高中數(shù)學《平面向量的線性運算》文字素材1 新人教A版必修4

高中數(shù)學2122教材解讀一、平面向量的基本概念1向量既有大小、又有方向的量叫做向量注：向量有兩個要素：大小和方向，二者缺一不可2向量的表示用一個小寫字母表示向量，如a，b等用有向線段表示向量，以A為起點，B為終點的向量記為，注意起點寫在前面、終點寫在后面3向量的模 向量的大小，稱作向量的長度（或稱模），記作注：向量是不能比較大小的，但向量的?？梢员容^大小4零向量長度為0的向量叫做零向量，記作0注：0；零向量的方向是任意的5單位向量長度等于個單位的向量，叫做單位向量6平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量向量a，b平行，記作注：規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有；由于任意一組平行向量都可移動到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量；兩個向量共線與兩條線段共線不同，前者的起點可以不同，而后者必須在同一直線上同樣，兩個平行向量與兩條平行直線是不同的，因為兩個平行向量可以移到同一直線上7相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a與b相等，記作注：零向量與零向量相等；任意兩個相等的非零向量，都可用一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關；對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以任意平行移動的；反之不成立8相反向量 與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作注：a與互為相反向量；相反向量與方向相反的向量不是同一個概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立二、平面向量的線性運算向量的加法運算（1）向量的和：已知向量a，b，在平面內任取一點A，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作，即（2）向量的加法：求兩個向量和的運算（3）對于零向量與任一向量a，有（4）向量的加法滿足交換律與結合律，即，（5）向量加法運算的幾何意義：向量加法的三角形法則：如圖1，根據定義，；向量加法的平行四邊形法則：如圖2，以同一點A為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作，則以A為起點的對角線就是a與b的和注：向量加法的三角形法則，既適用于兩向量不共線，也適用于兩向量共線而平行四邊形法則只適用于兩向量不共線，當兩向量共線時，平行四邊形法則就不適用了但在處理某些問題時，平行四邊形法則有它一定的優(yōu)越性因此兩種法則都應熟練掌握兩個向量的和仍是一個向量1當向量a與b不共線時，的方向與a，b都不相同，且；2當向量a與b同向時，a，b都同向，且；3當向量a與b反向時，若，則的方向與相同，且；若，則的方向與b相同，且；若，則總之，一般地，若2向量的減法運算（1）向量a與b的差：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，即（2）向量的減法：求兩個向量差的運算（3）向量減法運算的幾何意義：如圖3，已知向量a，b，在平面內任取一點，作，則，即可以表示從向量的終點指向向量的終點的向量（可簡記為：共起點，連兩終點，指向被減向量的終點）注：兩個向量的差仍是一個向量；要注意向量加法運算的三角形法則與減法運算的三角形法則的區(qū)別；由向量的加、減法，可以得出兩個常用的結論：1首尾順次相接的向量構成封閉的向量鏈時，各向量的和為，即：2平行四邊形中，有，3向量的數(shù)乘運算（）向量的數(shù)乘：實數(shù)與向量的積是一個向量，它的長度與方向規(guī)定如下：；當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反特別地，當時，（2）設為實數(shù)，為向量，則有；（第一分配律）；（第二分配律）；特別地，有；注：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有4向量共線的條件如果與共線，那么有且只有一個實數(shù)，