湖南省懷化市湖天中學高中數(shù)學《正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)》教案 新人教A版必修4

湖南省懷化市湖天中學高中數(shù)學正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)教案 新人教A版必修4教學日期2020年 月 日第 周星期 第 節(jié)教學年級 高一 年級 上學期科目數(shù)學課題教學班級 13級 20班三維目標知識與技能通過創(chuàng)設(shè)情境,如單擺運動、波浪、四季變化等,讓學生感知周期現(xiàn)象;理解周期函數(shù)的概念;能熟練地求出簡單三角函數(shù)的周期,并能根據(jù)周期函數(shù)的定義進行簡單的拓展運用過程與方法通過本節(jié)的學習,使同學們對周期現(xiàn)象有一個初步的認識,感受生活中處處有數(shù)學情感態(tài)度與價值觀激發(fā)學生的學習積極性,培養(yǎng)學生學好數(shù)學的信心,學會運用聯(lián)系的觀點認識事物教學用具教學重點正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì)(包括周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域);深入研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法教學難點正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系、圖象變換,以及周期函數(shù)概念的理解,最小正周期的意義及簡單的應用.教學步驟及要點：第1課時導入新課 取出一個鐘表,實際操作,我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復,這是一種周期現(xiàn)象.我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù).那么我們怎樣從數(shù)學的角度研究周期現(xiàn)象呢?在圖形上讓學生觀察正弦線“周而復始”的變化規(guī)律,在代數(shù)式上讓學生思考誘導公式:sin(x+2k)=sinx又是怎樣反映函數(shù)值的“周而復始”的變化規(guī)律的.要求學生用日常語言敘述這個公式,通過對圖象、函數(shù)解析式的特點的描述,使學生建立在比較牢固的理解周期性的認知基礎(chǔ)上,來理解“周而復始”變化的代數(shù)刻畫,由此引出周期函數(shù)的概念.推進新課新知探究提出問題 問題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎?如果是,又是怎樣周期性變化的?問題閱讀教材并思考:怎樣從代數(shù)的角度定義周期函數(shù)? 活動:教師可先引導學生查閱思考上節(jié)學過的正弦函數(shù)圖象,讓學生觀察正弦線的變化規(guī)律,有什么新的發(fā)現(xiàn)?再讓學生描述這種規(guī)律是如何體現(xiàn)在正弦函數(shù)的圖象上的,即描述正弦函數(shù)圖象是如何體現(xiàn)“周而復始”的變化規(guī)律的.通過研究圖象,學生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù).怎樣變化呢?從圖1中也能看出是每隔2就重復一次. 對問題,學生對正弦函數(shù)是周期函數(shù)是沒有疑問的,至于怎樣描述,學生一時很難回答.教師可引導學生思考討論,正弦函數(shù)圖象是怎樣重復出現(xiàn)的?對于回答對的學生給予肯定,鼓勵繼續(xù)探究.對于找不到思路的學生給予提示,指導其正確的探究思路.圖1 問題,從圖象上能夠看出,但關(guān)鍵是怎樣對“周而復始”的變化規(guī)律作出代數(shù)描述,這對學生有一定的難度.在引入正式定義之前,可以引導學生先從不同角度進行描述.例如:對于函數(shù)f(x)自變量每增加或減少一個定值(這樣的定值可以有很多個),函數(shù)值就重復出現(xiàn),那么這個函數(shù)就叫做周期函數(shù).教師也可以引導點撥學生從誘導公式進行描述.例如: sin(+2k)=sin,cos(+2k)=cos,kZ. 這表明,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)自變量每增加(k0時)或減少(k0,xR)的周期為T=.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(x+2)=Asin(x+)+=Asin(x+).于是有f(x+)=f(x), 所以其周期為.例如,在第(3)小題,y=2sin(x-),xR中,=,所以其周期是4.由上述解法可以看到,思考的基本依據(jù)還是y=sinx的周期為2. 根據(jù)這個結(jié)論,我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期.如例3中的第(3)小題:T=4.這是求簡單三角函數(shù)周期的最基本方法,即公式法.變式訓練1.已知f(x)是周期為5的周期函數(shù),且f(1)=2 007,求f(11).解:因為5是函數(shù)f(x)在R上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù),且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由題意知,3是函數(shù)f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+23)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.知能訓練課本本節(jié)練習解答:1.成立.但不能說12是正弦函數(shù)的一個周期,因為此等式不是對x的一切值都成立.例如sin(20+120)sin20.點評:理解周期函數(shù)概念中“當x取定義域內(nèi)每一個值時”的“每一個值”的含義.2.(1); (2); (3)2; (4)6. 點評:利用周期函數(shù)的圖象和定義求周期,體會周期與自變量x的系數(shù)有關(guān).3.可以先在一個周期的區(qū)間上研究函數(shù)的其他性質(zhì),再利用函數(shù)的周期性,將所研究的性質(zhì)擴展到整個定義域. 點評:了解如何利用函數(shù)的周期性來認識周期函數(shù)的其他性質(zhì).可讓學生課堂討論,然后歸納總結(jié).課堂小結(jié)由學生回顧本節(jié)所學的數(shù)學知識有哪些?周期函數(shù)的概念,最小正周期的定義,正弦、余弦函數(shù)的周期性,y=Asin(x+)(0)的周期.并思考總結(jié)本節(jié)都用了哪些數(shù)學方法?(觀察與歸納,特殊到一般,定義法,數(shù)形結(jié)合,辯證的觀點)作業(yè)1.課本習題 A組3,B組3.2.預習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性.第2課時導入新課 思路1.(類比導入)我們在研究一個函數(shù)的性質(zhì)時,如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),往往通過它們的圖象來研究.先讓學生畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,從學生畫圖象、觀察圖象入手,由此展開正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究. 思路2.(直接導入)研究函數(shù)就是要討論函數(shù)的一些性質(zhì),y=sinx,y=cosx是函數(shù),我們當然也要探討它們的一些性質(zhì).本節(jié)課,我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì).請同學們回想一下,一般來說,我們是從哪些方面去研究一個函數(shù)的性質(zhì)的呢(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值)?然后逐一進行探究.推進新課新知探究提出問題回憶并畫出正弦曲線和余弦曲線,觀察它們的形狀及在坐標系中的位置;觀察正弦曲線和余弦曲線,說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么;觀察正弦曲線和余弦曲線,說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么;由值域又能得到什么;觀察正弦曲線和余弦曲線,函數(shù)值的變化有什么特點?觀察正弦曲線和余弦曲線,它們都有哪些對稱?(1)(2)圖2 活動:先讓學生充分思考、討論后再回答.對回答正確的學生,教師可鼓勵他們按自己的思路繼續(xù)探究,對找不到思考方向的學生,教師可參與到他們中去,并適時的給予點撥、指導.在上一節(jié)中,要求學生不僅會畫圖,還要識圖,這也是學生必須熟練掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)時,教師要引導學生充分挖掘正弦、余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線,當然用多媒體課件來研究三角函數(shù)性質(zhì)是最理想的,因為單位圓中的三角函數(shù)線更直觀地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具.用三角函數(shù)線研究三角函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì).對問題,學生不一定畫準確,教師要求學生盡量畫準確,能畫出它們的變化趨勢.對問題,學生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R或(-,+).對問題,學生很容易觀察出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界,得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是-1,1.教師要引導學生從代數(shù)的角度思考并給出證明.正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度,sinx1,cosx1,即-1sinx1,-1cosx1.也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是-1,1.對于正弦函數(shù)y=sinx(xR),(1)當且僅當x=+2k,kZ時,取得最大值1.(2)當且僅當x=-+2k,kZ時,取得最小值-1.對于余弦函數(shù)y=cosx(xR),(1)當且僅當x=2k,kZ時,取得最大值1.(2)當且僅當x=(2k+1),kZ時,取得最小值-1.對問題,教師可引導、點撥學生先截取一段來看,選哪一段呢?如圖3,通過學生充分討論后確定,選圖象上的-,(如圖4)這段.教師還要強調(diào)為什么選這段,而不選0,2的道理,其他類似.圖3圖4這個變化情況也可從下表中顯示出來:x-0sinx-1010-1就是說,函數(shù)y=sinx,x-,.當x-,時,曲線逐漸上升,是增函數(shù),sinx的值由-1增大到1;當x,時,曲線逐漸下降,是減函數(shù),sinx的值由1減小到-1.類似地,同樣可得y=cosx,x-,的單調(diào)變化情況.教師要適時點撥、引導學生先如何恰當?shù)剡x取余弦曲線的一段來研究,如圖5,為什么選-,而不是選0,2.圖5引導學生列出下表:x-0cosx-1010-1 結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知: 正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間-+2k,+2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個閉區(qū)間+2k,+2k(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1. 余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k-1),2k(kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增加到1;在每一個閉區(qū)間2k,(2k+1)(kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1. 對問題,學生能直觀地得出:正弦曲線關(guān)于原點O對稱,余弦曲線關(guān)于y軸對稱.在R上,y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù).教師要恰時恰點地引導,怎樣用學過的知識方法給予證明? 由誘導公式:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, y=sinx為奇函數(shù),y=cosx為偶函數(shù). 至此,一部分學生已經(jīng)看出來了,在正弦曲線、余弦曲線上還有其他的對稱點和對稱軸,如正弦曲線還關(guān)于直線x=對稱,余弦曲線還關(guān)于點(,0)對稱,等等,這是由它的周期性而來的.教師可就此引導學生進一步探討,為今后的學習打下伏筆.討論結(jié)果:略.定義域為R.值域為-1,1,最大值都是1,最小值都是-1.單調(diào)性(略).奇偶性(略). 當我們仔細對比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后,會發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處.我們不妨把兩個圖象中的直角坐標系都去掉,會發(fā)現(xiàn)它們其實都是同樣形狀的曲線,所以它們的定義域相同,都為R,值域也相同,都是-1,1,最大值都是1,最小值都是-1,只不過由于y軸放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的時刻不同;它們的周期相同,最小正周期都是2;它們的圖象都是軸對稱圖形和中心對稱圖形,且都是以圖象上函數(shù)值為零所對應的點為對稱中心,以過最值點且垂直于x軸的直線為對稱軸.但是由于y軸的位置不同,對稱中心及對稱軸與x軸交點的橫坐標也不同.它們都不具備單調(diào)性,但都有單調(diào)區(qū)間,且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn),也是由于y軸的位置改變,使增減區(qū)間的位置有所不同,也使奇偶性發(fā)生了改變.應用示例例1 數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有,請寫出取最大值、最小值時的自變量x的集合,并說出最大值、最小值分別是什么.(1)y=cosx+1,xR;(2)y=-3sin2x,xR. 活動:通過這道例題直接鞏固所學的正弦、余弦的性質(zhì).容易知道,這兩個函數(shù)都有最大值、最小值.課堂上可放手讓學生自己去探究,教師適時的指導、點撥、糾錯,并體會對應取得最大(小)值的自變量為什么會有無窮多個.解:(1)使函數(shù)y=cosx+1,xR取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,xR取得最大值的x的集合x|x=2k,kZ;使函數(shù)y=cosx+1,xR取得最小值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,xR取得最小值的x的集合x|x=(2k+1),kZ.函數(shù)y=cosx+1,xR的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z=2x,使函數(shù)y=-3sinZ,ZR取得最大值的Z的集合是Z|Z=-+2k,kZ,由2x=Z=-+2k,得x=-+k.因此使函數(shù)y=-3sin2x,xR取得最大值的x的集合是x|x=-+k,kZ.同理,使函數(shù)y=-3sin2x,xR取得最小值的x的集合是x|x=+k,kZ.函數(shù)y=-3sin2x,xR的最大值是3,最小值是-3. 點評:以前我們求過最值,本例也是求最值,但對應的自變量x的值卻不唯一,這從正弦函數(shù)的周期性容易得到解釋.求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大(小)值的性質(zhì),對于形如y=Asin(x+)+B的函數(shù),一般通過變量代換(如設(shè)Z=x+化歸為y=AsinZ+B的形式),然后進行求解.這種思想對于利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問題時也適用.例2 函數(shù)的單調(diào)性,比較下列各組數(shù)的大小:(1)sin(-)與sin(-);(2)cos()與cos(). 活動:學生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行大小比較,充分利用學生的知識遷移,有利于學生能力的快速提高.本例的兩組都是正弦或余弦,只需將角化為同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.課堂上教師要讓學生自己獨立地去操作,教師適時地點撥、糾錯,對思考方法不對的學生給予幫助指導.解:(1)因為sin().(2)cos()=cos=cos,cos()=cos=cos.因為0cos,即cos()0,cos0,顯然大小立判.例3 函數(shù)y=sin(x+),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間. 活動:可以利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教師要引導學生的思考方向:把x+看成Z,這樣問題就轉(zhuǎn)化為求y=sinZ的單調(diào)區(qū)間問題,而這就簡單多了.解:令Z=x+.函數(shù)y=sinZ的單調(diào)遞增區(qū)間是+2k,+2k.由-+2kx+2k,得+4kx+4k,kZ.由x-2,2可知,-2+4k且+4k2,于是k,由于kZ,所以k=0,即x,而,-2,2,因此,函數(shù)y=sin(+),x-2,2的單調(diào)遞增區(qū)間是, . 點評:本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用,即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的不等式問題.然后通過解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間,要讓學生熟悉并