60.(1) 求證：平面PAC平面PAB；(2) 設(shè)平面PBC平面PADl，求證：BCl.17. (本小題滿分14分)如圖，某摩天輪底座中心A與附近的景觀內(nèi)某點(diǎn)B之間的距離AB為160 m摩天輪與景觀之間有一建筑物，此建筑物由一個(gè)底面半徑為15 m的圓柱體與一個(gè)半徑為15 m的半球體組成圓柱的底面中心P在線段AB上，且PB為45 m半球體球心Q到地面的距離PQ為15 m把摩天輪看作一個(gè)半徑為72 m的圓C，且圓C在平面BPQ內(nèi)，點(diǎn)C到地面的距離CA為75 m該摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周需要30 min，若某游客乘坐該摩天輪(把游客看作圓C上一點(diǎn))旋轉(zhuǎn)一周，求該游客能看到點(diǎn)B的時(shí)長(zhǎng)(只考慮此建筑物對(duì)游客視線的遮擋)18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)過(guò)點(diǎn)(1，)，離心率為.A，B分別是橢圓C的上、下頂點(diǎn)，M是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)(1) 求橢圓C的方程；(2) 若點(diǎn)P在直線xy20上，且3，求PMA的面積；(3) 過(guò)點(diǎn)M作斜率為1的直線分別交橢圓C于另一點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在線段OA上(不包括端點(diǎn)O，A)，直線NA與直線BM交于點(diǎn)P，求的值19. (本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)ln x1，aR.(1) 若函數(shù)f(x)在x1處的切線為y2xb，求a，b的值；(2) 記g(x)f(x)ax，若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，)上有最小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3) 當(dāng)a0時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)bx2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍20. (本小題滿分16分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若存在正整數(shù)r，t，且r0)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB3，求r的值C. (選修45：不等式選講)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x24y29z26，求x2y6z的最大值【必做題】 第22，23題，每小題10分，共20分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22. 在平面直線坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y22px(p0)及點(diǎn)M(2，0)，動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，AB4.(1) 求p的值；(2) 若l與x軸不垂直，設(shè)線段AB中點(diǎn)為C，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且垂直于y軸，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且垂直于直線l，記l1，l2相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線上23. 對(duì)由0和1這兩個(gè)數(shù)字組成的字符串，作如下規(guī)定：按從左向右的順序，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)子串“010”的最后一個(gè)0所在數(shù)位是第k(kN*，且k3)位，則稱子串“010”在第k位出現(xiàn)；再繼續(xù)從第k1位按從左往右的順序找子串“010”，若第二個(gè)子串“010”的最后一個(gè)0所在數(shù)位是第km位(其中m3，且mN*)，則稱子串“010”在第km位出現(xiàn)；如此不斷地重復(fù)下去如：在字符串1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0中，子串“010”在第5位和第9位出現(xiàn)，而不是在第7位和第11位出現(xiàn)記在n位由0，1組成的所有字符串中，子串“010”在第n位出現(xiàn)的字符串的個(gè)數(shù)為f(n)(1) 求f(3)，f(4)的值；(2) 求證：對(duì)任意的正整數(shù)n，f(4n1)是3的倍數(shù)2020屆高三模擬考試試卷(南京)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1. 4，52. 四3. 304. 5. 56. 7. 8. 69. 110. 11. 12. 13. 22 14. (，115. (1) 證明：由正弦定理2R，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入acos Bbcos A，得(sin Acos Bsin Bcos A)cos Csin Ccos A，(2分)即sin(AB)cos Csin Ccos A.因?yàn)锳BC，所以sin (AB)sin C，所以sin Ccos Csin Ccos A(4分)因?yàn)镃是ABC的內(nèi)角，所以sin C0，所以cos Ccos A.因?yàn)锳，C是ABC的內(nèi)角，所以AC.(6分)(2) 解：由(1)知AC，所以ac，所以cos B.(8分)因?yàn)?，所以a2cos Ba221，所以a23.(10分)所以cos B.(12分)因?yàn)锽(0，)，所以sin B.(14分)16.證明：(1) 因?yàn)镻A平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.(2分)因?yàn)锳B1，BC2，ABC60，由余弦定理，得AC.(4分)因?yàn)?2()222，即AB2AC2BC2，所以ACAB.(6分)因?yàn)锳CPA，且PAABA，PA平面PAB，AB平面PAB，所以AC平面PAB.又AC平面PAC，所以平面PAC平面PAB.(8分)(2) 因?yàn)锽CAD，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.(10分)因?yàn)锽C平面PBC，且平面PBC平面PADl，所以BCl.(14分)17. 解：以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BP所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)過(guò)點(diǎn)B作直線l與圓Q相切，與圓C交于點(diǎn)M，N，設(shè)直線l的方程為ykx，即kxy0，則點(diǎn)Q到l的距離為15，解得k或k0(舍去)所以直線l的方程為yx，即3x4y0.(4分)點(diǎn)C(160，75)到直線l的距離CH36.(6分)在RtCHM中，因?yàn)镃H36，CM72，所以cosMCH.(8分)因?yàn)镸CH(0，)，所以MCH，所以MCN2MCH，(12分)所以所用時(shí)長(zhǎng)為3010 min.(13分)答：該游客能看到點(diǎn)B的時(shí)長(zhǎng)為10 min.(14分)18. 解：(1) 因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(1，)，離心率為，所以1，1e2，解得a22，b21，所以橢圓C的方程為y21.(2分)(2) 由(1)知B(0，1)，設(shè)M(x0，y0)，P(x，y)由3，得(x，y1)3(x0，y01)，則x3x0，y3y02.因?yàn)镻在直線xy20上，所以y0x0.(4分)因?yàn)镸在橢圓C上，所以y1，將代入上式，得x.(6分)所以|x0|，從而|xP|， 所以SPMASPABSMAB22.(8分)(3) (解法1)由(1)知，A(0，1)，B(0，1)設(shè)D(0，m)，0m1，M(x1，y1)，N(x2，y2)因?yàn)镸N的斜率為1，所以直線MN的方程為yxm.聯(lián)立方程組消去y，得3x24mx2m220，所以x1x2，x1x2. (10分)直線MB的方程為yx1，直線NA的方程為yx1，聯(lián)立解得yP.(12分)將y1x1m，y2x2m代入，得yP.(14分)所以(0，m)(xP，yP)myPm1.(16分)(解法2)由(1)知，A(0，1)，B(0，1)設(shè)M(x0，y0)，則y1.因?yàn)橹本€MN的斜率為1，所以直線MN的方程為yxx0y0，則D(0，y0x0)聯(lián)立方程消去y，得3x24(x0y0)x2(x0y0)220，所以xNx0，(10分)所以xN，yN，所以直線NA的方程為yx1x1，直線MB的方程為yx1，聯(lián)立解得yP.(12分)因?yàn)閥1，所以yP，(14分)所以(0，y0x0)(xP，yP)(y0x0)1.(16分)19. 解：(1) f(x)，則f(1)1a2，解得a1，則f(x)ln x1，此時(shí)f(1)ln 1110，則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，代入切線方程，得b2，所以a1，b2.(2分)(2) g(x)f(x)axln xax1，g(x)a.當(dāng)a0時(shí)，g(x)0，則g(x)在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)，則g(x)在區(qū)間(0，)上無(wú)最小值(4分)當(dāng)a0時(shí)，方程ax2xa0的判別式14a20，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x1，x2，由韋達(dá)定理得x1x21，則兩根一正一負(fù)，不妨設(shè)x10x2.設(shè)函數(shù)m(x)ax2xa(x0)，(i) 若a0，當(dāng)x2(0，)時(shí)，m(0)a0，m()a0，解得0a.此時(shí)當(dāng)x(0，x2)時(shí)，m(x)0，則g(x)遞減；當(dāng)x(x2，)時(shí)，m(x)0，則g(x)遞增，當(dāng)xx2時(shí)，g(x)取極小值，即為最小值當(dāng)x2時(shí)，x(0，)，m(x)0，則g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，無(wú)最小值(6分)(ii) 若a0，當(dāng)x(0，x2)時(shí)，m(x)0，則g(x)遞增；當(dāng)x(x2，)時(shí)，m(x)0，則g(x)遞減，在區(qū)間(0，)上，g(x)不會(huì)有最小值所以a0不滿足條件綜上，當(dāng)0a時(shí)，g(x)在區(qū)間(0，)上有最小值(8分)(3) 當(dāng)a0時(shí)，由方程f(x)bx2，得ln x1bx20.記h(x)ln x1bx2，x0，則h(x)2bx.當(dāng)b0時(shí)，h(x)0恒成立，即h(x)在(0，)上為增函數(shù)，則函數(shù)h(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)bx2至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以b0不符合題意(10分)當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)x(0，)時(shí)，h(x)0，所以函數(shù)h(x)遞增； 當(dāng)x(，)時(shí)，h(x)0，所以函數(shù)h(x)遞減，則h(x)maxh()ln.要使方程f(x)bx2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則h()ln 0，解得0b.(12分)(i) 當(dāng)0b時(shí)，h()0.又()2()20，則，所以存在唯一的x1(，)，使得h(x1)0.(14分)(ii) h()ln 1ln b1，記k(b)ln b1，0b.因?yàn)閗(b)，則k(b)在(0，1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù)，則k(b)maxk(1)0，則h()0.又()2()20，即，所以存在唯一的x2(，使得h(x2)0.綜上，當(dāng)0b時(shí)，方程f(x)bx2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(16分)20. (1) 解：因?yàn)閍n是M(r，2r)數(shù)列，所以Sr2r，且S2rr.由Sr2r，得3rd2r.因?yàn)閞0，所以(r1)d2(*)由S2rr，得6rdr.因?yàn)閞0，所以(2r1)d5(*)由(*)和(*)，解得r3，d1.(2分)(2) 解：(i) 若q1，則Srra1，Stta1.因?yàn)閍n是M(r，2r)數(shù)列，所以ra12r(*)，2ra1r(*)由(*)和(*)，得a12且a1，矛盾，所以q1.(3分)(ii) 當(dāng)q1，因?yàn)閍n是M(r，2r)數(shù)列，所以Sr2r，且S2rr，即2r(*)，r(*)由(*)和(*)，得qr.(5分)當(dāng)r1時(shí)，q；當(dāng)r2，4時(shí)，無(wú)解；當(dāng)r3時(shí)，q.綜上，q或q.(6分)證明：因?yàn)閍n是M(r，t)數(shù)列，q(1，0)，所以Srt，且Str，即t，且r，兩式作商，得，即r(1qr)t(1qt)(8分)(i) 若r為偶數(shù)，t為奇數(shù)，則r(1|q|r)t(1|q|t)因?yàn)閞t，01|q|r1，1|q|t1，所以r(1|q|r)t(1|q|t)，這與r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾，所以假設(shè)不成立(10分)(ii) 若r為偶數(shù)，t為偶數(shù)，則r(1|q|r)t(1|q|t)設(shè)函數(shù)yx(1ax)，0a1，則y1axxaxln a.當(dāng)x0時(shí)，1ax0，xaxln a0，所以yx(1ax)在(0，)上遞增因?yàn)閞t，所以r(1|q|r)t(1|q|t)，這與r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾，所以假設(shè)不成立(12分)(iii) 若r為奇數(shù)，t為奇數(shù)，則r(1|q|r)t(1|q|t)設(shè)函數(shù)yx(1ax)，0a1，則y1axxaxln a.設(shè)g(x)1axxaxln a，則g(x)axln a(2xln a)令g(x)0，得x .因?yàn)閍x0，ln a0，所以當(dāng)x，g(x)0，則g(x)在區(qū)間(，)上遞增；當(dāng)0x，g(x)0，則g(x)在區(qū)間(0，)上遞減，所以g(x)ming()1a.因?yàn)?，所以a1, 所以g(x)min0，從而g(x)0在(0，)上恒成立，所以yx(1ax)，0a1在(0，)上單調(diào)遞增因?yàn)閞t，所以r(1|q|r)t(1|q|t)，這與r(1|q|r)t(1|q|t)矛盾，所以假設(shè)不成立(14分)(iv) 若r為奇數(shù)，t為偶數(shù)由知，存在等比數(shù)列an為“M(1，2)數(shù)列”綜上，r為奇數(shù)，t為偶數(shù)(16分)2020屆高三模擬考試試卷(南京)數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21. A. 解：(1) M2.(4分)(2) 矩陣M的特征多項(xiàng)式為f()(1)(3)令f()0，解得M的特征值為11，23.(6分)當(dāng)1時(shí)，得令x1，則y1，于是矩陣M的一個(gè)特征向量為.(8分)當(dāng)3時(shí)，3，得令x1，則y1，于是矩陣M的一個(gè)特征向量為.因此，矩陣M的特征值為1，3，分別對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量為，.(10分)B. 解：直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2分)曲線C的普通方程為(x2)2(y1)2r2.(4分)因?yàn)閳A心C(2，1)到直線l的距離d，(6分)所以r.(10分)C. 解：由柯西不等式，得x2(2y)2(3z)2(121222)(x2y6z)2.(4分)因?yàn)閤24y29z26，所以(x2y6z)236，(6分)所以6x2y6z6.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)x1，y，z或 x1，y，z，(8分)所以x2y6z的最大值為6.(10分)22. (1) 解：因?yàn)閘過(guò)M(2，0)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，AB4，所以拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)，代入拋物線方程，得42p2